高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数教材梳理素材 新人教A版必修1

2.3 幂函数
疱丁巧解牛
知识·巧学·升华 一、幂函数
一般地，形如y=x a
（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 是常数.其特征是以幂的底为自变量，指数为常数．
要点提示 判断函数是否为幂函数时要根据定义，即x a
的系数为1，指数位置的a 为一个常数，且常数项要为０，或者经过变形后满足条件的均可． 二、一些常见幂函数的图象与性质
1.定义域、值域.幂函数的定义域和值域随a 的变化而定.定义域分为x ∈R ；x ≠0；x ≥0；x
＞0等四种情况.设幂函数y=x a ，①当a=0时，y=x 0
（x ∈R 且x ≠0），即y=1.②当a>0时，若y=x a
是偶函数，像y=x 2
，y=x 4
，y=3
2x 等，x ∈R ，y ≥0；若y=x a
是奇函数，像y=x ，y=x 3
，
y=31x 等，x ∈R ，y ∈R ；若y=x a
是非奇非偶函数，像y=21x ，y=4
1x 等，x ≥0，y ≥0.③当a<0
时，若y=x a
是偶函数，像y=x -2
，y=x -4
，y=3
2-
x
等，x ∈R 且x ≠0，y>0；若y=x a
是奇函数，
像y=x -1
，y=x -3
，y=3
1
-
x
等，x ∈R 且x ≠0，y ∈R 且y ≠0；若y=x a
是非奇非偶函数，像y=2
1
-
x
，
y=3
2-
x
等，x>0，y>0.
方法点拨 注意此处空半格为准确判断幂函数的定义域和值域，常采取以下变形方式： （1）当幂指数是正分数时，可把幂函数转化成根式的形式；
（2）当幂指数是负数时，可先化成正数，若是分数，可化成根式形式去判断. 2.幂函数的图象
直线类：如y=x 0，y=x ，它们的图象是直线，其中y=x 0
上不含（0，1）点，如图①；抛物线类：如y=x 2
，y=32x ，y=34x 等，如图②；拐线类：如y=x 3
，y=31x ，y=3
5x 等，如图③；
双曲线类：如y=x -1
，y=x -3
等，如图④；半支抛物线类：如y=2
1
x ，y=43
x 等，图象过点（0，
0），（1，1），位于第一象限，如图⑤；像y=2
1-
x ，y=x
-
4
3
等，图象过点（1，1），位于第一象限，如图⑥.
方法点拨（1）幂指数大于零的幂函数图象，恒过点（0，0）、（1，1），没有渐近线；幂指数小于零的幂函数图象，恒过点（1，1），存在渐近线，它的图象要么是双曲线，要么是双曲线的一支；
（2）在第一象限，作直线x=a（a>1），它同各个图象相交，交点从上到下的排列顺序，正是按幂指数的降序排列的，以此可以判断不同幂函数图象的幂指数的大小.
幂函数的图象形状情况多又复杂，对此充分利用函数的单调性、互为反函数的图象的对称性及奇偶性图象的对称性来分析幂函数的图象，从而让学生掌握和利用这些转化的思想和处理问题的技巧来提高学生画幂函数图象草图的能力．
3.幂函数的性质
(1)所有幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都过点（1，1）.
(2)如果a>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间［0，+∞）上是增函数.特别地，当a>1时，幂函数的图象下凸；当0<a<1时，幂函数的图象上凸，如图②.
(3)如果a<0，则幂函数在区间（0，+∞）上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴的正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴的正半轴，如图④⑥；综上可知：利用幂函数的单调性可比较底数不同，指数相同的一组函数值的大小.此外，对任意两个幂函数图象，如果有交点，那么它们的交点只能是（0，0）或（1，1）或（-1，1）或（-1，-1）中的点，此时，它们的图象一定是交叉出现的.在第一象限，作直线x=a（a>1），它同各个图象相交，交点从上到下的排列顺序，正是按幂指数的降序排列的，以此可以判断不同幂函数图象的幂指数的大小.
掌握幂函数的图象特征，有利于进一步理解和应用幂函数的性质；但想掌握好幂函数的概念及其图象和性质，须理解并利用好函数的单调性和奇偶性及互为反函数等函数的性质及图象特点来分析幂函数的图象和性质；同时注重结合指数函数和对数函数分析问题的思路及方法来渗透在幂函数的问题分析和研究．其中幂函数的单调性是幂函数性质中应用最广的，运用此性质可以比较两个同指数不同底的幂的大小及求与幂函数有关的一般函数的值域、单调区间等；进一步加强和健全两个幂的大小比较的思路和方法．
问题·思路·探究
问题1 满足怎样条件的函数才是幂函数？
思路：根据幂函数的定义．
探究:只有形如y=x a，a∈R的函数才叫幂函数，像y=x2+a，y=3x2等都不叫幂函数.幂函数是
单调函数，它的单调性可通过定义去证明.如课本中的例1，当在给定区间［0，+∞］上任
取x 1，x 2且假定x 1<x 2时，为使函数值f （x 1）-f （x 2）的差中出现x 1-x 2这样的因式，我们采取了分子有理化的变形手法，这种方法技巧性比较强，不容易想到.在证明过程中切忌利用“因为x 1，x 2∈［0,+∞］，且x 1<x 2，所以1x <2x ”这种循环论证的方法，因为我们不能用本题的结论去证明本题.此外，本题也可采用作商的方法去证明，即任取x 1，x 2∈［0,+
∞)，且x 1<x 2，则f （x 1）≥0，f （x 2）>0.2
1
2
121)
()
(x x x x x f x f =
=
，∵x 2＞x 1≥0，∴0≤21
x x ＜1，∴0≤
2
1
x x <1，∴f （x 1）<f （x 2），即幂函数f （x ）=x 在［0,+∞)上是增函数. 问题2 利用描点法，在同一坐标系中画出函数y=x ，y=2
1x ，y=x 2
，y=x 3
，y=x -1
的图象并探究它们的性质.
思路：奇偶函数的定义域是关于原点对称的，奇函数的值域也是关于原点对称的.在关于原点对称的区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性正好相反．
判断单调性：作差法与作商法是用定义证明函数单调性的两种基本方法，作差时，只需判断差的符号的正负即可；作商时，既要分清函数的符号又要判断商与“1”的大小，常见指数函数及幂函数都可用作商法去判断它的单调性.
②描点，连线:
由图象可知,五个函数的定义域、值域、奇偶性、单调性分别如（2）中表格所示.
∞））∞）） 典题·热题·新题
例1 幂函数f （x ）的图象过点（4，
2
1），那么f -1
（8）的值是( ) A.22 B.64 C.
42 D.64
1 思路解析：因为f(x)为幂函数，可先设出该函数，将点代入所设函数中，再根据原函数与
其反函数的关系． 解：设f （x ）=x a
，将（4，
21）点代入得2
1=4a
， ∴a=-2
1，f （x ）=21
-x .令x 21-2=8，得x=8-2
=641.
答案：D
深化升华 注意此处空半格（1）由
21=4a 求a 可化成同底2-1=22
a ，由2a=-1，得a=-2
1. （2）联系互为反函数的x 、y 之间的对应关系求解，事半功倍.
此类题是没有必要求y=f -1
（x ）的. 例2 已知幂函数f （x ）=3
22--m m x
（m ∈Z ）的图象关于y 轴对称且与x 轴、y 轴无交点.
（1）求函数f （x ）的解析式，并画出它的图象； （2）讨论函数g （x ）=)
()(x xf b
x f a
-
的奇偶性（a 、b ∈R ）. 思路解析：求解本题的关键是先确定m 的值，写出f （x ）的解析式，再把f （x ）代入g （x ），判断g （x ）的奇偶性.
解：（1）由幂函数的图象与x 、y 轴无公共点，∴m 2
-2m-3<0，即-1<m<3. 又m ∈Z ，得m=0，1，2.又幂函数的图象关于y 轴对称，∴它是偶函数.
把m=0，1，2分别代入得f （x ）=x -3，f （x ）=x -4，f （x ）=x -3
，
只有f （x ）=x -4符合条件，故m 只能取1,∴f （x ）=x -4
. 其图象如下图所示.
（2）把f （x ）=x -4
代入g （x ）的解析式，得
g （x ）=a 4-x -
24x a x x b =∙--bx 3（x ≠0），g （-x ）=2)(x a --b(-x)3=2
x
a +bx 3
， ∴当a ≠0，b ≠0时，g （x ）为非奇非偶函数；
当a=0，b ≠0时，g （x ）为奇函数； 当a ≠0，b=0时，g （x ）为偶函数；
当a=b=0时，g （x ）既为奇函数又为偶函数. 拓展延伸求函数解析式常见的方法
（1）待定系数法，即已知条件告诉了曲线的种类和方程的整体形式，可先设出方程，再求出待定系数；
（2）拼凑法或换元法，即已知f ［g （x ）］，求f （x ）.但应注意，此时x 的定义域是g （x ）的值域.
例3 求出函数f （x ）=4
45422++++x x x x 的单调区间，并比较f （-π）与f （-22
）的大小.
思路解析：要写出f （x ）的单调区间，可通过化简把f （x ）转化成我们熟悉的基本初等函
数的形式，利用基本初等函数的单调区间，表示出f （x ）的单调区间.
解：f （x ）=4414422+++++x x x x =4
4112
+++x x 4=1+（x+2）-2
， 它是由g （x ）=x -2
向左平移2个单位，再向上平移1个单位而得到的.
∵g （x ）的单调增区间是（-∞，0），单调减区间是（0，+∞），
∴f （x ）=4
45
422++++x x x x 的单调增区间是（-∞，-2），
单调减区间是（-2，+∞），f （x ）的图象关于直线x=-2对称. ∵-π∈（-∞，-2），-
22∈（-2，+∞），-22关于x=-2对称的点的横坐标是2
2-4，
又∵
22-4<-π，∴f （22-4）<f （-π），即f （-2
2
）<f （-π）. 拓展延伸 拓展延伸：求函数的单调区间必须在函数的定义域内进行.常见的方法 （1）借助于函数图象；（2）设法把f （x ）转化成基本初等函数的形式； （3）搞清函数的复合过程，按复合函数单调性的判定法则写出单调区间. 例4 已知f （x ）=（m 2
+m ）1
22--m m x
，当m 取什么值时，
（1）f （x ）是正比例函数； （2）f （x ）是反比例函数；
（3）在第一象限内它的图象是上升曲线？ 思路解析：据相关函数的定义及性质去处理.
解：（1）令m 2-2m-1=1，得m 2-2m-2=0.∴m=1±3，此时m 2
+m ≠0.
（2）令m 2-2m-1=-1，得m 2
-2m=0.∴m 1=0，m 2=2.
当m=0时，m 2
+m=0，不合题意.∴m=2. （3）由题意，得
⎪⎩⎪⎨⎧>-->+.012,
02
2m m m m ∴⎩⎨⎧-<+>>-<.
21,21,0,1m m m m 或或 ∴m ＜-1，或m ＞1+2.
误区警示 注意此处空半格要考虑系数对问题的影响，对问题作合理的结论.本题极易误认为还包括：
⎪⎩⎪⎨⎧<--<+.
012,
02
2m m m m 即1-2＜m ＜0，为什么是错误的呢？是因为没有注意到“在第一象限内”这一要求.
例5 求证：函数y=x 3
在R 上为奇函数且为增函数.
思路解析：根据奇函数的定义以及判断函数单调性的方法去证明．
解：显然f(-x)=(-x)3=-x 3
=-f(x)，是奇函数；
令x 1<x 2，则f(x 1)-f(x 2)=x 13-x 23=(x 1-x 2)(x 12+x 1x 2+x 22
),
其中，显然x 1-x 2<0，x 12
+x 1x 2+x 22
=(x 1+
21x 2)2+43x 22，由于(x 1+21x 2)2≥0，4
3x 22
≥0，且不能同时为0，否则x 1=x 2=0，故(x 1+21x 2)2+4
3x 22
>0.从而f(x 1)-f(x 2)<0.所以该函数为增函数.
深化升华 注意此处空半格判断函数奇偶性的时候，要先观察它的定义域是否关于原点
对称，再判断 f(-x)与f(x)的关系．本题中已给定义域为R ，故只需判断 f(-x)与 f(x)的关系．判断单调性时要严格按照单调函数的定义去证明． 例6 求函数y=log 24xlog 22x 在
4
1
≤x ≤4的最值，并给出取最值时对应的x 的值． 思路解析：本题采用换元法进行求解.
解：已知函数化简成y=(log 24+log 2x)(log 22+log 2x)=log 22
x+3log 2x+2 令log 2x=t ，则原函数变成y=t 2
+3t+2=(t+32)2-4
1， ∵
4
1
≤x ≤4,∴t=log 2x ∈［-2,2］. 所以当t=-23，即x=23
2-时，函数有最小值为-4
1
.
当t=2，即x=4时，函数有最大值为12.
深化升华 注意此处空半格采用换元法进行解题时，要注意换元前后变量取值范围的变化．。