2019-2020人教A版数学选修4-5第2讲 2 综合法与分析法课件PPT

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a81当x＝12，y＝－14时取等号. 又 ax＋ay≥2 ax＋y(当且仅当 x＝y 取等号),
1
∴ax＋ay≥2a8. 由于①，②等号不能同时成立，
1
∴③式等号不成立，即 ax＋ay＞2a8成立．
故原不等式 loga(ax＋ay)＜18＋loga2 成立．
① ② ③
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[证明] 法一 要证 2a＋2 b－ ab≤3a＋3b＋c－3 abc，只需证 a ＋b－2 ab≤a＋b＋c－33 abc，
即－2 ab≤c－33 abc， 移项，得 c＋2 ab≥33 abc. 由 a，b，c 都为正数，得 c＋2 ab＝c＋ ab＋ ab≥33 abc，∴ 原不等式成立．
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法二 ∵a，b，c 是正数， ∴bac＋abc≥2 bac·abc＝2c. 同理abc＋acb≥2a，acb＋bac≥2b， ∴2bac＋abc＋acb≥2(a＋b＋c)． 又 a＞0, b＞0，c＞0，∴b2c2＋a2c2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)． 故b2c2＋a＋ba＋2＋ca2b2≥abc.
第二讲 证明不等式的基本方法
二 综合法与分析法
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学习目标：1.了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特 点．(重点)2.会用综合法、分析法证明简单的不等式．(难点)
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自主预习 探新知
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教材整理 1 综合法 阅读教材 P23～P23“例 2”，完成下列问题． 一般地，从已知条件 出发，利用定义、公理、定理、性质等，经 过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做 综合法 ， 又叫 顺推证法 或 由因导果法 ．
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1．已知 a＞0，b＞0，c＞0，且 abc＝2. 求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8 2. [证明] ∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴1＋a≥2 a，当且仅当 a＝1 时，取等号， 1＋b≥2 b，当且仅当 b＝1 时，取等号， 1＋c≥2 c，当且仅当 c＝1 时，取等号．
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设 a，b∈R＋，A＝ a＋ b，B＝ a＋b，则 A，B 的大小关系是( )
A．A≥B
B．A≤B
C．A＞B
D．A＜B
C [A2＝( a＋ b)2＝a＋2 ab＋b，B2＝a＋b，
所以 A2＞B2.
又 A＞0，B＞0，
所以 A＞B.]
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教材整理 2 分析法 阅读教材 P24～P25“习题”以上部分，完成下列问题． 证明命题时，我们还常常从要证的 结论 出发，逐步寻求使它 成立的充分条件，直至所需条件为 已知条件 或一个明显成立的事 实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立， 这种证明方法叫做 分析法 ，这是一种执果索因的思考和证明方 法．
1．通过等式或不等式运算，将待证的不等式化为明显的、熟知 的不等式，从而使原不等式易于证明．体现了分析法与综合法之间互 为前提、互相渗透、相互转化的辩证关系．
2．函数与不等式综合交汇，应注意函数性质在解题中的运用．
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2．已知 a，b，c 都是正数，求证：2a＋2 b－ ab≤3a＋3b＋c－3 abc.
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设 a＝ 2，b＝ 7－ 3，c＝ 6－ 2，那么 a，b，c 的大小关系
是( )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a
B
[由已知，可得出 a＝242，b＝
4 7＋
3，c＝
4 6＋
， 2
∵ 7＋ 3＞ 6＋ 2＞2 2，∴b＜c＜a.]
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合作探究 提素养
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用综合法证明不等式 【例 1】 已知 a，b，c 是正数，求证： b2c2＋a＋c2ba＋2＋ca2b2≥abc. [精彩点拨] 由 a，b，c 是正数，联想去分母，转化证明 b2c2＋ c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)，利用 x2＋y2≥2xy 可证．或将原不等式变 形为bac＋abc＋acb≥a＋b＋c 后，再进行证明．
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[自主解答] 法一 ∵a，b，c 是正数， ∴b2c2＋c2a2≥2abc2，b2c2＋a2b2≥2ab2c，c2a2＋a2b2≥2a2bc， ∴2(b2c2＋c2a2＋a2b2)≥2(abc2＋ab2c＋a2bc)， 即 b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)． 又 a＋b＋c＞0， ∴b2c2＋a＋c2ba＋2＋ca2b2≥abc.
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1．综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为 此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联 系，合理进行转换，恰当选择已知不等式(切入点)，这是证明的关键．
2．综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质；(2) 基本不等式及其变形；(3)三个正数的算术-几何平均不等式等．
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法二 ∵a，b，c 都是正数，
∴c＋ ab＋ ab≥33 c· ab· ab＝33 abc，
即 c＋2 ab≥33 abc，
故－2 ab≤c－33 abc，
∴a＋b－2 ab≤a＋b＋c－33 abc，
∴2a＋2 b－
ab≤3a＋3b＋c－3

abc.

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分析法证明不等式
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[自主解答] 由于 0＜a＜1，则 t＝logax(x＞0)为减函数．
欲证
loga(ax＋ay)＜18＋loga2，只需证
1
ax＋ay＞2a8.
∵y＋x2＝0,0＜a＜1，
∴x＋y＝x－x2＝－x－122＋14≤14.
当且仅当 x＝12时，(x＋y)max＝14，
1
∴ax＋y≥a4， ax＋y≥
∵abc＝2， ∴a，b，c 不能同时取 1， ∴“＝”不同时成立． ∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8 abc＝8 2. 即(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8 2.
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综合法与分析法的综合应用
【例 2】 设实数 x，y 满足 y＋x2＝0，且 0＜a＜1，求证： loga(ax＋by)＜18＋loga2. [精彩点拨] 要证的不等式为对数不等式，结合对数的性质，先 用分析法探路，转化为要证明一个简单的结论，然后再利用综合法证 明．