2022-2023学年河南省南阳市第一中学校高二上学期第一次月考数学试题(解析版)

2022-2023学年河南省南阳市第一中学校高二上学期第一次
月考数学试题
一、单选题
1．设圆22
1:244C x y x y +-+=，圆222:680C x y x y ++-=，则圆1C ，2C 的公切线有
（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
【答案】B
【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．
【详解】由题意，得圆()()2
212
:312C x y -+=+，圆心()11,2C -，圆
()()2
222
:534C x y ++=-，圆心()23,4C -，∴125353C C -<=+，∴1C 与2C 相
交，有2条公切线． 故选：B ．
2．设a ∈R ，则“a ＝－2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”得到a ＝－2或a ＝1，即得解.
【详解】解：若a ＝－2，则直线l 1：－2x ＋2y －1＝0与直线l 2：x －y ＋4＝0平行； 若“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”，∴(1)20a a +-=，解得a ＝－2或a ＝1，
∴“a ＝－2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”的充分不必要条件． 故选：A
3．过点4,2P 且与直线3460x y -+=垂直的直线方程是（ ） A ．43190x y --= B ．43100x y +-= C ．34160x y --=
D ．3480x y +-=
【答案】B
【分析】由垂直关系确定方程斜率，再由点斜式写出直线方程.
【详解】由题设，与直线3460x y -+=垂直的直线斜率为4
3
-，且过4,2P ，
所以4
2(4)3y x +=--，整理得43100x y +-=.
故选：B
4．已知点(1,2)A 与(3,3)B 关于直线0ax y b ++=对称，则a ，b 的值分别为（ ） A ．2，132
-
B ．－2，7
2
-
C ．－2，3
2
D ．2，
132
【答案】A
【分析】点(1,2)A 与(3,3)B 关于直线0ax y b ++=对称，则利用垂直关系，以及线段AB 的中点在直线0ax y b ++=上，列式求解即可.
【详解】易知1
2
AB k =
，则直线0ax y b ++=的斜率为-2， 所以2a -=-，即2a =．又AB 的中点坐标为52,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，
代入20x y b ++=，得132
b =-. 故选：A.
5．若直线l 将圆22420x y x y +--=平分，且不通过第四象限，则直线l 斜率的取值范围是 A ．[]0,1 B ．10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[]0,2
【答案】B
【分析】由直线l 将圆平分得直线l 过圆心(2,1)，再由直线l 不经过第四象限，即可求解直线l 的斜率的取值范围，得到答案.
【详解】由圆的方程22420x y x y +--=，可知圆心坐标为(2,1)，
因为直线l 将圆平分，所以直线l 过圆心(2,1)，又由直线l 不经过第四象限， 所以直线l 的斜率的最小值为0，斜率的最大值为max 101
202
k -==-， 所以直线l 的斜率的取值范围是1
[0,]2
，故选B.
【点睛】本题主要考查了直线的斜率的取值范围的求法，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中认真审题，得到直线必过圆的圆心，再根据斜率公式求解是解答的关键，同时属于圆的性质的合理运用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
6．已知点(,)P x y 在直线250x y ++=上，那么22x y +的最小值为（ ）
A B ．C ．5 D ．【答案】C
【分析】将y 用x 表示，根据二次函数的性质即可得结果. 【详解】由点在直线上可知25x y +=-，
25y x ∴=--，()2
22222552025x y x x x x ∴+=++=++
当2x =-时取得最小值5， 故选：C.
7．已知()2,4A ，()10
B ,，动点P 在直线1x =-上，当PA PB +取最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．81,5⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
B ．211,5⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
C ．()1,2-
D ．()1,1-
【答案】A
【分析】利用两点之间线段最短，先求点()10
B ,关于直线1x =-对称的点1B ，可得PA PB +
1=PA PB +，当A 、P 、1B 三点共线时()11min PA PB AB +=,可得答案.
【详解】点B 关于直线1x =-对称的点为()13,0B -．
=PA PB +11PA PB AB +≥,
当且仅当当A 、P 、1B 三点共线时，等号成立． 此时PA PB +取最小值，直线1AB 的方程为()40
32(3)
y x -=+--，
即()4
35y x =
+，令1x =-，得85
y =． 所以点P 的坐标为：81,5⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
故选:A ．
【点睛】本题主要考查了解析几何中的最值问题，利用几何意义和平面几何中的常用结论，非常巧妙，属于中档题.
8．已知直线20l x y -+=:与圆22:220C x y y m +--=相离，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(),0∞-
B ．1,2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,4⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
D ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭
【答案】D
【分析】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.
【详解】由22220x y y m +--=，得()2
2121x y m +-=+， ∵直线20l x y -+=:
与圆22:220C x y y m +--=相离， ∴210,012212m m +>⎧⎪-+⎨>+⎪
⎩1124m -<<-．
∴实数m 的取值范围是11,24⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，
故选:D ．
9．若圆()()2
2
:122C x y ++-=关于直线260ax by ++=对称，由点(),P a b 向圆C 作切线，切点为A ，则PA 的最小值是（ ） A ．6 B ．4
C ．3
D ．2
【答案】B
【分析】首先根据题意得到30a b --=，再利用圆的性质求解即可.
【详解】由题意知，直线260ax by ++=过圆心()1,2C -，即2260a b -++=， 化简得()30,,a b P a b --=在30x y --=上， 如图，为使PA 最小，
只需圆心()1,2C -与直线30x y --=上的点的距离最小， 如图所示：
123
322
d ---=
=所以PA ()
2
3224-=，
故选：B
10．下列说法正确的是（ ）
（1）在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程()x y a a +=∈R 表示 （2）方程()20mx y m +-=∈R 表示的直线的斜率一定存在 （3）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α．
（4）经过两点()111,P x y ，()22212(),P x y x x ≠的直线方程为
()21
1121
y y y y x x x x --=-- A ．（1）（4） B ．（2）（3） C ．（2）（4） D ．（1）（3）
【答案】C
【分析】根据直线的截距式方程，一般式方程，两点式方程可判断（1）（2）（4），由斜率和倾斜角的关系可判断（3）.
【详解】对于（1）选项，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，如2y x =但不能用(R)x y a a +=∈表示，故（1）选项错误；
对于（2）选项，方程20()mx y m +-=∈R 表示的直线的斜率为－m ，故（2）选项正确； 对于（3）选项，若90α=︒，则直线斜率不存在，故（3）选项错误；
对于（4）选项，经过两点()111,P x y ，
()()22212,P x y x x ≠的直线斜率21
21
y y k x x -=-，而12x x ≠，则直线斜率存在，结合直线点斜式方程可知，（4）选项正确． 故选：C ． 11．曲线214y x 与直线()24y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围为（ ）
A ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．
53
,124 C ．5,112⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】B
【分析】根据题意将曲线21
4y x 转化为()2
2
14x y +-=，1y ≥，是一个半圆,作图
如下,可结合图形确定直线与圆的交点个数,进而确定斜率k 的取值范围. 【详解】由21
4y x 可化为()2
2
14x y +-=，1y ≥，
所以曲线为以()0,1为圆心，2为半径的圆1y ≥的部分． 直线()24y k x =-+过定点()2,4P ，
由图知，当直线经过()2,1A -点时恰与曲线有两个点， 顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个, 且413
224AP k -==+，由直线与圆相切得214221k d k -+-=
=+， 解得5
12
k =
，则实数k 的取值范围为
53,124．
故选:B.
12．已知圆()()2
2
:211M x y -+-=，圆()()22
:211N x y +++=，则下列是M ，N 两圆公切线的直线方程为（ ）
（1）y ＝0 （2）340x y -= （3）250x y - （4）250x y -= A ．（1）（3）（4） B ．（2）（3）
C ．（1）（2）（4）
D ．（1）（2）（3）
【答案】A
【分析】根据两圆的位置关系可判断有4条公切线，结合两圆为半径相等且关于原点对称，由点到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】圆M 的圆心为()2,1M ，半径11r =．圆N 的圆心为()2,1N --，半径21r =，圆心距252d =>，两圆外离，故有四条公切线．
又两圆关于原点O 对称，则有两条内公切线过原点O ，设切线方程为y kx =， 2
2111k k -=+，解得k ＝0或4
3
k =
，
对应方程分别为y ＝0，430x y -=． 两条外公切线与直线MN 平行，而1:2MN
l y x =，设切线方程为1
2y x b =+，
1=，
解得b =
切线方程为20x y -=
，20x y -=． 故选：A
二、填空题
13
．直线10x +=的倾斜角为______． 【答案】
5π
6
150 【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可求解. 【详解】
直线10x ++=
的斜率k =， 设其倾斜角为θ
，故可得tan θ=[0,π)θ∈，故5π6θ=．
故答案为：
5π6
14．已知点P （m ，n ）在圆()()2
2
:229C x y -+-=上运动，则()()22
21m n +++的最大值为______． 【答案】64
【分析】()()2
2
21m n +++表示圆C 上的点P 到点()2,1M --的距离的平方，利用数形结
合分析即得解.
【详解】解：由题得圆心C （2，2），半径r ＝3．
()()
22
21m n +++表示圆C 上的点P 到点()2,1M --的距离的平方，
因为5CM =，所以max 538PM =+=，即()()22
21m n +++的最大值为64．
故答案为：64
15．已知直线l 过点()2,4P ，且与圆22:4O x y +=相切，则直线l 的方程为______． 【答案】34100x y -+=或2x =
【分析】利用待定系数法以及直线方程求解(注意讨论直线斜率是否存在). 【详解】因为2224204+=>，所以点P 在圆外．
当直线l 的斜率存在时，设其方程为()42y k x -=-，即240kx y k --+=． 由题意知圆O 的圆心坐标为O （0，0），半径为2． 2
2421k k -+=+，解得3
4
k =
， 故直线l 的方程为34100x y -+=．
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，也满足条件． 故直线l 的方程为34100x y -+=或2x =． 故答案为：34100x y -+=或2x =.
16．已知直线(1)(1)10a x a y a -++--=()a ∈R 过定点A ，线段BC 是圆22:46120D x y x y +--+=的直径，则AB AC ⋅=________.
【答案】7.
【分析】根据直线方程，化为()()110a x y x y +-+-+-= 的形式，建立关于x,y 的二元一次方程组即可求解直线所过定点;圆的方程化简为()()2
2
:231D x y -+-= ()()
AB AC AD DB AD DC ⋅=+⋅+ 代入计算即可．
【详解】直线()()1110a x a y a -++--= ()a R ∈ 可化为()()110a x y x y +-+-+-= ， 联立10
{
10
x y x y +-=-+-=，解得点()0,1A ，
∵线段BC 是圆()()2
2
:231D x y -+-=的直径，
∴()()
AB AC AD DB AD DC ⋅=+⋅+()
2
||817AD AD D B DB DC D C =+⋅++⋅=-=
【点睛】本题考查平面解析几何部分直线与圆的相关内容，考查含参直线的恒过定点问题以及向量数量积的运算，考查转化思想及计算能力．
三、解答题
17．在平面直角坐标系xOy 中，直线1:10l ax by ++=，2:(2)0l a x y a -++=. （1）求直线2l 经过定点的坐标； （2）当4b =且12l l //时，求实数a 的值. 【答案】（1）(1,2)--（2）8
3
a =
【分析】(1)只需将2l 的方程整理成()()120a x y x ++-=，由题意，直线过定点，即是与参数a 无关，因此只需10x +=且20y x -=，从而可求出定点坐标; (2)由直线与直线平行的充要条件可得24
a
a -=-且14a -≠-，即可求出a 的值.
【详解】（1）∵
()20a x y a -++=，
∴20ax x y a -++=， ∴()()120a x y x ++-=
令10x +=且20y x -=，则1x =-，2y =-，
∴对任意a R ∈，直线()2:20l a x y a -++=过定点()1,2-- （2）当4b =时，直线1:410l ax y ++=，即1
44
a y x =--
又知直线()2:20l a x y a -++=，即()2y a x a =--，12//l l ， ∴24
a
a -
=-且14a -≠-，
∴8
3
a =.
【点睛】本题主要考查直线恒过定点的问题以及两直线平行的充要条件.属于中档题型. 18．已知直线:(21)(1)1170l x y λλλ-+-+-=，R λ∈. (1)若直线l 与直线1:(1)10l x y λ+++=垂直，求实数λ的值
(2)若直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，求直线l 的方程. 【答案】(1)0λ=或2λ= (2)220x y +-=或340x y +=
【分析】（1）根据直线垂直的充要条件列方程求解即可； （2）求出在坐标轴上的截距，由条件求出λ，即可得出直线方程. 【详解】(1)因为直线l 与直线1:(1)10l x y λ+++=垂直， 所以(21)1(1)(1)0λλλ-⨯+-+=，解得0λ=或2λ=. (2)令0y =，得71121x λλ-=-，令0x =，7111y λ
λ
-=-， 由题意知
7117112211λλλλ
--=⨯--，解得35λ=或711λ=，
所以直线l 的方程为220x y +-=或340x y +=.
19．已知ABC 的顶点()3,4B ，AB 边上的高所在直线为1l ：30x y +-=，BC 边上的中线所在直线为2l ：370x y +-=，E 为AB 的中点. (1)求点E 的坐标；
(2)求过点E 且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线l 的方程. 【答案】(1)()2,3 (2)3
2
y x =或50x y +-=
【分析】（1）由题意可得1AB l ⊥，由直线1l 的方程可得它的斜率，可得直线AB 的斜率，可得直线AB 的方程，因为A 是AB 和BC 的中线的交点，联立两条直线求出点A 的坐标，进而求出A ，B 的中点E 的坐标；
（2）分直线l 过原点和不过原点两种情况讨论，设直线l 的方程，将E 的坐标代入求出参数的值，进而求出直线l 的方程.
【详解】(1)解：因为1AB l ⊥，而直线1l ：30x y +-=的斜率为1-， 所以直线AB 的斜率为1，即直线AB 的方程为：()413y x -=⨯-， 即10x y -+=，
所以点A 在直线AB 与BC 边上的中线的交点， 370
10x y x y +-=⎧⎨
-+=⎩
，解得1x =，2y =， 所以顶点A 的坐标1,2，
而E 为线段AB 的中点，所以1342,2
2E ++⎛⎫
⎪⎝⎭， 即E 的坐标()2,3；
(2)解：当直线l 经过原点时，设直线l 的方程为y kx =， 将E 的坐标()2,3代入可得32k =，解得32
k ， 这时直线的方程为3
2
y x =
； 当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为1x y
a a
+=，
将()2,3E 代入可得23
1a a
+=，
解得5a =，
这时直线l 的方程为50x y +-=， 综上所述：直线l 的方程为3
2
y x =
或50x y +-=. 20．已知线段AB 的端点B 的坐标是()5,1，端点A 在圆()2
21:1(3)4C x y -+-=上运动．
(1)求线段AB 的中点P 的轨迹2C 的方程；
(2)设圆1C 与曲线2C 的两交点为M ，N ，求线段MN 的长；
(3)若点C 在曲线2C 上运动，点Q 在x 轴上运动，求AQ CQ +的最小值． 【答案】(1)22(3)(2)1x y -+-= (2)45
MN =
293
【分析】(1) 设00(,)A x y ，(,)P x y ，可得002521
x x y y =-⎧⎨=-⎩，代入圆()2
21:1(3)4C x y -+-=化
简即可；
(2) 联立方程()()2
2
134x y -+-=和()()2
2
321x y -+-=，得MN 所在公共弦所在的直线方程230x y --=,再由弦长公式可求得结果；
(3) 作2C 关于x 轴得对称点()'
232C -，，连接'
12C C 与x 轴交于Q 点，根据时
'
123AQ CQ C C +≥-求解即可.
【详解】(1)设00(,)A x y ，(,)P x y ，点A 在圆2
21:1(3)4C x y -+-=（
），所以有：()
2
2001(3)4x y -+-=，
P 是A ，B 的中点，00
52
12x x y y +⎧
=⎪⎪⎨
+⎪=⎪⎩
，即002521x x y y =-⎧⎨=-⎩，得P 得轨迹方程为：22(3)(2)1x y -+-=； (2)联立方程()()22134x y -+-=和()()22
321x y -+-=，得MN 所在公共弦所在的直线方程230x y --=，
设1C 到直线MN 得距离为d ，则233
45
5
5
d --=
=
, 所以
16254255MN =-=，45
5
MN =； (3)作出2C 关于x 轴得对称点()'
232C -，
， 如图所示；
连接'
12C C 与x 轴交于Q 点，点Q 即为所求，
此时'
123293AQ CQ C C +≥-=，所以AQ CQ +293.
21．已知圆22
1:68210C x y x y +--+=．
(1)若直线1l 过定点(1,1)A ，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；
(2)若圆D 的半径为3，圆心在直线2:20l x y -+=上，且与圆C 相切，求圆D 的方程． 【答案】(1)1x =或51270x y -+=；
(2)()()2
2
119x y ++-=或()()2
2
689x y -+-=或()()2
2
249x y -+-=或
()()
22
359x y -+-=．
【分析】(1)设1l 的直线方程为()()()22
1100a x b y a b -+-=+≠(可以避开斜率为0和不
存在情况)，再用圆心到直线距离等于半径找出,a b 关系即可；
(2)讨论圆D 与圆1C 内切还是外切，分别计算出两种情况时的圆心坐标即可. 【详解】(1)圆()()22
:344C x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径2r =，
因为直线1l 过定点(1,1)A ，所以可设直线1l 的方程为()()()22
1100a x b y a b -+-=+≠，
因为直线1l 与圆C 2=，整理得2125ab b =-，则0b =或5
12
a b =-
， 当0b =时，直线1l 的方程为1x =； 当5
12
a b =-
时，直线1l 的方程为51270x y -+=．所以直线1l 的方程为1x =或51270x y -+=.
(2)因为圆D 的圆心在直线2:20l x y -+=上，所以可设(,2)D m m +，则
CD =
当圆D 与圆C 外切时，325CD =+=，
5，
解得1m =-或6m =，所以圆D 的方程为()()22
119x y ++-=或()()
2
2
689x y -+-=．
当圆D 与圆C 内切时，321CD =-=1=，解得2m =或3m =，
所以圆D 的方程为()()2
2
249x y -+-=或()()2
2
359x y -+-=．
综上，圆D 的方程为()()2
2
119x y ++-=或()()2
2
689x y -+-=或()()2
2
249x y -+-=或()()2
2
359x y -+-=．
22．已知圆C 经过点()52A -，
和()32B ，，且圆心C 在直线1l ：20x y --=上． (1)求圆C 的标准方程；
(2)已知过点()33M --，
的直线2l 被圆C 所截得的弦长为8，求直线2l 的方程． (3)圆C 关于直线1y =-的对称圆是圆Q ，设()11M x y ，、()22P x y ，是圆Q 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于()0m ，和()0n ，，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)()2
2225x y ++=. (2)43210x y ++=或3x =-. (3)是，25.
【分析】（1）利用圆的标准方程，结合题目条件，得圆心C 的坐标和半径，从而得结论；
（2）利用垂径定理得圆心()02C -，
到直线2l 的距离为3，再利用直线与圆的位置关系，结合对斜率是否存在的讨论和点到直线的距离公式，计算得结论；
（3）利用关于直线对称的圆的方程得圆Q 的方程，再利用题目条件得()111M x y --，、()211M x y -，，且得到12x x ≠，12x x ≠-，再利用直线的点斜式方程得直线1PM 和1PM 的
方程，令0x =得m 与n ，最后利用圆Q 的方程，计算得结论．
【详解】(1)解：因为圆心C 在直线1l ：20x y --=上，所以设()2C a a -，．
又因为圆C 经过点()52A -，
和()32B ，，
所以()()()()2
2
2
2
522322a a a a -+--+=-+-+，且半径r =
0a =，=5r ，
因此圆C 的标准方程为()2
2225x y ++=． (2)解：因为直线2l 被圆C 所截得的弦长为8，
所以由垂径定理得圆心()02C -，
到直线2l 3． ①当直线2l 的斜率不存在时，直线2l ：3x =-满足要求；
②当直线2l 的斜率存在时，不妨设直线2l 的方程为()33y k x +=+，即330kx y k -+-=，
由圆心()02C -，
到直线2l 的距离3d ==，解得43
k =-，因此直线2l 的方程为
43210x y ++=．
综上所述，直线2l 的方程为43210x y ++=或3x =-．
(3)解：因为()02C -，
关于直线1y =-的对称点为()00，，而圆C 关于直线1y =-的对称圆是圆Q ，
所以圆Q 的方程为2225x y +=．
因为点()11M x y ，关于原点和x 轴的对称点分别为1M 、2M ，所以()111M x y --，、()211M x y -，．
又因为()22P x y ，，
当12x x =时，点2M 的坐标为()221M x y -，
，则直线2PM 与x 轴垂直，不满足题意，所以12x x ≠．
当12x x =-时，点1M 的坐标为()121M x y -，
，则直线1PM 与x 轴垂直，不满足题意，所以12x x ≠-，
因此直线1PM 的方程为()21
1121
y y y y x x x x ++=++，直线2PM 的方程为()21
1121
y y y y x x x x ++=
--． 在方程()21
1121
y y y y x x x x ++=++中，令0x =得211121y y y x y x x +=⨯-+，即
211221112112
y y x y x y
m x y x x x x +-=
⨯-=++． 在方程()211121
y y y y x x x x ++=--中，令0x =得211121y y
y x y x x +=-⨯--，即
211221
112112
y y x y x y n x y x x x x ++=-
⨯-=--． 又因为()11M x y ，、()22P x y ，是圆Q 上的两个动点，所以1212
25y x =+，222225x y +=，
因此122112211212··x y x y x y x y m n x x x x -+=+-()()
2222
22221221122122221212
252525x x x x x y x y x x x x ----===--， 因此m n ⋅为定值．。