高等数学-无穷级数-2022年学习资料

当级数收敛时，其部分和S,是级数和S的近似值-称s-s为级数的余项，记作，，即-=S-Sn=un +um2 -例1-判定级数-1.2233.4-+A+1-nn+1-的敛散性，-解已知级数的前n项和是：
S=-2克a=-号3A+g-1.2-2.3-=1-n+1-因为1-1，所以这个级数收敛，其-和为1.
而imn1+m=+o，表明A的极限不存在，所以该级-≥0n=1,2,3..,则称级数4为正项级数-n--定理1正项级数收敛的充 必要条件是它的部分和-数列有界-例1证明正项级数-11-=1+-n=0n!-A+日A是收敛的-121-证因 -nl1.2.3Λn1.2.2Λ2-2a=2.34A-于是对任意的有
定理3比较判别法的极限形式：-∑，和同上，且m-un =1.-则-n-→oVn-当0<1<+0时，∑4，和 同时收敛，同时发散-注：比较审敛法的不方便一须有参照级数-重要参照级数：-等比级数，p一级数。
例5判定敛散性：①乏m:2-n=1-3"-n-n-1-sin-解©limnsin-=1,.发散-n→∞-1 >00-3”-n-2⊙1im-收敛，-n→oo-故原级数收敛
例如级数-1-1+1-1+..+1-1+..-显然收敛于零，但级数-却是发散的.
性质5（级数收敛的必要条件）若级数4收-1=]-敛，则-limu,=0-n→00-例5判别级数A-的敛散性 解因为-limu。=lim-≠0-100-n2n+12-所以级数-发散-6判别级数到”+-的敛散性，
解级数-与级数2-21-都收敛，故由性质2知，-注意性质5可以用来判定级数发散：如果级数一般项-不趋于零， 该级数必定发散应当看到，性质5只-是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条-件，也就是说，即使imw, 0,也不能由此判定级-数24收敛.下面的例正说明了这一点：1im1=0,-n=]-但级数1-发散.-n=1 n
例3讨论等比级数（也称几何级数）-∑ag=a+aq+aq+A+ug+A-n=-的敛散性
解1lq≠1-前n项和-=+g+a时+n+g-g-1-q-当4<1时，-m5.=-所以级数收敛，其和-S= 当4>1-时，limS=o所以级数∑ag"-发散.-219=1-当9=1时，2ag=24于是-limS l mna=oo-n=-n→0-1n→00
所以级数ag发散.-n=]-当g=-1时，2ag=1u其前n项和-n--a,当n为奇数时-S,=-0,-当 为偶数时-显然，当n一→oo时，Sn没有极限.所以，级数ag发散.-1=-综上所述，等比级数2ag,当4< 时收敛，当4≥1-时发散结论记住
注意几何级数2ag的敛散性非常重要无论是用比-较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函-数展开为幂级数， 经常以几何级数敛散性为基础
,1,1-1!-2-222-+A+-20-2-=1+-3、-=a+ag+ag2++g=-9-1-4-n-2 即正项级数的部分和数列有界，故级数】-收敛-定理2（比较判别法）设24，和2y,是两个正项级数，-且-un Vm-1若级数收敛，则级数-2u也收敛；-2若级数2un发散，则级数-.也发散
例2讨论P级数日0〉的敛散性-（证明了解，结论-解当P1时，-因为龙-发散，所以由比较判别法知，-n=1 -当P≤1时，发散-当P>1时，顺次把P级数的第1项，第2项到第3项，4到7项，-8到15项，.加括号后得 1++写。+为+gA+A-它的各项显然小于级数-1宁（结A京安AA
2.数项级数的基本性质-性质1如果级数u收敛，其和为s,k为常数，则级数-n=1-∑kun也收敛，其和为k ;如果级数∑4，发散，当k0时，-级数2kun也发散.-1=-由此可知，-级数的每一项同乘以不为零的常数后 其敛散性不变
性质2若级数-∑4。与，分别收敛于B与a,则级-数∑un±vn,收敛于B±a-1=-性质3添加、去掉或改变 数的有限项，级数的敛散-性不变-性质4若级数∑w.收敛，则对其各项间任意加括号后-所得的级数仍收敛，且其和 变-应当注意，性质4的结论反过来并不成立.即如果加括-号后级数收敛，原级数未必收敛
例7-证明调和级数1是发散级数.-n=1 n-调和级数部分和s,如图，-01234-n+13-图11-1察曲线
y=,x=1,x=n+1和y=0,所围成的曲边梯形的面-积S与阴影表示的阶梯形面积A之间的关系.-A-LA 2A-背AA月-所以，阴影部分的总面积为-小=三，=1+合Λ+开-它显然大于曲边梯形的面积S,即有-AnI n+1
223+34A的袋项为思-、-1-例如，级数-又如级数-n0++lh+2+nl+3+A-的一般项为&.=l 1+马-简言之，数列的和式称为级数-定义2设级数的前项之和为-Sm=41+42+4,+A+4n=∑4-k_ 称Sn为级数的前项部分和.当依次取1,2,3，.时，
新的数列-S,=41S2=41+42,..,Sn=u+u2+Λ+un,..,-数列{S}称为级数2u的部分 数列.若此数列的-极限存在，即ims。-S常数，则S称为2w,的和，-记作-24,=S-此时称级数u收敛=-如果数列S}没有极限，则称级数立4发散，这-时级数没有和.
无穷级数-第一节-数项级数及其敛散性-第二节幂级数
第一节常数项级数及其敛散性-一、常数项级数及其敛散性-1.常数项级数的概念-定义1设给定一个数列4,42, A,4n,A，则表达式-41+u2+u3+A+u,+A-11.1-称为常数项无穷级数，简称数项级数，记作∑ 即-∑4n=4,+42+4,+△+un+Λ-1=l-其中第n项“，称为一般项或通项.
1+2+33+2广+n-对应的各项，而所得级数是等比级数，其公比-为9=<故收敛，于是当P1时，级数-n= n-综上所述，P-级数三当P≤幻时发散，当P>刀时收敛-注意P级数在判断正项级数的敛散性方面经常用到，此有关P级数敛散性的结论必须牢记
3判定级数，6A-r-A的敛散性-解因为级数的一般项“a+1m+4-满足-0<-而级数是p=2的P级数，它 收敛的，所以原级数-也是收敛的