第3讲-函数的奇偶性及其应用

函数的奇偶性及其应用
学习目标
1、掌握奇、偶函数的定义及性质
2、会判断给定函数的奇偶性
3、能灵活应用函数的奇偶性解决常规问题
4、了解函数图像的对称性，以及其与函数周期的关系。

1、奇函数与偶函数：
如函数()f x 在其定义域内，对任意x 都有()()f x f x -=-，则称该函数为奇函数；如对任意x 都有()()f x f x -=，则称该函数为偶函数。

很明显，判断一个函数是否是奇函数或偶函数，首先看其定义域是否关于原点对称。

2、奇、偶函数的图像特征：
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如其图像给关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

3、奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在y 轴的两边单调性相反．
(2)两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积（或商）是偶函数；两个偶函数的和、积（或商）都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积（或商）是奇函数．
4、重要结论：
（1）定义域关于原点对称的任一个函数)(x f 都可以唯一写成一个奇函数)(x h 与一个偶函数)(x g 之和的形式（事
实上：()()()()12h x f x f x =--，()()()()12
g x f x f x =+-） （2）对于多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++
()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项系数全为零
()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项系数全为零
5、函数图像的中心对称性（奇函数的推广）
（1）如函数()f x 恒满足()()f x a f b x c ++-=，则()f x 的图像关于点(,)22
a b c +中心对称 （2）如函数()(0)ax b f x c cx d
+=≠+，则()f x 的图像关于点(,)d a c c -中心对称
（3）()g x 为任意函数，则()()y g x g x λμ=+--的图像关于(,0)2
μλ-中心对称。

（4）三次函数32
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图像关于点(,())33b b f a a --成中心对称。

6、函数图像的轴对称性（偶函数的推广）
（1）如函数()f x 恒满足()()f x a f b x +=-，则()f x 的图像关于直线2
a b x +=成轴对称 （2）定义在R 上的任意函数()g x ，则()()()f x g x a g a x =-+-的图像关于直线x a =成轴对称
7、两个函数的图像对称性质
（1）函数()f x 与函数()g x 的图像关于直线x a =对称⇔()(2)f x g a x =-
（2）函数()f x 与函数()g x 的图像关于点(,)a b 对称⇔()(2)2f x g a x b +-=
8、函数图像对称性与函数周期之间的关系
（1）如函数()f x 的图像同时关于直线x a =、x b =对称，则()f x 是以2||a b -为周期的周期函数
（2）如函数()f x 的图像同时关于(,),(,)a b c b 对称，则()f x 是以2||a c -为周期的周期函数
（3）如函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，且关于直线x c =对称，则()f x 是以4||a c -为周期的周期函数
例1（1）下列说法正确的是（ ）
A ．函数22)(2
--=x x x x f 是奇函数 B ．函数1()(1)1x f x x x
+=--是偶函数 C ．函数2()1f x x x =+-是非奇非偶函数 D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数
（2）已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
【解】（1）选项A 、B 中函数的定义域不关于原点对称，
因此是非奇非偶函数；
选项D 中的函数仅为偶函数；
综上选C 。

（2）偶函数不含奇次项，故20,2m m -==，选B
【解】()f x 的图像如图所示。

因0x ≥，()(1)f x x x =+，()f x 是奇函数，故 0x ≤时，由0x -≥得
()()()[1()](1)f x f x x x x x =--=--+-=-
因此，(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩。

O x
y
例2.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =+，画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式。

【解】（1）令()f x 图像的对称中心为(,)a b ，则 32()()3()f x a b x a x a b +-=+-+- 32232(33)(36)(3)x a x a a x a a b =+-+-+--为奇函数，
故，3233030
a a a
b -=⎧⎨--=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩ 即()f x 图像的对称中心为(1,2)-。

（2）函数()f x 的图像关于直线x a =对称的充要条件是： ()f x a +为偶函数。

例3.我们知道，函数()y f x =的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图像关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数。

（1） 求函数()32
3f x x x =-图像的对称中心； （2） 类比上述推广结论，写出“函数()y f x =的图像关于y 轴成轴对称图形的充要条件是函数()y f x =为偶
函数”的一个推广结论。

例4（1）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则
(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
（2）奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =,则(8)(9)f f += ( )
A. －2
B.－1
C. 0
D. 1
【解】（1）由(1)(1)f x f x -=+知()f x 的图像关于直线1x =对称，又因()f x 是奇函数，故其图像关于原点(0,0)对称，因此()f x 是周期为4|10|4-=的周期函数，
易知(1)2,(2)0,(3)(1)2,(4)0f f f f f ===-=-=，故 (1)(2)(3)(50)f f f f ++++… 12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f =+++++
(1)(2)2f f =+=，选C 。

（2）易知()f x 的图像既关于原点对称，又关于直线2x =对称，因此()f x 为周期函数，周期8T =； 从而(8)(9)(0)(1)011f f f f +=+=+=，选D
例5、已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时2
()4f x x x =-，那么不等式(2)5f x +<的解集是______。

【解】令()5(0)f x x =≥， 解方程2
45(0)x x x -=≥得5x =， 参看图像，知()5f x <的解集为(5,5)-， 令525x -<+<，解得73x -<<， 即(2)5f x +<的解集为(7,3)-
5
y x
O
4
例6（巴蜀中学）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意12x x R ∈、，若12x x <都有1212()()f x f x x x -<-成立，则关于x 的不等式2
2
(1)(13)32f x f x x x ++-<-+的解为 【解】因()f x 为奇函数，故
22
(1)(13)(1)(31)f x f x f x f x ++-=+--，
题中不等式实际为2
2
(1)(31)32f x f x x x +--<-+ 由题意，需2
131x x +<-，解之得：12x <<
例7（重庆南开中学）已知奇函数()f x 在()0,+∞上的图象如图所示，则不等式()01
f x x <-的解集为（ ）
A 、()()()3,10,11,3--
B 、()()()3,10,13,--+∞
C 、()
()(),31,03,-∞--+∞ D 、()()(),31,00,1-∞--
【解法一】观察法：从图像上看，(1,3)x ∈时，有
10,()0x f x -><，故此时()
01
f x x <-
故，不等式解集必包含区间(1,3)，只能选A 。

解1()0
x f x <⎧⎨>⎩得(3,1)(0,1)x ∈--⋃ 综上，选A 。

【解法二】原不等式分解为1()0x f x >⎧⎨<⎩和1
()0x f x <⎧⎨>⎩，
解1()0
x f x >⎧⎨<⎩得(1,3)x ∈ 考虑到()f x 的图像关于原点对称，
例8（1）若函数2()1
x a
f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为________.
（2）设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1
()()1
f x
g x x +=-,求
()f x 和()g x 的解析式.
【解】（1）由题意知 (0)0f a ==，故0a =，
即2()1
x f x x bx =++
又，()f x 、x 均为奇函数，故2
1x bx ++必为偶函数 从而2
1x bx ++不含奇次项，即0b =
综上：2()1
x
f x x =+
（2）由题意知：()()f x f x -=，()()g x g x -=-，
故11()()()()11
11()()()()11f x g x f x g x x x f x g x f x g x x x ⎧⎧
+=+=⎪⎪⎪⎪--⇒⎨⎨⎪⎪-+-=-=-⎪⎪--+⎩⎩
解得：21()1f x x =-，2()1
x g x x =-
例9（1）．已知奇函数()f x 的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足2
(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围．
（2）(2)f x +是偶函数，且2x ≥时()f x 单调递减，(1)5f =，则不等式(3)50f a --≥的解集为
【解】（1）由题意知：2
212212
m m -≤-≤⎧⎨-≤-≤⎩ 解得 13m -≤≤
又()f x 为奇函数，故()f x 在[2.2]-上递减，故
2
2
2
(1)(1)(1)11f m f m f m m m -<--=-⇒->-， 解得21m -<< 综上， 11m -≤<。

（2）由题意知：()f x 的图像关于直线2x =对称，且自变量离对称轴越近，函数值越大。

由于目标不等式等价于(3)(1)f a f -≥ 故，|(3)2||12|a --≤-，即|5|1a -≤，
解得[4,6]a ∈。

即原不等式的解集为[4,6]。

例10、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，则( )． A ．(25)(11)(80)f f f -<< B ． (80)(11)(25)f f f <<- C ．(11)(80)(25)f f f <<-
D ．(25)(80)(11)f f f -<<
【解】由()f x 是奇函数且在[0,2]上单调递增知
()f x 在[2,2]-上递增，
又(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x -=-⇒-=--= 故函数()f x 以8为周期，从而
(25)(1)f f -=-，
(11)(3)(34)(1)f f f f ==--= (80)(0)f f =
故(25)(80)(11)f f f -<<，选D.
例11.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则
)2
5(f 的值是( ) A ．0 B ．2
1
C ．1
D ．2
5
【解】(1)()
(1)(1)()1f x f x xf x x f x x x
++=+⇒=+
令()
()f x g x x =，易知()g x 是周期为1的奇函数，
故5111()()()()2222g g g g ==-=-
因此1()02g =，进而得5
()02g =，
从而得5
()02
f =，选A 。

例12.定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：)1()()(xy
y x f y f x f --=-；当)0,1(,-∈y x 时，有0)(>x f ；若22
111
1()()()()511
1202020201P f f f f r r =++
++
++-+-,1
()2
Q f =,(0)R f =；则,,P Q R 的大小关系为( )
A. R Q P >>
B. R P Q >>
C. P R Q >>
D.不能确定
【解】因()()()1x y
f x f y f xy
--=-，取x y =，得
(0)()()0f f x f y =-=
取0x =，得(0)()()f f y f y -=-，即()()f y f y =-- 故，()f x 为(1,1)-上的奇函数。

如x y <，则(1,0)1x y
xy
-∈--，
故()()()01x y
f x f y f xy
--=>-，即()()f x f y >
故，()f x 在(1,1)-上单调递减。

211()()1(1)1f f r r r r =+-+-111
11(1)1()()()()111111(1)1
r r r r f f f f r r r r r r -
++===-+--⋅++
22
11
1
1
()()()()5111202020201
P f f f f r r ∴=++
++
++-+- 111111111
[()()][()()][()()]()()()2334
20202021220212
f f f f f f f f f Q =-+-+
+-=->=
又，显然有0,0,0P Q R <<=， 故，R P Q >>，选B 。

例13. 已知偶函数()f x （x R ∈）满足(1)(1)f x f x -=+，且当[]0,1x ∈时，
2
()f x x =，则()y f x =在[0,100]上零点的个数为 ．
【解】由(1)(1)f x f x -=+知()f x 的图像关于直线1x =对称，又()f x 为偶函数，其图像关于直线0x =对称，因此()f x 为周期函数，2|10|2T =⨯-=为其一个周期。

故(2)(0)0f f ==，从而知()f x 在[0,100]上有51个零点。

例14. 若关于x 的函数322
22()(0)x tx x t f x t x t
+++=>+的最大值为M ，最小值为N ，且4=+N M ，则实数t 的值为（ ）
【解】322323
2222(2)()2()x tx x t x x t x t x x f x t x t x t x t
+++++++===++++； 因322x x x t
++为奇函数，故()f x 的图像关于点(0,)t 中心对称 故2M N t +=，解得2t =
例15、设a 为实数，函数1||)(2
+-+=a x x x f ，R x ∈
（1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值。

【解】（1）当0a =时，2()||1f x x x =++为偶函数，
当0a ≠时，2()||1f x x x a =+-+为非奇非偶函数；
（2）当x a <时， 2
213()1(),24f x x x a x a =-++=-++ 当12a >时，min 13()()24
f x f a ==+， 当12
a ≤时，min ()f x 不存在； 当x a ≥时
2213()1(),24f x x x a x a =+-+=+-+ 当12
a >-时，2min ()()1f x f a a ==+， 当12a ≤-时，min 13()()24f x f a =-=-+。

例16.已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且()12f =-。

（I ）判断()f x 的奇偶性；
（II ）求()f x 在区间[]2,2-上的最大值；
（III ）若0a ≥，解关于x 的不等式()
()()224f ax f x f ax -<+。

【解】（I ）令0x y ==得()()()000f f f =+，故()00f =，
再令y x =-，得()()0f x f x +-=，故()f x 为奇函数；
（II ）对[]2,2-上任意的12x x <，由题意21()0f x x -<，
故()()21211211()()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=+-< 故，()f x 在区间[]2,2-上递减，因此()f x 在区间[]2,2-上的最大值为()2f - 令1x y ==-，则()22(1)2(1)4f f f -=-=-=， ()f x 在区间[]2,2-上的最大值为4
（III ）()
()()224f ax f x f ax -<+ ()()()2
()(2)f ax f x f x f ax f ⇔<+++- ()22[(2)2](2)2f ax f a x ax a x ⇔<+-⇔>+- (1)(2)0x ax ⇔-->
当0a =时，不等式的解集为(,1)-∞。

当(0,2]a ∈时，不等式的解集为2(,1)(,)a
-∞⋃+∞； 当2a >时，不等式的解集为2(,)(1,)a
-∞⋃+∞。

谢谢！。