02_复变函数的积分

f ( z )dz 0
l
证明：
f ( z )dz udx v dy i v dx udy l l l Q P l Pdx Qdy S x y dxdy

l
v u u v f ( z )dz dxdy i dxdy S x S x y y
z i
1 π 3
定理：解析函数f(z)的导数仍是解析函数，它的n阶导数为：
f
(n)
n! f ( ) ( z) l ( z)n1 d 2πi
(n 1, 2, 3)
其中，l为函数f(z)的解析区域B内围绕z点的任意一条正向简单 闭曲线，且它的内部全含于B。
I ( z ) dz ( z ) dz Rnein d( +R ei ) l C
n n
C: z R ei
C
R e R e id iR
n in i 0
2
n 1
2

2
0
ei(n +1) d
R
C l
L L1 L2 L L L L L 1 2 L 1 L 2 L L L
(dx) 2 (dy) 2

L
f ( z )dz M l;
f ( z ) M ( M 0)
例：计算积分
y
I1 Re zdz,
l1
l1
I 2 Re zdz
l2
l1 l1
l2
1+i l1
解： I1 xdz xdx i xdy
cos z 2πi e1 e 例: z 1 ( z i)3 dz 2! (cos z) z i πi cos i πi 2 ez e z / ( z i) 2 e z / ( z i) 2 z 1 ( z 2 1)2 dz z i ( z i)2 dz z i ( z i)2 dz
1 z z f ( z) z f ( z )d z
z0
f(z)在B上连续, 对 >0, >0, 使得当|-z|<时, |f()-f(z)|<，即只要 小圆取得足够小，则小圆内一切点均满足|f()-f(z)|<，所以有：
F ( z z ) F ( z ) 1 z z 1 f ( z) z f ( ) f ( z ) d z z z
1 2 1 1 2 zdz z |i [1 (i) 2 ] 1 i 2 2 i i i i z sin zdz zd( cos z) z( cos z) 0 ( cos z)dz
1
0 0 0
icosi sin i i(cosi isin i) ieii ie1
Z1 Z2
B, Zn Zk
u ( x, y )dx v( x, y )dy
l

Zk-1
i v( x, y )dx u ( x, y )dy
l
1
A, Z0
0
x
复变函数积分的性质：
1) : 2) : 3) : 4) : 5) : 6) :
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz kf ( z)dz k f ( z)dz [ f ( z) f ( z)]dz f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz f ( z) dz f ( z) dS ; dS
例:

b
a
z sin z dz ,
2

1
i
zdz,
b
z sin zdz,
0
i
dz |z|2 ( z i)( z 3) ,
zdz 1 z2 2 | z|

b
a
1 1 z sin z 2 dz cos z 2 cos a 2 cos b 2 2 2 a
单通区域
复通区域
亚美尼亚
吉尔吉斯斯坦
巴勒斯坦
以色列
青海省泽库县
西藏革吉县
吉林省东辽县
新疆巴楚县
有向曲线：正方向；负方向。
对于区域（单通区域及复通区域）的境界线，通常这样规 定其（内外）正方向：当观察者沿着该方向前进时，区域总是 在观察者的左侧。
复通区域柯西定理 如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数，则有
如果函数fz在闭单连通区域上解析则沿上任意分段光滑闭合曲线l也可以是的边界有复通区域情形一般来说在区域内只要有一个简单的闭合曲线其内有不属于该区域的点这样的区域便是复通区域
第二章
复变函数的积分
§2.1 复变函数的积分
设在给定的光滑或逐段光滑曲线l上定义了函数f(z)=u+iv，且l是以 A为起点，B为终点的有向曲线．把曲线任意分成n个小段，分点依 次为z0, z1, z2, … , zn, 在某小弧段[zk-1, zk]上任意取一点 k，作和

z z
z
d
z z

F ( z z ) F ( z ) F '( z ) lim f ( z) z 0 z


z2
z1
f ( )d F ( z2 ) F ( z1 )
例：计算积分 I l ( z ) n dz
1) 若回路l不包围点 被积函数在l所围区域上是解析的, 由柯西定理, 积分值为零。 2) 若回路l包围点 n0, 被积函数在 l 所围区域上是解析的，I=0； n<0, 被积函数在 l 所围区域上有一个奇点
§2.3 不定积分
根据柯西定理可知，若函数f(z)在单连通域B上解析，则沿 B上任一路径 l 的积分 l f(z)dz 的值只与起点和终点有关，而与 路径无关。因此，当起点z0固定时，这个不定积分就定义了一 个单值函数，记作
F ( z ) f ( )d
z0
z
可以证明，F(z)在B上是解析的，且F(z)=f(z)，即F(z)是f(z)的 一个原函数。
1 n 1 iR n 1 ei(n 1) i(n 1)
n 1 i d 2 i 0 2
0
0
0, l不包围 1 dz i.e. l z 1, l包围 , 2 i
1 ( z ) n dz 0. ( n 1) 2 i l
1 xdx i 1dy i 0 0 2
1 1
l2 0 l1
x
I 2 xdz xdx i xdy
l2 l2 l2
1 xdx i 0 dy 0 0 2
1 1
y 1+i l2 0 l1 x
课堂练习：计算积分
I1 zdz ,
l
I 2 zdz
l AB l1 B ' A' CD l2 D 'C '
B B
l1
D
l2 D
C C

f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz 0
l l1 l2
l
总结：单连通和复连通区域的柯西定理说的是： (1) 闭单连通区域中的解析函数沿境界线或区域内任一闭合 曲线的积分为零；
是任取的， f ( z ) 1 常把记作z 2πi
f ( ) l z d
例:

z i 1

z 2
e dz 2πieiz z i 2πei z i z z 5 z z dz z i dz 2πi 5 z (5 z )( z i )
1 dz f ( ) dz 1 f ( ) l z a 1 f ( ) 2πi l z 2πi l z dz 2 i
只需证明
1 f ( z ) f ( ) l z dz 0 2πi
max f ( z ) f ( ) f ( z ) f ( ) 2 C z dz
证明：只要对B上任一点z，证明F(z)=f(z)就行了。 以z为心作一含于B的小圆，在小圆内取 z+z 点，有
z 1 z z F ( z z ) F ( z ) f ( )d f ( )d z z z z
0 0
z B
z+ z
1 z z z f ( )d z
0C z f ( z ) f ( )max f ( z ) f ( ) 0

l
f ( z ) f ( ) dz z
0 2 max f ( z ) f ( ) 0
1 f ( z ) f ( ) 即有 l z dz 0 2πi
dz 1 1 1 |z|2 ( z i)( z 3) |z|2 3 i z i z 3 dz 1 1 1 1 1 2πi |z|2 z idz 3 i |z|2 z 3 dz 2πi 3 i 0 3 i 3i
f (
k 1
n
k
)( zk zk 1 )
于n且每一小段都无限缩短时，如果此和的极限存在且与 k的选 取无关，则称这个极限值为函数f(z)沿曲线l从A到B的路积分，记作

l
f ( z )dz lim f ( k )( zk zk 1 )
n k 1
n
y
k 2 3
(2) 闭复连通区域中的解析函数沿所有境界线的正方向(即 外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向)的积分为零；
(3) 在闭复连通区域中的解析函数按逆时针方向沿外境界线 的积分等于按逆时针方向沿所有内境界线的积分之和。 闭路变形原理 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线 在区域内作连续变形而改变积分的值，只要在变形的过程中 曲线不经过函数不解析的点。
2 i [e z / ( z i)2 ]z i [e z / ( z i)2 ]z i i 2 sin 1 / 4
zdz 1 1 1 1 dz 1 1 2 1 z 2 |z2 2 z i z i dz 2 |z2 z i 2 |z2 z i dz πi πi=2πi | z| | | |
§2.4 柯西公式
柯西公式 如果f(z)在闭单通区域 B 上解析，l为 B 的境界线， 是 B 内任意一点，则有 1 f ( z) f ( ) l z dz 2πi
f ( z )dz 0
l
u v v u ; x y x y
(2) 复通区域情形
一般来说，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有 不属于该区域的点，这样的区域便是复通区域。 或者形象地说，把奇点(即函数不可导、不连续或者根本 无定义的点)挖掉而形成的某种带“孔”的区域，即所谓的复 通区域。
f z dz f z dz 0
l i 1 li
n
式中 l 为区域的外境界线，诸 li 为区域的内境界线，积分均沿 境界线的正方向进行。 证明：作割线连接内外境界线，复通区域 变成单通区域，由单通区域柯西定理有：
A
A
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 0
l
l1
§2.2 柯西定理
(1) 单通区域情形
单连通区域：复平面上的一个区域B，在其中任作一条简单闭 合曲线，若曲线的内部总属于B，就称为单连通区域，或单连 通域，简称为单通区域（或单通域）。
单通区域柯西定理： 如果函数f(z)在闭单连通区域 B 上解析，则沿 B 上任意分 段光滑闭合曲线l（也可以是 B 的边界），有