2019-2020学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册课件：第四章 指数函数与对数函数 4.4.
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第十六页，编辑于星期日：点 分。
【解析】 (1)中真数不是自变量 x，不是对数函数．(2)中对数 式后加 2，所以不是对数函数．(3)中真数为 x＋1，不是 x，系数不 为 1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量 x，而非常数，所以不 是对数函数．(5)中底数是 6，真数为 x，系数为 1，符合对数函数的 定义，故是对数函数.
第五页，编辑于星期日：点 分。
知识点三 反函数 一般地，指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a ＞0，且 a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
第六页，编辑于星期日：点 分。
[教材解难]
1．教材 P130 思考
根据指数与对数的关系，由
y＝12
x 5730
2
数 x 和它对应，所以 x 也是 y 的函数．也就是说，函数 x＝log 5730 1 y，
2
y∈(0,1]刻画了时间 x 随碳 14 含量 y 的衰减而变化的规律．
第七页，编辑于星期日：点 分。
2．教材 P132 思考
利用换底公式，可以得到 y＝log 1 x＝－log2x.因为点(x，y)与点 2
(x≥0)得到 x＝log 1 y(0＜y≤1)．如图，过 y 5730 2
轴正半轴上任意一点(0，y0)(0＜y0≤1)作
x
轴的平行线，与
y＝12
x 5730
(x≥0)的图象有且只有一个交点(x0，y0)．这就说明，对于任意一个
y∈(0,1]，通过对应关系 x＝log 5730 1 y，在[0，＋∞)上都有唯一确定的
(3)牢记特殊点．对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)的图象经过 点：(1,0)，(a,1)和1a，－1.
第二十八页，编辑于星期日：点 分。
跟踪训练 3
(1)如图所示，曲线是对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)的图象，
已知 a 取 3，43，35，110，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 a 值依次为(
若点((A23))也已 如在知 图函函 所数数 示的fy(＝x曲)＝lo线g3a是x(＋x对＋b 数3的)－函图1数象(a上＞y＝，0l，o则gaa≠xf(，l1oy)g＝的32l图)o＝g象b_x_恒，89__y过＝__定l_o_点g.cxA，，y ＝logdx 的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系为_b_＞__a_＞__1_＞．d＞c
第二页，编辑于星期日：点 分。
知识点一 对数函数的概念 函数___y_＝__lo_g_a_x_(_a_＞__0_，__且__a_≠__1_)__叫做对数函数，其中__x__是 自变量，函数的定义域是___(0_，__＋__∞___) _． 状元随笔 形如 y＝2log2x，y＝log2x3都不是对数函数，可称其为对数型函 数．
(x，－y)关于 x 轴对称，所以 y＝log2x 图象上任意一点 P(x，y)关于 x 轴的对称点 P1(x，－y)都在 y＝log 1 x 的图象上，反之亦然．由此
2
可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 x 轴对称．根据这 种对称性，就可以利用 y＝log2x 的图象画出 y＝log 1 x 的图象．
方法二 由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规 律，所以底数 a 由大到小依次为 C1，C2，C3，C4，即 3，43，35，110. 故选 A.
增函数底数 a＞1， 减函数底数 0＜a＜1. 答案：(1)A
第三十页，编辑于星期日：点 分。
(2)函数 y＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为( )
第三页，编辑于星期日：点 分。
知识点二 对数函数的图象与性质 a＞1
0＜a＜1
图 象
定义域_(0_，__＋__∞__)
性
值域 R
质
过点__(_1_,0_)___，即当 x＝1 时，y＝0
在(0，＋∞)上是_增__函__数_ 在(0，＋∞)上是_减__函__数_
第四页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当 a ＞1 时，对数函数的图象“上升”；当 0＜a＜1 时，对数函数的图 象“下降”．
2
第八页，编辑于星期日：点 分。
3．教材 P138 思考 一般地，虽然对数函数 y＝logax(a＞1)与一次函数 y＝kx(k＞0) 在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着 x 的 增大，一次函数 y＝kx(k＞0)保持固定的增长速度，而对数函数 y＝ logax(a＞1)的增长速度越来越慢．不论 a 的值比 k 的值大多少，在 一定范围内，logax 可能会大于 kx，但由于 logax 的增长慢于 kx 的增 长，因此总会存在一个 x0，当 x＞x0 时，恒有 logax＜kx.
答案：A
第十一页，编辑于星期日：点 分。
2．函数 y＝ xln(1－x)的定义域为( ) A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1] 解析：由题意，得x1≥－0x，＞0， 解得 0≤x＜1；故函数 y＝ xln(1 －x)的定义域为[0,1)． 答案：B
第十二页，编辑于星期日：点 分。
第三十一页，编辑于星期日：点 分。
(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增 函数，故可排除选项 B，C，又 x＝±1 时 y＝1，故选 A.
先去绝对值，再利用单调性判断. 答案：(2)A
第三十二页，编辑于星期日：点 分。
第三十三页，编辑于星期日：点 分。
第二十五页，编辑于星期日：点 分。
【解析】 (1)A 中，由 y＝x＋a 的图象知 a＞1，而 y＝logax 为减函数，A 错；B 中，0＜a＜1，而 y＝logax 为增函数，B 错；C 中，0＜a＜1，且 y＝logax 为减函数，所以 C 对；D 中，a＜0，而 y＝logax 无意义，也不对．
4．若 f(x)＝log2x，x∈[2,3]，则函数 f(x)的值域为________． 解析：因为 f(x)＝log2x 在[2,3]上是单调递增的， 所以 log22≤log2x≤log23，即 1≤log2x≤log23. 答案：[1，log23]
第十五页，编辑于星期日：点 分。
题型一 对数函数的概念 例 1 下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y＝loga x(a＞0，且 a≠1)； (2)y＝log2x＋2； (3)y＝8log2(x＋1)； (4)y＝logx6(x＞0，且 x≠1)； (5)y＝log6x.
第二十页，编辑于星期日：点 分。
教材反思 求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规 为：分母不为 0；0 的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开 方式(数)非负；对数的真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1.另一种 是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．
第二十一页，编辑于星期日：点 分。
过点(0,1)作平行于 x 轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐
标从左向右依次为 c，d，a，b，显然 b＞a＞1＞d＞c.
【答案】
(1)C
8 (2)9
(3)b＞a＞1＞d＞c
第二十六页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 (1)由函数 y＝x＋a 的图象判断出 a 的范围． (2)依据 loga1＝0，a0＝1，求定点坐标． (3)沿直线 y＝1 自左向右看，对数函数的底数由小变大．
(2)依题意可知定点 A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－
190，故 f(x)＝3x－190，f(log32)＝3 log3 2 －190＝2－190＝89.
(3)由题干图可知函数 y＝logax，y＝logbx 的底数 a＞1，b＞1， 函数 y＝logcx，y＝logdx 的底数 0＜c＜1,0＜d＜1.
3．函数 y＝loga(x－1)(0＜a＜1)的图象大致是( )
第十三页，编辑于星期日：点 分。
解析：∵0＜a＜1，∴y＝logax 在(0，＋∞)上单调递减，故 A， B 可能正确；
又函数 y＝loga(x－1)的图象是由 y＝logax 的图象向右平移一个 单位得到，故 A 正确．
答案：A
第十四页，编辑于星期日：点 分。
第一页，编辑于星期日：点 分。
最新课程标准： (1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计 算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与 特殊点． (2)知道对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax 互为反函数(a＞0， 且 a≠1)． (3)收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文， 论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.
跟踪训练 2 求下列函数的定义域： (1)y＝lg(x＋1)＋ 31x－2 x； (2)y＝log(x－2)(5－x)．
第二十二页，编辑于星期日：点 分。
解析：(1)要使函数有意义，
需x1＋－1x＞ ＞00， ， 即xx＞ ＜1－. 1， ∴－1＜x＜1，∴函数的定义域为(－1,1)．
(2)要使函数有意义，需 5x－－2x＞ ＞00， ， x－2≠1，
用对数函数的概念例如 y＝logax(a＞0 且 a≠1)来判断．
第十七页，编辑于星期日：点 分。
方法归纳
判断一个函数是对数函数的方法
第十八页，编辑于星期日：点 分。
跟踪训练 1 若函数 f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x 是对数函数，则 实数 a＝________.
解析：由 a2－a＋1＝1，解得 a＝0 或 a＝1. 又底数 a＋1＞0，且 a＋1≠1，所以 a＝1. 答案：1 对数函数 y＝logax 系数为 1.
第二十七页，编辑于星期日：点 分。
方法归纳 解决对数函数图象的问题时要注意
(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四 象限．当 x 趋近于 0 时，函数图象会越来越靠近 y 轴，但永远不会 与 y 轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数 的底数 a 的取值范围是 a＞1，还是 0＜a＜1.
∴ xx＜ ＞52， ， x≠3.
∴定义域为(2,3)∪(3,5)． 真数大于 0，偶次根式被开方数大于等于 0，分母不等于 0，列 不等式组求解．
第二十三页，编辑于星期日：点 分。
题型三 对数函数的图象问题 例 3 (1)函数 y＝x＋a 与 y＝logax 的图象只可能是下图中的 (C )
第二十四页，编辑于星期日：点 分。
第九ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，编辑于星期日：点 分。
4.4.1 对数函数的概念
第十页，编辑于星期日：点 分。
[基础自测]
1．下列函数中是对数函数的是( )
A．y＝log 1 x B．y＝log 1 (x＋1)
4
4
C．y＝2log 1 x D．y＝log 1 x＋1
4
4
解析：形如 y＝logax(a＞0，且 a≠1)的函数才是对数函数，只 有 A 是对数函数．
第十九页，编辑于星期日：点 分。
题型二 求函数的定义域[教材 P130 例 1] 例 2 求下列函数的定义域： (1)y＝log3x2； (2)y＝loga(4－x)(a＞0，且 a≠1)． 【解析】 (1)因为 x2＞0，即 x≠0，所以函数 y＝log3x2 的定义 域是{x|x≠0}． (2)因为 4－x＞0，即 x＜4，所以函数 y＝loga(4－x)的定义域是 {x|x＜4}. 真数大于 0.
)
A. 3，43，35，110
B. 3，43，110，35
C.43， 3，35，110
D.43， 3，110，35
第二十九页，编辑于星期日：点 分。
解析：(1)方法一 作直线 y＝1 与四条曲线交于四点，由 y＝ logax＝1，得 x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底 数小，所以 C1，C2，C3，C4 对应的 a 值分别为 3，43，35，110，故 选 A.
【解析】 (1)中真数不是自变量 x，不是对数函数．(2)中对数 式后加 2，所以不是对数函数．(3)中真数为 x＋1，不是 x，系数不 为 1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量 x，而非常数，所以不 是对数函数．(5)中底数是 6，真数为 x，系数为 1，符合对数函数的 定义，故是对数函数.
第五页，编辑于星期日：点 分。
知识点三 反函数 一般地，指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a ＞0，且 a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
第六页，编辑于星期日：点 分。
[教材解难]
1．教材 P130 思考
根据指数与对数的关系，由
y＝12
x 5730
2
数 x 和它对应，所以 x 也是 y 的函数．也就是说，函数 x＝log 5730 1 y，
2
y∈(0,1]刻画了时间 x 随碳 14 含量 y 的衰减而变化的规律．
第七页，编辑于星期日：点 分。
2．教材 P132 思考
利用换底公式，可以得到 y＝log 1 x＝－log2x.因为点(x，y)与点 2
(x≥0)得到 x＝log 1 y(0＜y≤1)．如图，过 y 5730 2
轴正半轴上任意一点(0，y0)(0＜y0≤1)作
x
轴的平行线，与
y＝12
x 5730
(x≥0)的图象有且只有一个交点(x0，y0)．这就说明，对于任意一个
y∈(0,1]，通过对应关系 x＝log 5730 1 y，在[0，＋∞)上都有唯一确定的
(3)牢记特殊点．对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)的图象经过 点：(1,0)，(a,1)和1a，－1.
第二十八页，编辑于星期日：点 分。
跟踪训练 3
(1)如图所示，曲线是对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)的图象，
已知 a 取 3，43，35，110，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 a 值依次为(
若点((A23))也已 如在知 图函函 所数数 示的fy(＝x曲)＝lo线g3a是x(＋x对＋b 数3的)－函图1数象(a上＞y＝，0l，o则gaa≠xf(，l1oy)g＝的32l图)o＝g象b_x_恒，89__y过＝__定l_o_点g.cxA，，y ＝logdx 的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系为_b_＞__a_＞__1_＞．d＞c
第二页，编辑于星期日：点 分。
知识点一 对数函数的概念 函数___y_＝__lo_g_a_x_(_a_＞__0_，__且__a_≠__1_)__叫做对数函数，其中__x__是 自变量，函数的定义域是___(0_，__＋__∞___) _． 状元随笔 形如 y＝2log2x，y＝log2x3都不是对数函数，可称其为对数型函 数．
(x，－y)关于 x 轴对称，所以 y＝log2x 图象上任意一点 P(x，y)关于 x 轴的对称点 P1(x，－y)都在 y＝log 1 x 的图象上，反之亦然．由此
2
可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 x 轴对称．根据这 种对称性，就可以利用 y＝log2x 的图象画出 y＝log 1 x 的图象．
方法二 由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规 律，所以底数 a 由大到小依次为 C1，C2，C3，C4，即 3，43，35，110. 故选 A.
增函数底数 a＞1， 减函数底数 0＜a＜1. 答案：(1)A
第三十页，编辑于星期日：点 分。
(2)函数 y＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为( )
第三页，编辑于星期日：点 分。
知识点二 对数函数的图象与性质 a＞1
0＜a＜1
图 象
定义域_(0_，__＋__∞__)
性
值域 R
质
过点__(_1_,0_)___，即当 x＝1 时，y＝0
在(0，＋∞)上是_增__函__数_ 在(0，＋∞)上是_减__函__数_
第四页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当 a ＞1 时，对数函数的图象“上升”；当 0＜a＜1 时，对数函数的图 象“下降”．
2
第八页，编辑于星期日：点 分。
3．教材 P138 思考 一般地，虽然对数函数 y＝logax(a＞1)与一次函数 y＝kx(k＞0) 在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着 x 的 增大，一次函数 y＝kx(k＞0)保持固定的增长速度，而对数函数 y＝ logax(a＞1)的增长速度越来越慢．不论 a 的值比 k 的值大多少，在 一定范围内，logax 可能会大于 kx，但由于 logax 的增长慢于 kx 的增 长，因此总会存在一个 x0，当 x＞x0 时，恒有 logax＜kx.
答案：A
第十一页，编辑于星期日：点 分。
2．函数 y＝ xln(1－x)的定义域为( ) A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1] 解析：由题意，得x1≥－0x，＞0， 解得 0≤x＜1；故函数 y＝ xln(1 －x)的定义域为[0,1)． 答案：B
第十二页，编辑于星期日：点 分。
第三十一页，编辑于星期日：点 分。
(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增 函数，故可排除选项 B，C，又 x＝±1 时 y＝1，故选 A.
先去绝对值，再利用单调性判断. 答案：(2)A
第三十二页，编辑于星期日：点 分。
第三十三页，编辑于星期日：点 分。
第二十五页，编辑于星期日：点 分。
【解析】 (1)A 中，由 y＝x＋a 的图象知 a＞1，而 y＝logax 为减函数，A 错；B 中，0＜a＜1，而 y＝logax 为增函数，B 错；C 中，0＜a＜1，且 y＝logax 为减函数，所以 C 对；D 中，a＜0，而 y＝logax 无意义，也不对．
4．若 f(x)＝log2x，x∈[2,3]，则函数 f(x)的值域为________． 解析：因为 f(x)＝log2x 在[2,3]上是单调递增的， 所以 log22≤log2x≤log23，即 1≤log2x≤log23. 答案：[1，log23]
第十五页，编辑于星期日：点 分。
题型一 对数函数的概念 例 1 下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y＝loga x(a＞0，且 a≠1)； (2)y＝log2x＋2； (3)y＝8log2(x＋1)； (4)y＝logx6(x＞0，且 x≠1)； (5)y＝log6x.
第二十页，编辑于星期日：点 分。
教材反思 求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规 为：分母不为 0；0 的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开 方式(数)非负；对数的真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1.另一种 是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．
第二十一页，编辑于星期日：点 分。
过点(0,1)作平行于 x 轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐
标从左向右依次为 c，d，a，b，显然 b＞a＞1＞d＞c.
【答案】
(1)C
8 (2)9
(3)b＞a＞1＞d＞c
第二十六页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 (1)由函数 y＝x＋a 的图象判断出 a 的范围． (2)依据 loga1＝0，a0＝1，求定点坐标． (3)沿直线 y＝1 自左向右看，对数函数的底数由小变大．
(2)依题意可知定点 A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－
190，故 f(x)＝3x－190，f(log32)＝3 log3 2 －190＝2－190＝89.
(3)由题干图可知函数 y＝logax，y＝logbx 的底数 a＞1，b＞1， 函数 y＝logcx，y＝logdx 的底数 0＜c＜1,0＜d＜1.
3．函数 y＝loga(x－1)(0＜a＜1)的图象大致是( )
第十三页，编辑于星期日：点 分。
解析：∵0＜a＜1，∴y＝logax 在(0，＋∞)上单调递减，故 A， B 可能正确；
又函数 y＝loga(x－1)的图象是由 y＝logax 的图象向右平移一个 单位得到，故 A 正确．
答案：A
第十四页，编辑于星期日：点 分。
第一页，编辑于星期日：点 分。
最新课程标准： (1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计 算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与 特殊点． (2)知道对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax 互为反函数(a＞0， 且 a≠1)． (3)收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文， 论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.
跟踪训练 2 求下列函数的定义域： (1)y＝lg(x＋1)＋ 31x－2 x； (2)y＝log(x－2)(5－x)．
第二十二页，编辑于星期日：点 分。
解析：(1)要使函数有意义，
需x1＋－1x＞ ＞00， ， 即xx＞ ＜1－. 1， ∴－1＜x＜1，∴函数的定义域为(－1,1)．
(2)要使函数有意义，需 5x－－2x＞ ＞00， ， x－2≠1，
用对数函数的概念例如 y＝logax(a＞0 且 a≠1)来判断．
第十七页，编辑于星期日：点 分。
方法归纳
判断一个函数是对数函数的方法
第十八页，编辑于星期日：点 分。
跟踪训练 1 若函数 f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x 是对数函数，则 实数 a＝________.
解析：由 a2－a＋1＝1，解得 a＝0 或 a＝1. 又底数 a＋1＞0，且 a＋1≠1，所以 a＝1. 答案：1 对数函数 y＝logax 系数为 1.
第二十七页，编辑于星期日：点 分。
方法归纳 解决对数函数图象的问题时要注意
(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四 象限．当 x 趋近于 0 时，函数图象会越来越靠近 y 轴，但永远不会 与 y 轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数 的底数 a 的取值范围是 a＞1，还是 0＜a＜1.
∴ xx＜ ＞52， ， x≠3.
∴定义域为(2,3)∪(3,5)． 真数大于 0，偶次根式被开方数大于等于 0，分母不等于 0，列 不等式组求解．
第二十三页，编辑于星期日：点 分。
题型三 对数函数的图象问题 例 3 (1)函数 y＝x＋a 与 y＝logax 的图象只可能是下图中的 (C )
第二十四页，编辑于星期日：点 分。
第九ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，编辑于星期日：点 分。
4.4.1 对数函数的概念
第十页，编辑于星期日：点 分。
[基础自测]
1．下列函数中是对数函数的是( )
A．y＝log 1 x B．y＝log 1 (x＋1)
4
4
C．y＝2log 1 x D．y＝log 1 x＋1
4
4
解析：形如 y＝logax(a＞0，且 a≠1)的函数才是对数函数，只 有 A 是对数函数．
第十九页，编辑于星期日：点 分。
题型二 求函数的定义域[教材 P130 例 1] 例 2 求下列函数的定义域： (1)y＝log3x2； (2)y＝loga(4－x)(a＞0，且 a≠1)． 【解析】 (1)因为 x2＞0，即 x≠0，所以函数 y＝log3x2 的定义 域是{x|x≠0}． (2)因为 4－x＞0，即 x＜4，所以函数 y＝loga(4－x)的定义域是 {x|x＜4}. 真数大于 0.
)
A. 3，43，35，110
B. 3，43，110，35
C.43， 3，35，110
D.43， 3，110，35
第二十九页，编辑于星期日：点 分。
解析：(1)方法一 作直线 y＝1 与四条曲线交于四点，由 y＝ logax＝1，得 x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底 数小，所以 C1，C2，C3，C4 对应的 a 值分别为 3，43，35，110，故 选 A.