高考数学试题分项版解析专题18双曲线理含解析201811241275

专题 18 双曲线
考纲解读明方向
参数a、b、c、e的关系,渐近线及其几何意义.3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.能灵活运用数形结合的思想方法.5.本节在高考中以双曲线的方程和性质为主,分值约为5分,属中档题.
2018年高考全景展示
1．【2018年浙江卷】双曲线的焦点坐标是
A. (−，0)，(，0)
B. (−2，0)，(2，0)
C. (0，−)，(0，)
D. (0，−2)，(0，2)
【答案】B
点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.
2．【2018年理数天津卷】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线
与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.
点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方
程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
3．【2018年理新课标I卷】已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C
的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A. B. 3 C. D. 4
【答案】B
【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，
求得，利用两点间距离同时求得的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，
分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
4．【2018年全国卷Ⅲ理】设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过
作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A. B. 2 C. D.
【答案】C
点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题。

5．【2018年理数全国卷II】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程
为，选A.
点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.
6．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近
线的距离为，则其离心率的值是________．
【答案】2
【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.
详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，
因此
点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a .
2017年高考全景展示
1.【2017课标II ，理9】若双曲线C:22221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2
224x y -+=所
截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）
A ．2 B
D
．3
【答案】A 【解析】
试题分析：由几何关系可得，双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线为：0bx ay ±=，
圆心()2,0
到渐近线距离为：d ==，
不妨考查点()2,0到直线0bx ay +=
的距离：2b
d c
=
=
= 即：
()222
43c a c -=，整理可得：224c a =,
双曲线的离心率2e ===。

故选A 。

【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式
【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a ，c ，代入公式c e a
=
； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2
＝c 2
－a 2
转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2
转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)。

2.【2017课标3，理5】已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)
的一条渐近线方程为2y x =,且与椭圆22
1123
x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．22
1810
x y -
= B ．22
145x y -
= C ．22
154x y -
= D ．22
143
x y -
= 【答案】B 【解析】
试题分析：双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的渐近线方程为b
y x a
=± ，
椭圆中：2
2
2
2
2
12,3,9,c 3a b c a b ==∴=-== ，椭圆，即双曲线的焦点为()3,0± ，
据此可得双曲线中的方程组：22223b a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩
，解得：22
4,5a b == ，
则双曲线C 的方程为
2
145
x y 2-= . 故选B .
【考点】 双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程.
【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线
方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()2
220x y a b
λλ2-=≠，再由条件求出λ
的值即可.
3.【2017天津，理5】已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为F ，.若经过F 和(0,4)
P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22
184x y -=
【答案】B
【解析】由题意得22
4,14,188
x y a b c a b c ==-⇒===-=- ，选B. 【考点】 双曲线的标准方程
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程，解方程组求出,a b ，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两
点可设为2
2
1(0)mx ny mn -=>，（2）与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为22
22(0)x y a b
λλ-=≠，（3）
等轴双曲线可设为22
(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.
4.【2017课标1，理】已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，
圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________.
【解析】试题分析：
如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线
b
y x a
=
上的点，且(,0)A a ，AM AN b == 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=， 点(,0)A a 到直线b
y x a
=
的距离AP =在Rt PAN ∆中，cos PA PAN NA
=
代入计算得223a b =
，即a = 由222c a b =+得2c b =
所以c e a =
==
. 【考点】双曲线的简单性质.
【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是
ab
c
. 5.【2017山东，理14】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右支与焦点为F 的抛物
线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】2
y x =±
【考点】1.双曲线的几何性质.2.抛物线的定义及其几何性质.
【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线
与椭圆的标准方程可统一为12
2=+By Ax 的形式，当0>A ，0>B ，B A ≠时为椭圆，当0<AB 时为双曲线.
2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
6.【2017北京，理9】若双曲线2
2
1y x m
-=，则实数m =_________.
【答案】2 【解析】
试题分析：2
2
1,a b m == ，所以
c a ==，解得2m = . 【考点】双曲线的方程和几何性质
【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意a 、
b 、
c 的关系222c a b =+，否则很容易出现错误．以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，根据离心率
的公式计算.
7.【2015高考北京，理10】已知双曲线()2
2210x y a a
-=>0y +=，则a =
．
【解析】双曲线()2
2210x y a a -=>的渐近线方程为1y x a
=±0y y +=⇒=，
0a >,则1
3
a a
-
==
【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.
【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”，利用已知渐近线方程，求出参数a 的值.
2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标1卷】已知方程22
2
213x y m n m n
-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则
n 的取值范围是( )
（A ）()1,3- （B
）(- （C ）()0,3 （D
）( 【答案】
A
考点：双曲线的性质
【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 不是c ,这一点易出错.
2.【2016高考新课标2理数】已知12,F F 是双曲线22
22:1x y E a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x
轴垂直，211
sin 3
MF F ∠=
,则E 的离心率为（ ） （A
（B ）3
2
（C
（D ）2
【答案】A 【解析】
试题分析：因为1MF 垂直于x 轴，所以22
12,2b b MF MF a a a ==+，因为211sin 3
MF F ∠=，即212
2
1
3
2b MF a
b MF a a
=
=+
，化简得b a =
，故双曲线离心率e ==.选A. 考点：双曲线的性质.离心率.
【名师点睛】区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2
＝b 2
＋c 2
，而在双曲线中
c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)．
3.【2016高考天津理数】已知双曲线2
2
24=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长 的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）
（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2
224=11x y -
【答案】D 【解析】
试题分析：根据对称性，不妨设A 在第一象限，(,)A x y
，∴2
2
422x x y b
b y x y ⎧
=⎧+=⎪
⎪⎪
⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩
， ∴2
21612422
b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -
=，故选D. 考点：双曲线渐近线
【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：
(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．
(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论． ①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2
＋By 2
＝1(AB ＜0)．
②若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2
－n 2y 2
＝λ(λ≠0)．
4.【2016高考山东理数】已知双曲线E ：22
221x y a b
-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，
CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______.
【答案】
2
考点：双曲线的几何性质
【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.
5.【2016高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
173
x y -=的焦距是________________.
【答案】【解析】
试题分析：
222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴=．故答案应填：，
焦距为2c
考点：双曲线性质
【名师点睛】本题重点考查双曲线基本性质，而双曲线性质是与双曲线标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中量所对应关系是解题关键：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>揭示焦点在x 轴，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，
焦距为2c =b y x a =±，离心率为c a 精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。