二、几何综合题
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Ａ上Ａ Ｂ Ｃ。
中学教与学
（） ２ 因为 Ｏ Ｂ 所以 ， Ｇ：∞ ：２ Ａ Ｌ Ｃ， Ｂ ４：１ ２
．
‘
即
ｌ ３ ９ ． ＋ ＝
又因为 脑 ＝ｌ， ３ 所以 ，Ｇ＝￣ Ａ ／
设 ０Ｏ半径 为 ， Ｏ 则 Ｇ＝Ｒ一 ． ５
一
＝５ ．
因为 上Ｂ 所以， Ｃ＋ ３ ． Ｃ， ＝９ 故 ｌ ＝／ Ｃ． 又因为 ４ Ｅ＝Ｂ 所 以， ｌ Ｅ， ＝Ｌ２ ． 故 Ｃ＝ ． ／２
吕 学 林
（ 天津市第一中学 ，００ １ ３０５ ）
练 习 题
１ 已知抛物线 Ｙ：（ ＋ｊ 一２ ｘ＋ｍ（ 为 ． ｍ ） ｍ ｍ 实数 ） 经过点 Ａ ｊ１ ， （ ，）顶点为 Ｐ， 与 轴有两个 不 且
同的交点 ． （） １ 判断 点 尸是 否在 线段 上 （ ０为 坐标 原 点 ）并说明理由 ； ，
角形 ． 则
均 为等 边三
（） １求抛物线的解析式 ； （） ２ 在 轴的下方是否存在着抛物线上 的点 Ｐ，
使 Ａ Ｂ为锐角？若存在 ， 出点 Ｐ的横 坐标的范 Ｐ 求 围； 若不存在 ， 请说 明理 由．
① ＝叩 ，Ｍ一 ０ 譬 ＝ 故 １学， （ ） ．
②点 与点 Ａ重合 ， 故 （， ） ０２； ③点 飓 与点 Ａ关于 轴对称 ， Ｍ３０ 一２ ； 故 （ ， ） ④设 抛物线 的对称轴与 轴的交点为 Ⅳ， 则
／Ａ Ｂ为锐角 ． 明略 ． Ｐ 证
说明 ： 几何 与二次 函数综合题 中， 在 求满 足特殊
条件的点 的坐标时 ， 直接用 代数 方程的 方法会非 常 困难 ． 一般地 ， 这类题 目所 给的几何 图形都 是特殊图 形， 可以充分利用他们 的特殊几何性质求解 ．
二 、 几 何 综
合 题
且 肛 ：Ｂ 求证 ： Ｅ．
，、 ， ＿、
数 ， ≠Ｏ ｆ ） 口 ，≠Ｏ 的顶点 是 Ａ 抛物 线 Ｙ： 一２ ， ｘ＋１
的顶点是 曰．
（） １判断点 Ａ是否 在抛物线 Ｙ： 一２ ｘ＋１ ， 上
为什么？
（） ２ 若抛 物线 Ｙ：口 —ｔ ） ＋ｔ （ —１ 经过点 曰． ①求 ０的值 ；
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２Ｏ Ｏ８年第 ４期
作 Ｂ Ｏ的平分线 ， Ｃ 交 轴 于点 Ｍ ， Ｙ轴 于 交 点 ， 作△ Ｏ Ｃ的 Ｂ Ｏ外角 的平分线 ， Ｙ轴 于 Ｂ Ｃ 交 点 ， 反向延长交 轴于点 眠 ．
点 、 、 、 就是到直线 Ｏ Ｏ 、 Ｃ距 帆 眠 Ｂ、 Ｃ Ｂ 离相等的点 ．
（） ２ 设抛 物线 与 轴 的两个交点 的横坐 标分别
为 、 ２且 Ｉ ２ 是否存在 实数 ｍ， Ｉ ， ＜Ｘ ． 使 Ｉ ＜ｍ＜
：
更有助于对不 同类型试题解题规 律的掌握 ．
本文 通过研究例 题和练 习题 ， 望能帮助 同学 希 们在辅助线 的添 加 、 知识 的综 合 运用 ， 以及分 析 问
请说明理 由． ３ 已知抛物线 Ｙ： 一百 ． １ ３懈 一２ ｍ交 轴 于 Ａ Ｉ０ 、 ２０ ， Ｙ轴 于点 ｃ， （ ， ） Ｂ（ ， ） 交 且 ｌ ＜０＜ ， ２
（ ｏ＋ｏ ＝１ ０ ａ Ｂ） ２ Ｃ＋１ ．
．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可证 △ Ｏ Ｍ２ △ Ｂ Ｍ 、 ０ Ｂ 、 Ｃ ４△
９ 所 以 ，Ｘ棚 ， ／ ∽ △ Ａ Ｃ． Ｂ
几何综合题大多是平行线 、 三角形 、 四边形 、 圆、
相似形及锐角三角 函数等 知识 的综 合运用 ， 近几 年
的中考题 常见多问或开放性试题 ． 在 总复习阶段 ， 适量 地研究一些 不同类型 的综
合题 的解法 ， 于将所学 的知识融会贯通 ， 助于 有助 有
对几何 图形的识别 ， 有助 于加强对重要定理 的理解 ，
又 Ｏ Ｎ＝Ｍ４ 所 以， （ ４ ０ ． Ｎ， 尬 一２ ３，） 综上 ， 到直线 Ｏ 、 Ｃ、 Ｃ距离相等的点 的坐标 为 ＢＯ Ｂ
（ 一 ，） （，）坞 （， ２ 、 （ ｏ 、 ｏ２ 、 ０ 一 ）眠 一 ，） ０．
轴的两个 交点 和抛物线 的顶点 Ａ能构成直角三角形
３ １ ：１ 一 ２ （ 存 样的 ， ．） 百 （ Ｙ 号 一 ２ 在这 点Ｐ使 ）
题、 解决 问题 的能力上有所提高 。
？若存在 ， 求出 ｍ的取 值范围 ； 不存在 ， 若 请说 明 ２ 已知抛物线 Ｙ＝口 —ｔ ） ２ 口 ｔ 常‘ ． （ ．１ ＋ｔ（ ， 是
理 由．
例 １ 已知 ： 图 ｌ 如 ，
为 ④ ０的直径 ，Ｄ上 Ａ Ｂ 垂 足 为 Ｄ， Ｃ， 弦 交 Ａ Ｄ于点 Ｅ， 交半 ００于点 Ｆ， Ａ 与Ｂ 弦 Ｃ Ｆ交于点 日，
眠 Ⅳ： ： ．
参 考 答 案
１ （） Ｐ不在线段 上 ．１点
一
（ ） 的取值范 围 ２ｍ
（） ２ ①把
１ ＜ｍ＜０ ２ （ ） Ａ在 该抛 物线上 ．１点
曰（ ，） １０ 代入 Ｙ：口 ‘ 一１ ＋ｔ （ 一ｔ ） 解得 口＝ 一１ ②当ｔ Ｉ 时 ， 物线 Ｙ＝一（ ＝－１ 抛 － —ｚ ） ＋ｔ 一１ 与
②这条抛物 线与 轴的两个交点和它 的顶点 Ａ
图 １
（） Ｂ＝Ａ １Ａ Ｆ； （） ・ ： 仰 ・ ． ２埘 朋 ２ 舾
能否构成直角三角 形？若能 ， 出 ｔ 求 的值 ； 若不 能 ，
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ｌ ２
证明 ：１ 因为 Ｂ （） Ｃ是０ ０的直径 ， 以， 所
所 以 ，Ｂ＝Ａ Ａ Ｆ．
在 ｍ△ ’Ｏ Ｂ Ｇ中 ， ＝ ２ Ｇ ． ０ Ｇ ＋０ ２
可 得 ＝ｌ２ 一５ ２ ＋（ ）． 解 得 ＝１．． ６９ 所 以 ． Ｇ：１ ． — ＝１ ．． Ｏ ６ ９ ５ １９
（ ） 法 １ 因为 ２ Ｃ， ｌ Ｃ： Ｉ Ｂ＝ ２证 ： ＝ ｌ ｔ ４ Ａ
中学教与学
（） ２ 因为 Ｏ Ｂ 所以 ， Ｇ：∞ ：２ Ａ Ｌ Ｃ， Ｂ ４：１ ２
．
‘
即
ｌ ３ ９ ． ＋ ＝
又因为 脑 ＝ｌ， ３ 所以 ，Ｇ＝￣ Ａ ／
设 ０Ｏ半径 为 ， Ｏ 则 Ｇ＝Ｒ一 ． ５
一
＝５ ．
因为 上Ｂ 所以， Ｃ＋ ３ ． Ｃ， ＝９ 故 ｌ ＝／ Ｃ． 又因为 ４ Ｅ＝Ｂ 所 以， ｌ Ｅ， ＝Ｌ２ ． 故 Ｃ＝ ． ／２
吕 学 林
（ 天津市第一中学 ，００ １ ３０５ ）
练 习 题
１ 已知抛物线 Ｙ：（ ＋ｊ 一２ ｘ＋ｍ（ 为 ． ｍ ） ｍ ｍ 实数 ） 经过点 Ａ ｊ１ ， （ ，）顶点为 Ｐ， 与 轴有两个 不 且
同的交点 ． （） １ 判断 点 尸是 否在 线段 上 （ ０为 坐标 原 点 ）并说明理由 ； ，
角形 ． 则
均 为等 边三
（） １求抛物线的解析式 ； （） ２ 在 轴的下方是否存在着抛物线上 的点 Ｐ，
使 Ａ Ｂ为锐角？若存在 ， 出点 Ｐ的横 坐标的范 Ｐ 求 围； 若不存在 ， 请说 明理 由．
① ＝叩 ，Ｍ一 ０ 譬 ＝ 故 １学， （ ） ．
②点 与点 Ａ重合 ， 故 （， ） ０２； ③点 飓 与点 Ａ关于 轴对称 ， Ｍ３０ 一２ ； 故 （ ， ） ④设 抛物线 的对称轴与 轴的交点为 Ⅳ， 则
／Ａ Ｂ为锐角 ． 明略 ． Ｐ 证
说明 ： 几何 与二次 函数综合题 中， 在 求满 足特殊
条件的点 的坐标时 ， 直接用 代数 方程的 方法会非 常 困难 ． 一般地 ， 这类题 目所 给的几何 图形都 是特殊图 形， 可以充分利用他们 的特殊几何性质求解 ．
二 、 几 何 综
合 题
且 肛 ：Ｂ 求证 ： Ｅ．
，、 ， ＿、
数 ， ≠Ｏ ｆ ） 口 ，≠Ｏ 的顶点 是 Ａ 抛物 线 Ｙ： 一２ ， ｘ＋１
的顶点是 曰．
（） １判断点 Ａ是否 在抛物线 Ｙ： 一２ ｘ＋１ ， 上
为什么？
（） ２ 若抛 物线 Ｙ：口 —ｔ ） ＋ｔ （ —１ 经过点 曰． ①求 ０的值 ；
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２Ｏ Ｏ８年第 ４期
作 Ｂ Ｏ的平分线 ， Ｃ 交 轴 于点 Ｍ ， Ｙ轴 于 交 点 ， 作△ Ｏ Ｃ的 Ｂ Ｏ外角 的平分线 ， Ｙ轴 于 Ｂ Ｃ 交 点 ， 反向延长交 轴于点 眠 ．
点 、 、 、 就是到直线 Ｏ Ｏ 、 Ｃ距 帆 眠 Ｂ、 Ｃ Ｂ 离相等的点 ．
（） ２ 设抛 物线 与 轴 的两个交点 的横坐 标分别
为 、 ２且 Ｉ ２ 是否存在 实数 ｍ， Ｉ ， ＜Ｘ ． 使 Ｉ ＜ｍ＜
：
更有助于对不 同类型试题解题规 律的掌握 ．
本文 通过研究例 题和练 习题 ， 望能帮助 同学 希 们在辅助线 的添 加 、 知识 的综 合 运用 ， 以及分 析 问
请说明理 由． ３ 已知抛物线 Ｙ： 一百 ． １ ３懈 一２ ｍ交 轴 于 Ａ Ｉ０ 、 ２０ ， Ｙ轴 于点 ｃ， （ ， ） Ｂ（ ， ） 交 且 ｌ ＜０＜ ， ２
（ ｏ＋ｏ ＝１ ０ ａ Ｂ） ２ Ｃ＋１ ．
．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可证 △ Ｏ Ｍ２ △ Ｂ Ｍ 、 ０ Ｂ 、 Ｃ ４△
９ 所 以 ，Ｘ棚 ， ／ ∽ △ Ａ Ｃ． Ｂ
几何综合题大多是平行线 、 三角形 、 四边形 、 圆、
相似形及锐角三角 函数等 知识 的综 合运用 ， 近几 年
的中考题 常见多问或开放性试题 ． 在 总复习阶段 ， 适量 地研究一些 不同类型 的综
合题 的解法 ， 于将所学 的知识融会贯通 ， 助于 有助 有
对几何 图形的识别 ， 有助 于加强对重要定理 的理解 ，
又 Ｏ Ｎ＝Ｍ４ 所 以， （ ４ ０ ． Ｎ， 尬 一２ ３，） 综上 ， 到直线 Ｏ 、 Ｃ、 Ｃ距离相等的点 的坐标 为 ＢＯ Ｂ
（ 一 ，） （，）坞 （， ２ 、 （ ｏ 、 ｏ２ 、 ０ 一 ）眠 一 ，） ０．
轴的两个 交点 和抛物线 的顶点 Ａ能构成直角三角形
３ １ ：１ 一 ２ （ 存 样的 ， ．） 百 （ Ｙ 号 一 ２ 在这 点Ｐ使 ）
题、 解决 问题 的能力上有所提高 。
？若存在 ， 求出 ｍ的取 值范围 ； 不存在 ， 若 请说 明 ２ 已知抛物线 Ｙ＝口 —ｔ ） ２ 口 ｔ 常‘ ． （ ．１ ＋ｔ（ ， 是
理 由．
例 １ 已知 ： 图 ｌ 如 ，
为 ④ ０的直径 ，Ｄ上 Ａ Ｂ 垂 足 为 Ｄ， Ｃ， 弦 交 Ａ Ｄ于点 Ｅ， 交半 ００于点 Ｆ， Ａ 与Ｂ 弦 Ｃ Ｆ交于点 日，
眠 Ⅳ： ： ．
参 考 答 案
１ （） Ｐ不在线段 上 ．１点
一
（ ） 的取值范 围 ２ｍ
（） ２ ①把
１ ＜ｍ＜０ ２ （ ） Ａ在 该抛 物线上 ．１点
曰（ ，） １０ 代入 Ｙ：口 ‘ 一１ ＋ｔ （ 一ｔ ） 解得 口＝ 一１ ②当ｔ Ｉ 时 ， 物线 Ｙ＝一（ ＝－１ 抛 － —ｚ ） ＋ｔ 一１ 与
②这条抛物 线与 轴的两个交点和它 的顶点 Ａ
图 １
（） Ｂ＝Ａ １Ａ Ｆ； （） ・ ： 仰 ・ ． ２埘 朋 ２ 舾
能否构成直角三角 形？若能 ， 出 ｔ 求 的值 ； 若不 能 ，
维普资讯
ｌ ２
证明 ：１ 因为 Ｂ （） Ｃ是０ ０的直径 ， 以， 所
所 以 ，Ｂ＝Ａ Ａ Ｆ．
在 ｍ△ ’Ｏ Ｂ Ｇ中 ， ＝ ２ Ｇ ． ０ Ｇ ＋０ ２
可 得 ＝ｌ２ 一５ ２ ＋（ ）． 解 得 ＝１．． ６９ 所 以 ． Ｇ：１ ． — ＝１ ．． Ｏ ６ ９ ５ １９
（ ） 法 １ 因为 ２ Ｃ， ｌ Ｃ： Ｉ Ｂ＝ ２证 ： ＝ ｌ ｔ ４ Ａ