§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT解析

定义为序列x(n)的离散时间傅里叶变换（DTFT）。记为
X (e j ) DTFT{x(n)}
《Signals & Systems》
jn x ( n ) e
n
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
由离散时间序列x(n)的反z变换
1 n 1 x ( n) X ( z ) z dz 2j C
X R () jX I () X R () jX I () X R () jX I () X R () 0
即实偶序列的离散时间傅里叶变换，是实偶对称的；实奇序列， 其离散时间傅里叶变换是纯虚且奇对称的。
《Signals & Systems》
《信号与系统》
由于单位圆在X(z)的收敛域之内，以上围线积分可沿单位圆上进行。 于是 1 1 n 1 j j( n 1) j x(n) X ( z ) z dz X ( e ) e de 2j z1 2j
1 1 j j( n 1) j j jn X ( e ) e je d X ( e ) e d 2j 2
j

(e e )e (e j / 2 e j / 2 )e j / 2
jN / 2
jN / 2
jN / 2
x(n) R4 (n)
1
0
N ) j N 1 2 e 2 X ( e j ) e j ( ) sin( ) 2 sin(
N4
《Signals & Systems》
Re{z}
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n 2、双边指数序列 x(n) a 于是 X (e j ) x(n)e jn
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a 1
n jn n jn a e a e n0 1
n
n
即序列实部的离散时间傅里叶变换是序列离散时间傅里叶变换 的共轭对称分量，虚部的离散时间傅里叶变换是序列离散时间傅里 叶变换的共轭反对称分量。
《Signals & Systems》
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5、奇、偶、虚、实性
设
DTFT x(n) xr (n) jxi (n) X (e j ) X R () jX I ()
0

2

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三、离散时间傅里叶变换的基本性质
1、周期性
X (e j ) X (e j ( 2) )
即序列是时域离散的，其离散时间傅里叶变换是以2π为周期 的周期信号。注意，连续时间周期信号，其连续时间傅里叶变换是 离散的。 1 j n 例如：单边指数序列 X (e ) DTFT {a u (n)} 1 ae j 1 1 1 1 ae j 1 ae j ( 2 ) 1 ae je j 2 2、线性
n

1 j jn x(n) IDTFT{X (e j )} X ( e ) e d -------DTFT反变换式 2
记为
DTFT x(n) X (e j )
由以上反变换式可见，DTFT是将序列x(n)分解为不同角频率ω 的复指数序列ejωn的组合，X(ejω)是不同分量的复振幅的相对大小， 习惯上，称X(ejω)是序列x(n)的频谱。
0
1 2 3 4 5
n
x ( n)
a0
1 2
即
1 a u (n) 1 ae j
n
3
4
5
n
以上序列的z变换为 1 X ( z) 1 az 1
j Im{z}
za
a 1
当|a|<1，单位圆被包含在收敛域中，所以 1 X ( e j ) X ( z ) z e j 1 ae j
《Signals & Systems》
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二、离散时间傅里叶变换的举例
1、单边指数序列 于是
X (e )
j n
x ( n)
a0
x(n) a u(n)
n
a 1
0
n jn
x ( n)e
DTFT
jn
a e
n0

1 1 ae j
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§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT
一、离散时间傅里叶变换的定义
设离散时间序列x(n)的z变换
X ( z)
n n x ( n ) z
单位圆被包含在它的收敛域之内。于是
X (e ) X ( z ) | z e j
j n jn x ( n ) e
DTFT X i (e j ) 设 xi (n)
《Signals & Systems》
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则
DTFT j C x ( n ) C X ( e ii i i ) i i
例如：双边指数序列 则
x(n) a nu(n 1) a nu(n)
X R () Re{X (e j )}
同样可求，其中的奇分量
xo (n) 1 1 DTFT [ x(n) x( n)] [ X (e j ) X (e j )] j Im{ X (e j )} 2 2
6、频域微分性
《Signals & Systems》
X ( e j ) e j ( )
当x(n)是实序列，即 则
x(n) x* (n)
X (e j ) X * (e j )
X (e j ) e j( ) X R () jX I () X R () jX I () X (e j ) e j( )
()

2

45
0

2

则RN(n)左移(N-1)/2后，是一个偶对称的序列, 根据时移性
x(n
1
N 1 ) 2
1 2 3 《Signals & Systems》
3 2 1
n
N ) N 1 DTFT 2 RN (n ) 2 sin( ) 2 sin(
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当x(n)是实序列，即
则其中的偶分量
x(n) x* (n)
1 1 DTFT xe (n) [ x(n) x( n)] [ X (e j ) X (e j )] 2 2 1 1 [ X (e j ) X (e j )] [ X R () jX I () X R ( ) jX I ( )] 2 2
《Signals & Systems》
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例如：设矩形窗序列RN(n)的宽度N为奇数，
x(n) R5 (n)
1
X ( e j )
N 5
0
1 2 3 4 5
n
0
4 5
我们已知
N ) j N 1 DTFT 2 e 2 RN (n) sin( ) 2 sin(
即实序列的离散时间傅里叶变换，实部是偶对称的，虚部是奇 对称的，模是偶对称的，相位是奇对称的。 当x(n)是实偶序列，即
《Signals & Systems》
x(n) x* (n) x(n)
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则
即
X (e j ) X * (e j ) X (e j )
所以有
1 1 DTFT [ x(n) x* (n)] [ X (e j ) X * (e j )] 2 2 1 1 DTFT * j Im{x(n)} [ x(n) x (n)] [ X (e j ) X * (e j )] 2j 2j Re{ x(n)}
X (e j )
《Signals & Systems》
jn jn x ( n ) e e n0 N 1
x(n) R4 (n)
1
n
0
1 2 3院
jN
1 e X (e ) 1 e j
其中
n n jn n jn a e a e n 1 1
ae j 1 ae j
所以
2 j 1 a ae 1 X (e j ) j j 1 2a cos a 2 1 ae 1 ae
3、矩形窗序列 x(n) RN (n) u(n) u(n N )
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x(n
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1
N 1 ) 2
N 5
X (e j )
3 2 1
1 2 3
n
0
N 5

X ( e j )
2

N ) N 1 DTFT 2 RN (n ) 2 sin( ) 2 sin(
因为，此时序列是一偶对称信号， 与连续时间傅氏变换相同，其变换应是 纯实函数。变换的波形如图所示。 离散时间信号的傅立叶变换是以2π 为周期的连续函数，其幅度函数的波形 是以π偶对称的，相位函数是奇对称的。
《Signals & Systems》
0
()


2

0

2

《信号与系统》
DTFT X (e j ) 例如：设 x(n)
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x ( n)
X (e j )
2
0 1
3 4
n
2

0

2

则由频移性
DTFT (1)n x(n) e jn x(n) X (e j () )
X R () jX I () X R () jX I () X R () jX I () X I () 0
当x(n)是实奇序列，即
x(n) x* (n) x(n)
则
即
X (e j ) X * (e j ) X (e j )


记为
1 j jn x(n) IDTFT{X (e j )} X ( e ) e d 2
《Signals & Systems》

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于是，我们得到一对变换关系：
X (e ) DTFT{x(n)}
j jn x ( n ) e -------DTFT变换式
x1 ( n)
X1 (e j )
0
1 2
3 4
n
2

0

2

《Signals & Systems》
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4、共轭与反褶
设 则有
DTFT x(n) X (e j ) DTFT x* (n) X * (e j ) DTFT x(n) X (e j )
1 2 3 4 5
n
X ( e j )
N sin( ) 2 X (e j ) sin( ) 2
N sin 2 N 1 ( ) arg 2 sin 2
《Signals & Systems》
0
()
3 4

2

34
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6、频域微分性(序列线性加权）
设 则有
DTFT x(n) X (e j )
j dX ( e ) DTFT nx(n) j d
信号与系统大连海事大学信息科学技术学院二离散时间傅里叶变换的举例1单边指数序列于是nuanxn?1?a??n?????njjenxex????n???0njnea??jae???11nnx0123450?annx0123450?ajjdtft???nnnuuaa??1即signalssystems以上序列的z变换为111???azzxaz?rezimzj1a当a1单位圆被包含在收敛域中所以???jezjaezxexj?????11?ae???1信号与系统大连海事大学信息科学技术学院2双边指数序列nanx?1?a于是??n?????njjenxex????n??n?????????01njnnjneaea??其中??n??n???????11njnnjneaea????jjaeae??1所以所以signalssystems????jjjjaeaeaeex?????11122cos211aaa?????3矩形窗序列nnununrnxn????n4nrnx?0123451??n?????njjenxex????n???10nnje?信号与系统大连海事大学信息科学技术学院???jnjjeeex?????11222222??????jjjnjnjnjeeeeee???????212sin2sin???njen??????jjeex??jex4?nn4nrnx?0123451signalssystems2sin2sin???jnex?????????????2???2sin2sinarg1????nn???20?????203?4?43?信号与系统大连海事大学信息科学技术学院三离散时间傅里叶变换的基本性质1周期性2?????jjexex即序列是时域离散的其离散时间傅里叶变换是以2为周期的周期信号
a 1
X (e j ) DTFT{a nu(n 1)} DTFT{a nu(n)}
1 a2 ae j 1 j j 1 2a cos a 2 1 ae 1 ae
3、时移与频移性 设 则有
DTFT x(n) X (e j ) DTFT x(n m) X (e j )e jm DTFT x(n)e j0n X (e j (0 ) )