咸阳市名校2019-2020学年高一下期末调研数学试题含解析

咸阳市名校2019-2020学年高一下期末调研数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数22sin 2cos sin 3y x x x =+--的最大值是（）
A ．
34
B ．34
-
C ．3
D ．3-
【答案】B 【解析】 【分析】
令sin ,[1,1]t x t =∈-，再计算二次函数定区间上的最大值。

【详解】
令sin ,[1,1]t x t =∈-
则2
2
2
2
13sin 2cos sin 3=1()2
4
y x x x t t t =+-----=-+-
max y =34
-
【点睛】
本题考查利用换元法将计算三角函数的最值转化为计算二次函数定区间上的最值。

属于基础题。

2．已知向量a =(3，4)，b =(2，1)，则向量a 与b 夹角的余弦值为( )
A B ．-
C D 【答案】A 【解析】 【分析】
由向量的夹角公式计算． 【详解】
由已知2345a =+=，5b =，324110a b ⋅=⨯+⨯=．
∴cos ,555
a b a b a b
⋅<>==
=⨯．
故选A ． 【点睛】
本题考查平面向量的数量积，掌握数量积公式是解题基础． 3．若a b >，0ab ≠则下列不等式恒成立的是（ ）
【解析】 【分析】
利用不等式的性质、对数、指数函数的图像和性质，对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】
对于选项A, 22a b >不一定成立，如a=1＞b=-2,但是22a b ＜，所以该选项是错误的； 对于选项B, 1111
,,,lg 0,2366
a b a b =
=-=<所以该选项是错误的； 对于选项C,
11,0,b a b a a b ab
--=-<ab 符号不确定，所以11a b <不一定成立，所以该选项是错误的；
对于选项D, 因为a>b,所以a b 22>，所以该选项是正确的. 故选D 【点睛】
本题主要考查不等式的性质，考查对数、指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．矩形ABCD 中，(3,1)AB =-，(2,)BC k =-，则实数k =（ ） A ．-16 B ．-6
C ．4
D ．
2
3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意即可得出AB BC ⊥，从而得出0AB BC =，进行数量积的坐标运算即可求出实数k ． 【详解】
据题意知，AB BC ⊥,
∴60AB BC k =+=,
6k ∴=-．
故选：B ． 【点睛】
考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算,属于容易题．
5．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为 A ．5 B ．4
C ．2
D ．1
试题分析：由已知有2
2
[(1)]0a b a +-+=，∴22
1
a b a
+=，∴221112a ab a a a a a a +=⨯=+=+≥. 考点：1.两直线垂直的充要条件；2.均值定理的应用.
6．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,2sin sin a A C ==. 若B 为钝角，1
cos 24
C =-，则ABC ∆的面积为( )
A B C ．D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
先由正弦定理求出c 的值，再由C 角为锐角求出C 角的正余弦值， 利用角C 的余弦公式求出b 的值，带入1
sin 2
ABC S ab C ∆=，及可求出面积． 【详解】
因为2a =，2sin sin A C =，所以24c a ==．
又因为1cos 24C =-
，且C 为锐角，所以cos C =sin C =．
由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，解得b =
所以11sin 222ABC S ab C ∆==⨯⨯= 故选B. 【点睛】
本题考查利用正余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于中档题．
7．三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，单位圆定义法是任意角的三角函数常用的定义方法，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，任意角的终边与单位圆交点坐标为因变量的函数.平面直角坐标系中的单位圆指的是平面直角坐标系上，以原点为圆心，半径为单位长度的圆.问题：已知角α的终边与单位圆的交点为34,55P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则cos()sin()παα++-=（ ）
A ．15
- B ．
15 C ．75
-
D ．75
【答案】A 【解析】
因为角α的终边与单位圆的交点为34,
55P ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
，所以3cos 5α=-，4sin 5
α， 则1
cos()sin()cos sin 5
παααα++-=--=-. 故选：A. 【点睛】
本题考查任意角三角函数值的求法，考查诱导公式的应用，属于基础题, 8．如果存在实数x ，使1cos 22x x
α=+成立，那么实数x 的取值范围是（ ） A ．{1,1}-
B ．{|0x x <或1x =}
C ．{|0x x >或1}x =-
D ．{|0x x ≤或1}x ≥
【答案】A 【解析】 【分析】
根据cos [1,1]α∈-，可得11122x x
-≤+≤，再根据基本不等式取等的条件可得答案. 【详解】
因为cos [1,1]α∈-，
所以11122x x -≤+≤， 即1||122x x +≤，即1
||||122x x
+≤，
又1|
|||122x x +≥=（当且仅当1x =±时等号成立） 所以1
|
|||122x x
+=，所以1x =±. 故选：A 【点睛】
本题考查了余弦函数的值域，考查了基本不等式取等的条件，属于中档题. 9．向量(),1a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b -等于（ ）
A B
C ．
D ．10
【答案】B 【解析】
先由数量积为0，得出2x =，求出a b -的坐标，利用模长的坐标公式求解即可. 【详解】
由题意可得 202a b x x ⋅=-=∴=，则(1,3)a b -=
则19a b =+-=故选：B 【点睛】
本题主要考查了向量模的坐标表示以及向量垂直的坐标表示，属于基础题. 10．在△ABC 中，A ＝60°，
AB ＝2，且△ABC 的面积为
2
，则BC 的长为(
)． A
B ．2
C
．D 【答案】D 【解析】 【分析】
利用三角形面积公式列出关系式，把AB sinA ，，已知面积代入求出AC 的长，再利用余弦定理即可求出
BC 的长．
【详解】
∵在ABC △中，602A AB =︒
=，，且ABC △
的面积为
2
，
∴11 222222
AB AC sinA AC ⋅⋅=∴⨯⨯⨯=
， 解得：1AC = ，
由余弦定理得：22221423BC AC AB AC AB cosA =+-⋅⋅=+
-= ， 则BC =． 故选D ． 【点睛】
此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
11．函数22,1()11,12
x x f x x x ⎧-⎪
=⎨->⎪⎩则()()2f f ＝（ ）
【解析】 【分析】
先求得()2f 的值，进而求得()()2f f 的值. 【详解】 依题意()1
22102
f =⨯-=，()00221f =-=-，故选B. 【点睛】
本小题主要考查分段函数求值，考查运算求解能力，属于基础题.
12．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则
15793
log ()a a a ++的值是( )
A ．－5
B ．－
15
C ．5
D ．
15
【答案】A 【解析】
试题分析：331313log 1log log log 1n n n n a a a a +++=∴-=即13
log 1n n a a +=13n n
a
a +∴= ∴数列{}n a 是公比为3的等比数列335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=
15793
log ()5a a a ∴++=-．
考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质． 二、填空题：本题共4小题 13．等差数列中，12318192024,78,a a a a a a ++=-++=则此数列的前
项和 _________.
【答案】180 【解析】
由181920123()7824102,173102,a a a a a a d ++-++=+=∴⨯=,
212,8,10d a a ∴==-∴=-,可知202019
20(10)21802
S ⨯=⨯-+
⨯=. 14．已知函数2()2log x f x x =+，数列{}n a 的通项公式是0.1()n a n n =∈N ，当()2005n f a -取得最
小值时，n =_______________. 【答案】110 【解析】 【分析】
要使()2005n f a -取得最小值，可令()20050n f a -=，即0.122log 0.12005n
n +=，对n 的值进行粗
由题知：0.12()2005(0.1)20052log 0.12005n
n f a f n n -=-=+-①.
要使①式取得最小值，可令①式等于0. 即0.122
log 0.120050n
n +-=，0.122log 0.12005n n +=.
又因为102=1024，112=2048，
则当100n =时，102=1024，2log 103≈，①式978≈. 则当110n =时，112=2048，2log 103≈，①式46≈. 当100n <或110n >时，①式的值会变大， 所以110n =时，()2005n f a -取得最小值. 故答案为：110 【点睛】
本题主要考查数列的函数特征，同时考查了指数函数和对数函数的性质，核心素养是考查学生灵活运用知识解决问题的能力，属于难题. 15．已知数列{}n a 满足：3
122123n n a a a
a n
+++⋅⋅⋅+=（n *∈N ），设{}n a 的前n 项和为n S ，则5=S ______； 【答案】130 【解析】 【分析】
先利用递推公式计算出{}n a 的通项公式，然后利用错位相减法可求得n S 的表达式，即可完成5S 的求解. 【详解】 因为3122123n n a a a a n
+++⋅⋅⋅+=，所以()131********n n a a a a
n n --+++⋅⋅⋅+=≥-，
所以
()122n n
a n n
-=≥，所以()122n n a n n -=⋅≥，
又因为
1
21a =，不符合2n ≥时的通项公式，所以()1
2,1*2,2n n n a n N n n -=⎧=∈⎨⋅≥⎩
， 当2n ≥时，12122232...2n n S n -=+⋅+⋅++⋅，所以223222232...2n n S n =+⋅+⋅++⋅，
所以123122222...22n n n
S n --=-+⋅++++-⋅，
所以()()1212212212
n n n n S n n --=⋅-=-⋅+-，
所以55
422130S =⋅+=.
本题考查根据数列的递推公式求通项公式以及错位相减法的使用，难度一般.利用递推公式求解数列的通项公式时，若出现了1n a -的形式，一定要注意标注2n ≥，同时要验证1n =是否满足2n ≥的情况，这决定了通项公式是否需要分段去写.
16．某县现有高中数学教师500人，统计这500人的学历情况，得到如下饼状图，该县今年计划招聘高中数学新教师，只招聘本科生和研究生，使得招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到8%，且研究生的比例保持不变，则该县今年计划招聘的研究生人数为_______.
【答案】50 【解析】 【分析】
先计算出招聘后高中数学教师总人数，然后利用比例保持不变，得到该县今年计划招聘的研究生人数. 【详解】
招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到8%， 则招聘后，该县高中数学教师总人数为50010%
6258%
⨯=，
招聘后研究生的比例保持不变，
∴该县今年计划招聘的研究生人数为()62550040%50-⨯=.
【点睛】
本题主要考查学生的阅读理解能力和分析能力，从题目中提炼关键字眼“比例保持不变”是解题的关键. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且acosC+ccosA=2bcosA ． （1）求角A 的值；
（2）若10b c +=2a =，求△ABC 的面积S ． 【答案】（1）3
A π
=（1）
3
2
【解析】
试题分析：（1）由已知利用正弦定理，两角和的正弦公式、诱导公式化简可得sin 2sin cos B B A = ，结合sin 0B ≠ ，可求cos A ，进而可求A 的值；（1）由已知及余弦定理，平方和公式可求bc 的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解.
∴sin （A+C ）=sinB=1sinBcosA ， ∵sinB≠0， ∴1cos 2A =
，可得：3
A π= （1）∵222
1cos 22b c a A bc
+-==，
，∴b 1+c 1=bc+4，可得：（b+c ）1=3bc+4=10，可得：
bc=1．∴13
sin 22
S bc A =
=
． 18．已知函数()2cos (sin cos )()f x x x x m m R =-+∈，将()y f x =的图象向左平移
4
π
个单位后得到()y g x =的图象，且()y g x =在区间0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π2.
（1）求实数m 的值；
（2）求函数()y g x =与直线1y =相邻交点间距离的最小值.
【答案】（1）1；（2）4
π
【解析】 【分析】
（1）将()f x 化简可得()2)14
f x x m π=
--+，再由平移变换可得()2)14g x x m π
=+-+，
由()g x 在区间0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π2，可得m 的值；
（22)14
x π
+=，可得所求相交点距离的最小值.
【详解】
解：（1）()2cos (sin cos )f x x x x m =-+sin 2cos21x x m =--+2)14
x m π
=--+
所以， ()g x 2)14
x m π
=
+-+
x ∈0,
4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π， 32,444x π
ππ⎡⎤∴+
∈⎢⎥⎣⎦
∴当242
x ππ+=
时，即8
x π=
时，函数()g x 212m +=
，
∴1m =.
（2）根据题意，令()g x 2)1x π=
+=，2
sin(2)x π+=，
∴224
4
x k π
π
π+
=+
或3224
4
x k π
π
π+
=+
，k Z ∈. 解得11x k π=或224
x k π
π=+，12,k k Z ∈.
因为1212()4
4
x x k k π
π
π-=--
≥
，当12k k =时取等号，
∴相邻交点间距离的最小值是4
π. 【点睛】
本题主要考查三角函数的平移变化及三角恒等变换与三角函数的性质，属于中档题. 19．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点P 的坐标是(1,2)-. （1）求sin ,tan αα；
（2）求2sin()sin 2sin(2)cos()
⎛⎫
--- ⎪
⎝⎭-++ππααπαπα；
【答案】（1
）sin α=tan 2α（2）5-
【解析】 【分析】
（1）求得P
点到原点的距离r =
（2）同（1）可求出cos α，然后用诱导公式化简，再代入sin ,cos αα值计算． 【详解】 （1
）
(1,2),P r -∴=
sin α∴=
tan 2α∴=-
（2
）
sin α=
，α
为第四象限，cos α∴=2sin()sin 2sin cos 2sin(2)cos()sin cos ππααααπαπααα
⎛⎫
--- ⎪
-⎝⎭=-++--
255255
525555
⨯
+==--+ 【点睛】 本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题．
20．在等差数列{}n a 中，22343,21a a a a ==+．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）2n S n =.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{}n a 的通项公式． （Ⅱ）由11a =，21n a n =-，能求出数列{}n a 的前n 项和．
【详解】
（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则
()()11
1332231a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩ 解得1a 1,d 2，∴21n a n =-．
（Ⅱ）()21212
n n n S n +-==． 21．已知圆22:9C x y +=，点(50)A -，
，直线:20l x y -=.
（1）求与直线l 垂直，且与圆C 相切的直线方程；
（2）在x 轴上是否存在定点B （不同于点A ），使得对于圆C 上任一点P ，
PB PA 为常数？若存在，试求这
个常数值及所有满足条件的点B 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1
）20x y ++=
或20x y +-=
（2）存在，9(,0)5
B -，PB PA 35= 【解析】
【分析】
（1）先设与直线l 垂直的直线方程为20x y m ++=，再结合点到直线的距离公式求解即可； （2）先设存在，利用都有
PB PA 为常数及P 在圆上，列出等式，然后利用恒成立求解即可.
【详解】 解：（1）由直线:20l x y -=.
则可设与直线l 垂直的直线方程为20x y m ++=，
又该直线与圆22
:9C x y +=相切，
3=
，则m =
故所求直线方程为20x y ++=
或20x y +-=；
（2）假设存在定点(,0)B t 使得对于圆C 上任一点P ，
PB
PA 为常数， 则222PB PA λ=,
所以22222
()[(5)]x t y x y λ-+=++，
将229y x =-代入上式化简整理得： 2222(5)3490t x t λλ++--=对[]3,3x ∈-恒成立，
所以222503490t t λλ⎧+=⎨--=⎩
， 解得3595t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或15t λ=⎧⎨=-⎩， 又5t ≠-，
即
3
5
9
5 t
λ
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
所以存在定点
9
(,0)
5
B-使得对于圆C上任一点P，
PB
PA
为常数
3
5
.
【点睛】
本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了点与圆的位置关系，属中档题.
22．如图，在四棱锥P ABCD
-中，//
AD BC，且2
PA PD
==，222
AD BC
==，PA CD
⊥，点E在PC上，且2
PE EC
=．
（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（2）求证：直线PA∥平面BDE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）通过边长关系可知222
PA PD AD
+=，所以PA PD
⊥，又PA CD
⊥，所以PA⊥平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD．（2）连接AC交BD与点F，连接EF，易得ADF
∆∽CBF
∆，所以//
PA EF，所以直线//
PA平面BDE．
，
【详解】
（1）因为2
PA PD
==，22
AD=
所以222
PA PD AD
+=，所以PA PD
⊥
又PA PD
⊥，且PD CD D
⋂=，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD
所以PA⊥平面PCD
又PA⊂平面PAD
所以平面PAD⊥平面PCD
（2）连接AC交BD与点F，连接EF
在四边形ABCD中，//
AD BC，2
AD BC
=
ADF ∆∽CBF ∆，所以
2AD AF BC FC
== 又2PE EC =，即2PE AF EC FC == 所以//PA EF
又直线EF ⊂平面BDE ，直线PA ⊄平面BDE
所以直线//PA 平面BDE
【点睛】
（1）证明面面垂直：先正线面垂直，线又属于另一个面，即可证明面面垂直．（2）证明线面平行，在面内找一个线与已知直线平行即可.。