甘肃省静宁县第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(文)试卷

静宁一中2018—2019学年度高二第二学期第一次月考试题
（卷）
数学（文科）
一、选择题。

1.设全集，集合，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
，因为集合，
，故选C.
2.已知,是虚数单位，且，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【详解】∵y＝（2x+i）（1﹣i）＝2x+1+（1﹣2x）i，
∴，
解得y＝2
故选：D．
【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了计算能力，属于基础题．
3.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙
术”:,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为
所以，选C.
点睛：(一) 与数字有关的推理：解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．
(二) 与式子有关的推理：(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．
(三) 与图形有关的推理：与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．
4.下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质;
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是归纳出所有三角形的内角和都是
;③由,满足,,推出是奇函数;
④三角形内角和是,四边形内角和是,五边形内角和是,由此得凸多边形内角和是.
A. ①②
B. ①③④
C. ②④
D. ①②④【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析所给的推理，是否符合合情推理的定义，综合即可得答案．
【详解】根据题意，依次分析4个推理：
对于①、在推理过程由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理；
对于②、符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；
对于③、不是合情推理，
对于④、符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；
则是合情推理的是①②④；
故选D．
【点睛】本题考查合情推理的定义，关键是理解合情推理的定义、分类以及归纳推理与类比推理的定义．
5.设则、、三数( )
A. 至少有一个不大于2
B. 至少有一个不小于2
C. 都小于2
D. 都大于2
【答案】B
【解析】
【分析】
将三个式子相加，构造出均值不等式的形式，由均值不等式可得a+b+c≥6，从而推出a，b，c的范围．
【详解】∵a+b+c＝x y z6，
当a，b，c都小于2时，a+b+c<6，上式不成立，
∴a，b，c至少有一个不小于2．
故选：C．
【点睛】本题考查了反证法及基本不等式的应用，要熟练掌握不等式成立的条件与重要不等式的变形，考查了正难则反的思考方法，属于中档题．
6.在同一平面直角坐标系中，经过坐标伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：根据题意，由于同一平面直角坐标系中，经过坐标伸缩变换后曲线C变为曲线，那么可知，那么将已知的x’,y’换为x,y得到的解
析式为，故选A.
考点：伸缩变换
点评：本题考查了伸缩变换，理解其变形方法是解决问题的关键
7.已知函数的导函数的图象如图所示,则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由导函数的正负与函数的单调性的关系判断，再通过的根为正，从而确定答案．【详解】由导函数的图象可知，函数，先减再增，可排除选项，又知的根为正，即极值点为正，所以可排除.
故选C.
【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，利用导数研究函数的图象的应用以及排除法的应用，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除
8.下列说法正确的是( )
A. 若命题都是真命题,则命题“”为真命题
B. 命题“,”的否定是“,”
C. 命题:“若,则或”的否命题为“若,则或”
D. “”是“”的必要不充分条件
【答案】B
【解析】
【分析】
A．由复合命题的真假进行判断；
B．利用全称命题的否定即可判断出；
C．利用命题的否命题形式即可判断出；
D．由充分必要条件的定义进行判断．
【详解】A．命题p，￢q都是真命题，则命题q为假命题，因此“p∧q”为假命题，因此不正确；
B．“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，0”，正确；
C．“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的否命题为“若xy≠0则x≠0且y≠0”，因此不正确；D．“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的充分不必要条件，因此不正确，
综上可得：只有B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了简易逻辑的有关知识，考查了推理能力，属于基础题．
9.下列导数运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据基本导数公式判断即可．
【详解】（sin x）′＝cos x；（）′；（3x）′＝3x ln3；（）′，
故选：B．
【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式，属于基础题
10.将直角坐标方程转化为极坐标方程，可以是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用直角坐标化为极坐标的方法即可得出．
【详解】直角坐标方程y＝x可得：,
∴tanθ＝1，解得，
化为极坐标方程为．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．
11.曲线在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：，则所求切线方程为．
考点：利用导数求切线方程．
12.已知定义在上的函数满足，且时，，方程恰好有4个实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数解析式结合偶函数的对称性，先作出函数的图像，由图观察可得结果.
【详解】因为函数满足，∴函数为偶函数，图像关于y轴对称，
先画出在时的图像，再根据对称性得到函数在上的图像，如图：
由图观察可得，要使方程恰好有4个实数根，则.
【点睛】本题考查了方程与函数的相互转化，考查了数形结合及转化思想，属于中档题.二、填空题。

13.将参数方程（为参数）化成普通方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
将参数方程化为普通方程，就是将其中的参数消掉，利用代入法，即可得出结论．
【详解】将参数方程（t为参数），利用代入法，化成普通方程为x﹣y+50．
故答案为：x﹣y+50．
【点睛】本题考查了化参数方程为普通方程，解答此类问题的关键是如何把题目中的参数消掉，常用的方法有代入法，加减消元法等，同时注意消参后变量的范围限制，是基础题．14.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是__________.
【答案】乙
【解析】
四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人有两
人说的是真话，甲、丙说的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、丁
没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话，可知犯罪的是乙. 【点评】本体是逻辑分析题，应结合题意，根据丁说“乙说的是事实”发现，乙、丁意见一致，从而找到解题的突破口，四人中有两人说的是真话，因此针对乙、丁的供词同真和同假分两种情况分别讨论分析得出结论.
15.已知,则__________.
【答案】3
【解析】
【分析】
利用二倍角公式及同角三角函数间的基本关系化简后得到tanα，即可求出值．
【详解】由tan a＝3，
．
故答案为3.
【点睛】此题考查学生灵活运用二倍角公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．
16.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为_______.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p＝2c，b2＝c2﹣a2，联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．
【详解】∵抛物线y2＝8x的焦点坐标F（2，0），p＝4，
∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p＝2c，c＝2，
∵设P（m，n），由抛物线定义知：
|PF|＝m m+2＝5，∴m＝3．
∴P点的坐标为（3，）
∴|
解得：，c＝2
则双曲线的离心率为2，
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．
三、解答题。

17.计算：
（1）
（2）
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则直接计算（1）（2）即可．
【详解】（1） .
（2）===.
【点睛】本题考查了复数的混合运算，属于基础题．
18.某特色餐馆开通了美团外卖服务,在一周内的某特色菜外卖份数(份)与收入(元)之间有如下的对应数据:
外卖份数
收入（元）
(1)画出散点图;
(2)求回归直线方程;
(3)据此估计外卖份数为12份时,收入为多少元.
注:①参考方式:线性回归方程系数公式;②参考数
据:.
【答案】（1）见解析（2）；（3）95.5元．
【解析】
试题分析：(1)根据表中数据,作出散点图即可;
(2)计算、,求出回归系数,写出回归直线方程;
(3)由回归直线方程,计算x=12时的值即可.
试题解析：（1）作出散点图如下图所示：
（2），
，
已知，．
由公式，，可求得，，
因此回归直线方程为；
（3）时，．
即外卖份数为12份时，收入大约为95.5元．
19.年月日,第届冬奥会在韩国平昌举行.年后,第届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会,某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天,从全校学生中随机抽取了名学生,对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查,统计数据如下:
（1）根据上表说明,能否有的把握认为,收看开幕式与性别有关?
（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中,采用按性别分层抽样的方法选取人,参加年北京冬奥会志愿者宣传活动.
①问男、女学生各选取多少人?
②若从这人中随机选取人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍,求恰好选到一名男生一名女生的概率.
附:,其中.
【答案】（1）见解析；（2）男生有6人，女生有2人，
【解析】
分析：(Ⅰ)因为，所以有的把握认为，收看
开幕式与性别有关；(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生人，女生人；(ⅱ)从人中，选取人的所有情况共有种，其中恰有一名
男生一名女生的情况共有种，由古典概型概率公式可得结果.
详解：(Ⅰ)因为，
所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关.
(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，
男生人，女生人，
所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.
(ⅱ)从8人中，选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种，
其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种，
所以，所求概率.
点睛：本题主要考查频率分层抽样、古典概型概率公式以及独立性检验，属于中档题.
独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式
计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.
（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）
20.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
【答案】（1）：，：；（2），此时.
【解析】
试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，
可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
试题解析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. 考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
【此处有视频，请去附件查看】
21.已知函数且.
（1）求的值；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为．
【解析】
【分析】
（1）利用导数的运算法则可得f′（x）=2x（x﹣a）+x2﹣4=3x2﹣2ax﹣4．再利用f′（﹣1）=0，即可解得a．
（2）由（1）可得：f（x）=x3﹣．x∈[﹣2，2]．令f′（x）=0，解得x=﹣1，
．利用导数研究函数的单调性比较极值与区间端点处的函数值，即可得出最值．
【详解】（1）由题可得，，解得．
（2）由（1）知，．当时，．求导，得．令，得，或
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以的极大值为，极小值为，
又，所以在上的最大值为，最小值为．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性单调性，极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
22.已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．求证：以线段为直径的圆恒过定点．
【答案】（I）；（II）详见试题解析．
【解析】
试题分析：（I）由题意可知从而可得椭圆的方程；（II）由（I）知
联立动直线和椭圆方程可得：再利用向量数量积的坐标公式及韦达定理通过计算证明结论．
试题解析：（I）解：由题意可知椭圆的方程为4分（II）证明：由（I）知联立动直线和椭圆方程可得：
由得且又
故结论成立．13分
考点：1．椭圆的方程及其简单几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．解析几何定点问题．。