河南省郸城县第二高级中学2025届高三下学期第一次调研考试数学试题试卷

河南省郸城县第二高级中学2025届高三下学期第一次调研考试数学试题试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列说法正确的是（ ）
A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”
B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题
C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立
D ．“若1sin 2α≠
，则6
π
α≠”是真命题
2．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ）
A ．1
2
y x =±
B ．2y x =±
C ．y x =
D ．y =
3．已知抛物线2
20y x ＝的焦点与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的
线段长为
9
2
，那么该双曲线的离心率为（ ）
A ．
54 B ．
53
C ．
52
D
4．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则V
v
=（ ） A ．4
B ．8
C ．9
D ．27
5．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，则m α⊥
6．已知函数()1x
f x xe
-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同
的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e
B ．2(,]e e e
-
C ．22(,]e e e e
-
+ D ．2
(1,]e e
-
7．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10
B ．14-
C ．–18
D ．–20
8．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩
，则22
z x y =+的最大值等于( )
A ．2
B ．22
C ．4
D ．8
9．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，
O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）
A ．2
B ．5
C ．6
D ．7
11．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ） A ．
13
B ．
310
C ．
25
D ．
34
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设x ,y 满足约束条件360200,0
x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩
,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23
a b +的最小值为
______．
14．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以 A 为圆心，1为半
径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE ，并将两弧各五等分，分点依次为 M 、1P 、2P 、3P 、4P 、N 以及 N 、1Q 、2
Q 、3Q 、4Q 、E ．一只蚂蚁欲从点1 P 出发，沿正方体的表面爬行至4 Q ，则其爬行的最短距离为
________．参考数据：cos90.9877︒=； cos180.9511 ︒=；cos270.8910︒=）
15．设x ，y 满足约束条件3240,
460,20,x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩
，则22
z x y =+的最大值为______.
16．设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若()(2)P c P c ξξ>=<+，则c 的值是______． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 是边AD 上一点，且2AE ED =，点H 是BE 的中点，将ABE △沿着BE 折起，使点A 运动到点S 处，且满足SC SD =.
（1）证明：SH ⊥平面BCDE ； （2）求二面角C SB E --的余弦值. 18．（12分）已知21
()(ln )ln 12
f x x x k x =-
--()k ∈R . （1）若()f x 是(0,)+∞上的增函数，求k 的取值范围； （2）若函数()f x 有两个极值点，判断函数()f x 零点的个数. 19．（12分）已知函数(
)
()(1)1x
f x x e =+-. （Ⅰ）求()f x 在点(1,(1))f --处的切线方程； （Ⅱ）已知()f x ax ≥在R 上恒成立，求a 的值.
（Ⅲ）若方程()f x b =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：2111
eb
x x b e -≤++
-. 20．（12分）某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）. 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号x
1 2 3 4 5 6 7
年利润y （单位：亿元）
29
33 36 44
48
52 59
（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8）的年利润；
（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2013年至2020年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率.
参考公式：()()
()
1
2
1
n
i
i i n
i
i x
x y y
b x
x
==--=
-∑∑，a y bx =-.
21．（12分）在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A B BA 是菱形，4AB =，160ABB ∠=︒，113B C =，BC AB ⊥，点M 、N 分别是1A B 、1AC 的中点，且1⊥MN AB .
（1）求证：平面11BCC B ⊥平面11A B BA ； （2）求四棱锥11A BCC B -的体积.
22．（10分）设F 为抛物线2
:4C y x =的焦点，P ，Q 为抛物线C 上的两个动点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若点F 在线段PQ 上，求PQ 的最小值； （Ⅱ）当OP PQ ⊥时，求点Q 纵坐标的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解题分析】
选项A ，否命题为“若1a ≤，则21a ≤”，故A 不正确．
选项B ，逆命题为“若a b <，则22am bm <”，为假命题，故B 不正确． 选项C ，由题意知对x ∀()0,∈+∞，都有34x x <，故C 不正确． 选项D ，命题的逆否命题“若6
π
α=，则1sin 2α=
”为真命题，故“若1sin 2α≠，则6
π
α≠”是真命题，所以D 正确． 选D ． 2、D 【解题分析】
根据PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒可求出点P 的坐标，又由1PF 的斜率为3
4
可得出,a c 关系，即可求出渐近线斜率得解. 【题目详解】 如图，
因为PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒， 所以||||2PB AB a ==，60PBM ∠=︒,
||cos602,||sin603P P x PB a a y PB a ∴=⋅︒+==⋅︒=，
又1
PF k ==
2a c ∴= 223a b ∴=，
解得
b
a
=
所以双曲线的渐近线方程为y =， 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题. 3、A 【解题分析】
由抛物线2
20y x ＝的焦点(5,0)得双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的焦点(5,0)±，求出5c ＝，由抛物线准线方程
5x =-被曲线截得的线段长为92，由焦半径公式229
2
b a =，联立求解.
【题目详解】
解：由抛物线2
20y x ＝，可得220p ＝，则10p ＝
，故其准线方程为5x =-， 抛物线2
20y x ＝的准线过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点，
5c ∴＝．
抛物线2
20y x ＝的准线被双曲线截得的线段长为
9
2
， 2292
b a ∴=，又22225
c a b +＝＝，
4,3a b ∴＝＝，
则双曲线的离心率为5
4
c e a ==． 故选：A ． 【题目点拨】
本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率. 弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长． 4、D 【解题分析】
设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ，作正四面体的高为PM ，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在Rt AMN ∆中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解. 【题目详解】
设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ， 作正四面体的高为PM ，
则323
3AD AM AD =
==
， 226
3
PM PA AM ∴=-=
， 1362
34312
P ABC V -∴=⨯=
， 设内切球的半径为r ，内切球的球心为O ， 则1
3
443P ABC O ABC V V --==⨯， 解得：6r =
； 设外接球的半径为R ，外接球的球心为N ， 则MN PM R =-或R PM -，AN R =， 在Rt AMN ∆中，由勾股定理得：
222AM MN AN +=，
2
2
133R R ⎛⎫∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得R =， 3R
r
∴=， 3
327V R v r
∴== 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题. 5、C 【解题分析】
根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 【题目详解】
对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误； 对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误； 对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确； 对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误. 故选：C . 【题目点拨】
本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题. 6、D 【解题分析】
将原题等价转化为方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断()0,1x ∈时，
()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2
()ln 1F x x x ax =-++，求导得
221
()x ax F x x
'
--=-
，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是
减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合2
11210x ax --=，构造函数()2
ln 1m x x x =+-，求导即可求解；
【题目详解】
函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，
等价于方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.
111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.
设2
()ln 1F x x x ax =-++，2121
()2x ax F x x a x x
'
--=-+=-，
若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.
设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.
因为0(0,]x e ∀∈，方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，
所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e
≤-
. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2
111ln 0x x ax -+>.
因为21
1210x ax --=，所以11
12a x x =-
，代入2111ln 0x x ax -+>，得2
11ln 10x x +->. 设()2
ln 1m x x x =+-，()1
20m x x x
'=
+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由2
11ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.
由1112a x x =-
在()1,e 上是增函数，得112a e e
<<-. 综上所述2
1a e e
<≤-， 故选：D. 【题目点拨】
本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题
7、D 【解题分析】
利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得n S ，再利用二次函数的性质，可得当4n =或5时，n S 取到最小值. 【题目详解】
根据题意，可知{}n a 为等差数列，公差2d =，
由134,,a a a 成等比数列，可得2
314a a a =，
∴1112
()4(6)a a a ++=，解得18a =-.
∴22(1)981
829()224
n n n S n n n n -=-+
⨯=-=--. 根据单调性，可知当4n =或5时，n S 取到最小值，最小值为20-. 故选：D. 【题目点拨】
本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当4n =或5时同时取到最值. 8、D 【解题分析】
画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得z 的最大值. 【题目详解】
画出可行域如下图所示，其中()51,,2,22A C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于2OA ==,OC =，所以OC OA >，
所以原点到可行域上的点的最大距离为
所以z 的最大值为(2
8=.
故选：D
【题目点拨】
本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
9、B
【解题分析】
根据复数的几何意义可知复数z对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定z i-，即可得z i-的最大值.
【题目详解】
由1
z=知，复数z对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
z i-表示复数z对应的点与点()
0,1间的距离，
又复数z对应的点所在圆的圆心到()
0,1的距离为1，
所以
max 112
z i-=+=.
故选：B
【题目点拨】
本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.
10、D
【解题分析】
作出图象，取AB 中点E ，连接EF 2，设F 1A ＝x ，根据双曲线定义可得x ＝2a ，再由勾股定理可得到c 2＝7a 2，进而得到e 的值 【题目详解】
解：取AB 中点E ，连接EF 2，则由已知可得BF 1⊥EF 2，F 1A ＝AE ＝EB ， 设F 1A ＝x ，则由双曲线定义可得AF 2＝2a +x ，BF 1﹣BF 2＝3x ﹣2a ﹣x ＝2a ， 所以x ＝2a ，则EF 2＝23a ，
由勾股定理可得（4a ）2+（23a ）2＝（2c ）2， 所以c 2＝7a 2， 则e 7c
a
=
= 故选：D ．
【题目点拨】
本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有,,a b c 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率. 11、A 【解题分析】 将
整理为
，根据的范围可求得
；根据
，结合
的值域和
的图象，可知
，解不等式求得结果.
【题目详解】
当时，
又，，
由在上的值域为
解得：
本题正确选项：
【题目点拨】
本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.
12、B
【解题分析】
将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.
【题目详解】
设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为(,,)
x y z,则基本事件有
(1,1,4),(1,4,1) ,(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10个,其中符合乙获得“最佳手
气”的有3个,故所求概率为
3 10
,
故选：B.
【题目点拨】
本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、25 6
【解题分析】
先根据条件画出可行域,设z ax by
=+,再利用几何意义求最值,将最大值转化为y轴上的截距,只需求出直线
z ax by
=+,过可行域内的点(4,6)时取得最大值,从而得到一个关于a,b的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．【题目详解】
解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,
当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时, 目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大12, 即4612a b +=,即236a b +=, 而
2323236a b a b a b +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭1313252666
b a a b ⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭． 故答案为
25
6
． 【题目点拨】
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题． 14、1.7820 【解题分析】
根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解. 【题目详解】
棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以 A 为圆心，1为半径，分别在
面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE .
将平面ABCD 绕AB 旋转至与平面11ABB A 共面的位置，如下图所示：
则14180
814410
P AQ ∠=
⨯=，所以142sin 72PQ =； 将平面ABCD 绕AD 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，将11ABB A 绕1AA 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，如下图所示：
则1490
2901265
P AQ ∠=
⨯+=，所以142sin 63PQ =； 因为sin 63sin 72<，且由诱导公式可得sin 63cos 27=， 所以最短距离为142sin 6320.8910 1.7820PQ ==⨯=， 故答案为：1.7820. 【题目点拨】
本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题. 15、29 【解题分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为以原点为圆心的圆，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代
入目标函数得答案. 【题目详解】
由约束条件3240,460,20,x y x y x -+≥⎧⎪
++≥⎨⎪-≤⎩
作出可行域如图：
联立3240,20,x y x -+=⎧⎪⎨⎪-=⎩
，解得(2,5)A ，
目标函数22
z x y =+z 为半径的圆，
由图可知，此圆经过点A z 最大，此时z 也最大， 最大值为222529z =+=. 所以本题答案为29. 【题目点拨】
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 16、1 【解题分析】 由题得
2
22
c c ++=，解不等式得解. 【题目详解】
因为()(2)P c P c ξξ>=<+，
所以
2
22
c c ++=， 所以c=1. 故答案为1 【题目点拨】
本题主要考查正态分布的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析；（2）3
3
【解题分析】
（1）取CD 的中点M ，连接HM ，SM ，由2SE SB ==，进而SH BE ⊥，由SC SD =，得SM CD ⊥. 进而CD ⊥平面SHM ,进而结论可得证（2）（方法一）过H 点作CD 的平行线GH 交BC 于点G ，以点H 为坐标原点，
,,HG HM HS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，求得平面SBC ，平面SBE 的
法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取BS 的中点N ，BC 上的点P ，使2BP PC =，连接,,HN PN PH ，得
HN BS ⊥，HP BE ⊥，得二面角C SB E --的平面角为PNH ∠，再求解即可
【题目详解】
（1）证明：取CD 的中点M ，连接HM ，SM ，由已知得2AE AB ==，所以2SE SB ==，又点H 是BE 的中点，所以SH BE ⊥.
因为SC SD =，点M 是线段CD 的中点， 所以SM CD ⊥.
又因为HM BC ⊥，所以HM CD ⊥，从而CD ⊥平面SHM ， 所以CD SH ⊥，又CD ，BE 不平行， 所以SH ⊥平面BCDE .
（2）（方法一）由（1）知，过H 点作CD 的平行线GH 交BC 于点G ，以点H 为坐标原点，,,HG HM HS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则点()1,1,0B -，()1,2,0C ，()1,1,0E -，
()
0,0,2S ，
所以()0,3,0BC =，()2,2,0BE =-，()
1,1,2BS =-. 设平面SBE 的法向量为()111,,m x y z =，
由00m BE m BS ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111120
x y x y z =⎧⎪
⎨-++=⎪⎩，令11y =，得()1,1,0m =.
同理，设平面SBC 的法向量为()222,,n x y z =，
由00n BC n BS ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2222020
y x y z =⎧⎪
⎨-++=⎪⎩，
令21z =，得(
)
2,0,1n =
.
所以二面角C SB E --的余弦值为23
cos ,323
m n m n m n ⋅〈〉=
==⨯. （方法二）取BS 的中点N ，BC 上的点P ，使2BP PC =，连接,,HN PN PH ，易知HN BS ⊥，HP BE ⊥.
由（1）得SH HP ⊥，所以HP ⊥平面BSE ，所以HP SB ⊥， 又HN BS ⊥，所以BS ⊥平面PHN ， 所以二面角C SB E --的平面角为PNH ∠. 又计算得1NH =，2PH =，3PN =
所以3
cos 33
PNH ∠==. 【题目点拨】
本题考查线面垂直的判定，考查空间向量求二面角，考查空间想象及计算能力，是中档题 18、 (1) (,1]-∞ (2) 三个零点 【解题分析】
(1) 由题意知()0f x '≥恒成立,构造函数()ln F x x x k =--，对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；（2）当1k >时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证()10f x >，()20f x <. 【题目详解】 （1）由()()2
1ln ln 12f x x x k x =-
--得()ln x x k f x x
'--=
， 由题意知()0f x '≥恒成立，即ln 0x x k --≥，设()ln F x x x k =--，()1
1F x x
'=-
， ()0,1x ∈时()0F x '<，()F x 递减，()1,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 递增；
故()()min 110F x F k ==-≥，即1k ≤，故k 的取值范围是(]
,1-∞. （2）当1k ≤时，()f x 单调，无极值； 当1k >时，()110F k =-<， 一方面，()0k k
F e
e
--=>，且()F x 在()0,1递减，所以()F x 在区间()
,1k e -有一个零点. 另一方面，()2k
k
F e
e
k =-，设()2k g k e k =- (1)k >，则()20k g k e ='->，从而()g k
在()1,+∞递增，则()()120g k g e >=->，即()0k
F e
>，又()F x 在()1,+∞递增，所以
()F x 在区间()1,k e 有一个零点.
因此，当1k >时()f x '在(),1k
e -和(
)1,k
e
各有一个零点，将这两个零点记为1
x ，
2x ()121x x <<，当()10,x x ∈时()0F x >，即()0f x '>；当()12,x x x ∈时()0F x <，即
()0f x '<；当()2,x x ∈+∞时()0F x >，即()0f x '>：从而()f x 在()10,x 递增，在()12,x x
递减，在()2,x +∞递增；于是1x 是函数的极大值点，2x 是函数的极小值点. 下面证明：()10f x >，()20f x <
由()10f x '=得11ln 0x x k --=，即11ln k x x =-，由()()2
11111ln ln 12
f x x x k x =--- 得()()()21111111ln ln ln 12f x x x x x x =-
--- ()2
11111ln ln 12
x x x x =+--，
令()()21ln ln 12m x x x x x =+
--，则()()1ln x x m x x
-'=， ①当()0,1x ∈时()0m x '<，()m x 递减，则()()10m x m >=，而11x <，故()10f x >； ②当()1,x ∈+∞时()0m x '<，()m x 递减，则()()10m x m <=，而21x >，故()20f x <； 一方面，因为(
)2210k
k
f e
e
--=-<，又()10f x >，且()f x 在()10,x 递增，所以()f x 在
()
21,k
e
x -上有一个零点，即()f x 在()10,x 上有一个零点.
另一方面，根据1(0)x
e x x >+>得1k e k >+，则有：
()()
4
442
2
1211121k
k
f e
e
k k k =-->+-- 2
4
37
4044k k k k ⎛⎫=+-+> ⎪⎝
⎭，
又()20f x <，且()f x 在()2,x +∞递增，故()f x 在(
)42,k
x e
上有一个零点，故()f x 在
()2,x +∞上有一个零点.
又()10f =，故()f x 有三个零点. 【题目点拨】
本题考查函数的零点，导数的综合应用．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论． 19、（Ⅰ）()11e
y x e
-=+；
（Ⅱ）1a =；（Ⅲ）证明见解析 【解题分析】
（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可.
（Ⅱ）求导分析函数的单调性,并构造函数()()h x f x ax =-根据单调性分析可得()h x 只能在0x =处取得最小值求解即可.
（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结论可知()()11e f x x e -≥
+,()f x x ≥在R 上恒成立,再分别设()11e
b x e
-=+ b x =的解为3x 、4x .再根据不等式的性质证明即可. 【题目详解】
（Ⅰ）由题()'()11x x
f x e e x =-++,故1
'(1)11
1e
f e -=
=---.且(1)0f -=.
故()f x 在点(1,(1))f --处的切线方程为()11e y x e
-=+. （Ⅱ）设()()()()
110x h x f x ax x e ax =-=+--≥恒成立,故()()'21x h x x e a =+--. 设函数()()2x x x e ϕ=+则()()'3x x x e ϕ=+,故()()2x
x x e ϕ=+在(),3-∞-上单调递减且()0x ϕ<,又()x ϕ在()3,-+∞上单调递增.
又()02ϕ=,即()'01h a =-且()00h =,故()h x 只能在0x =处取得最小值,
当1a =时，此时()()'22x
h x x e =+-,且在(),0-∞上()'0h x <,()h x 单调递减. 在()0,∞+上()'0h x >,()h x 单调递增.故()()00h x h ≥=,满足题意；
当1a >时，此时()()21x x x e a ϕ=+=+有解00x >,且()h x 在()00,x 上单调递减,与()(0)h x h ≥矛盾；
当1a <时，此时()()21x x x e a ϕ=+=+有解030x -<<,且()h x 在()0,0x 上单调递减,与()(0)h x h ≥矛盾；
故1a =
（Ⅲ）()()'()2111x x x e x f x x e e ++=-+=-.由（Ⅰ）,()2'()1x x f x e +=-在(),3-∞-上单调递减且'()0f x <,
又'()f x 在()3,-+∞上单调递增,故'()0f x =最多一根.
又因为()111'(1110)2f e e ---+=-=--<,()002'(010)1f e =-+=>,
故设'()0f x =的解为x t =,因为()()'1'00f f -⋅<,故()1,0t ∈-.
所以()f x 在(),t -∞递减,在(),t +∞递增.
因为方程()f x b =有两个实数根12,x x ,故()b f t > .
结合（Ⅰ）（Ⅱ）有()()11e f x x e
-≥+,()f x x ≥在R 上恒成立. 设()11e b x e
-=+ 的解为3x ,则31x x ≤；设b x =的解为4x ,则42x x ≥. 故311eb x e
=--,4x b =. 故214311eb x x x x b e -≤-≤++
-,得证. 【题目点拨】
本题主要考查了导数的几何意义以及根据函数的单调性与最值求解参数值的问题.同时也考查了构造函数结合前问的
结论证明不等式的方法.属于难题.
20、（Ⅰ）523y x =+，该公司2020年年利润的预测值为63亿元；（Ⅱ）
1528. 【解题分析】 （Ⅰ）求出x 和y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求得a 和b 的值，进而可求得y 关于x 的线性回归方程，然后将8x =代入回归直线方程，可得出该公司2020年年利润的估计值；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归直线方程计算出从2013年至2020年这8年被评为A 级利润年的年数，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率可得出所求事件的概率.
【题目详解】 （Ⅰ）根据表中数据，计算可得4x =，43y =，()()7
1140i i
i x x y y =--=∑， 又()21728i
i x x =-=∑，()()()717215i i i i
i x x y y b x x ==--∴==-∑∑，
435423a y bx =-=-⨯=，y ∴关于x 的线性回归方程为523y x =+.
将8x =代入回归方程得582363y =⨯+=（亿元），
∴该公司2020年的年利润的预测值为63亿元.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2013年至2020年的年利润的估计值分别为28、33、38、43、48、53、58、63（单位：亿元），其中实际利润大于相应估计值的有3年. 故这8年中被评为A 级利润年的有3年，评为B 级利润年的有5年.
记“从2013年至2020年这8年的年利润中随机抽取2年，恰有1年为A 级利润年”的概率为P ，1
153281528
C C P C ∴==. 【题目点拨】
本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.
21、（1）证明见解析；（2）【解题分析】
（1）要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出BC ⊥平面11A B BA 即可；
（2）求出点A 到平面11BCC B 的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥11A BCC B -的体积.
【题目详解】
（1）连接1A C ，由11ACC A 是平行四边形及N 是1AC 的中点，
得N 也是1A C 的中点，因为点M 是1A B 的中点，所以//MN BC ，
因为1⊥MN AB ，所以1BC AB ⊥，
又BC AB ⊥，1AB AB A =，所以BC ⊥平面11A B BA ，
又BC ⊂平面11BCC B ，所以平面11BCC B ⊥平面11A B BA ；
（2）过A 作1AO B B ⊥交1B B 于点O ，
因为平面11BCC B ⊥平面11A B BA ，平面11
BCC B 平面111A B BA B B =， 所以AO ⊥平面11BCC B ，
由11A B BA 是菱形及160ABB ∠=︒，得1ABB △为三角形，则23AO =，
由BC ⊥平面11A B BA ，得1BC B B ⊥，从而侧面11BCC B 为矩形， 所以1111123348333
A BCC
B V OA B
C B B -=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.
【题目点拨】
本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题.
22、（Ⅰ）4（Ⅱ）(]
[),88,-∞-+∞ 【解题分析】 （1）由抛物线的性质，当PQ x ⊥轴时，PQ 最小；（2）设点()11,P x y ，()22,Q x y ，分别代入抛物线方程和0
OP PQ ⋅=得到三个方程，消去12,x x ，得到关于1y 的一元二次方程，利用判别式即可求出2y 的范围.
【题目详解】
解：（1）由抛物线的标准方程，2p =，根据抛物线的性质，当PQ x ⊥轴时，PQ 最小，最小值为2p ，即为4.
（2）由题意，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，其中120y y ≠，12y y ≠.
则2114y x =，①2224y x =，②
因为OP PQ ⊥，()11,OP x y =，()2121,PQ x x y y =--，
所以()()1211210OP PQ x x x y y y ⋅=-+-=.③
由①②③，得2121160y y y ++=，
由1y R ∈，且10y ≠，得22640y ∆=-≥，
解不等式，得点Q 纵坐标2y 的范围为(]
[),88,-∞-+∞.
【题目点拨】 本题主要考查抛物线的方程和性质和二次方程的解的问题，考查运算能力，此类问题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解.。