初二四边形综合提高练习题(附详解)

初二四边形综合提高练习题（附详解）
1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每
秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求AB,AC的长；
（2）求证：AE=DF；
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
2．如图，已知菱形ABCD的对角线AC 、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E=60°，AC=求菱形ABCD的面积．
3．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45º.△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到，连接BE，CF相交于点D.
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABDF是菱形时，求CD的长.
4．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，AB上，点M在BA的延长线上，且CE=BF=AM，过点M，E分别作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，连接NF．
（1）求证：DE⊥DM；
（2）猜想并写出四边形CENF是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
5．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A1B1C1O的一个顶点，如果这两个正方形全等，正方形A1B1C1O绕点O旋转．
（1）求两个正方形重叠部分的面积；
（2）若正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，求A与C1的距离．
6．在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（备注：在直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半）
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
7．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．
（1）求证：AE=EF．
（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”其余条件不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立，请你证明这一结论，若不成立，请你说明理由．
8．已知□OABC的顶点A、C分别在直线x=2和x=4上， O为坐标原点，直线x=2分别与x 轴和OC边交于D、E，直线x=4分别与x轴和AB边的交于点F、G．
（1）如图，在点A、C移动的过程中，若点B在x轴上，
①直线 AC是否会经过一个定点，若是，请直接写出定点的坐标；若否，请说明理由．
②□OABC是否可以形成矩形？如果可以，请求出矩形OABC的面积；若否，请说明理由．
③四边形AECG是否可以形成菱形？如果可以，请求出菱形AECG的面积；若否，请说明理由．
（2）在点A、C移动的过程中，若点B不在x轴上，且当□OABC为正方形时，直接写出点C 的坐标．
9．如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=4．E为CD边上一点，CE=6．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
（1）求AE的长；
（2）当t为何值时，△PAE为直角三角形？
（3）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．（1）AB=5，AC=10.（2）证明见解析；（3）能，当t=
103时，四边形AEFD 为菱形．（4）当t=52秒或4秒时，△DEF 为直角三角形.
【解析】（1）设AB=x,则AC=2x.由勾股定理得，(2x)2-x 2=(5)2,得x=5，故AB=5，AC=10.
（2）证明：在△DFC 中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t ，∴DF=t ．又∵AE=t ，∴AE=DF ．
（3）能．理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF ．又AE=DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形．∵AB=5，∴AC=10．∴AD=AC-DC=10-2t ．若使□AEFD 为菱形，则需AE=AD ，
即t=10-2t ，t=.即当t=时，四边形AEFD 为菱形．
（4）①∠EDF=90°时，10-2t=2t ，t=．②∠DEF=90°时，10-2t=t ，t=4．③∠EFD=90°时，此种情况不存在．故当t=秒或4秒时，△DEF 为直角三角形.
2．（1）证明见解析；（2）菱形ABCD 的面积为
试题解析：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=CD ，AB ∥CD.；
又∵BE=AB ， ∴BE=CD.
∵BE ∥CD, ∴四边形BECD 是平行四边形.
（2）∵四边形BECD 是平行四边形， ∴BD ∥CE.
∴∠ABO=∠E=60°. 又∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC 丄BD,OA=OC. ∴∠BOA=90°，
∴∠BAO=30°.
∵AC=∴OA=OC=∴OB=OD=2. ∴BD=4.
∴菱形ABCD 的面积=11422
AC BD ⨯⨯=⨯=
3．（1）证明见解析；（2） 2
试题解析：
（1）∵△AEF 是由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到的，
∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF ，
在△ABE 和△ACF 中
{AB AC
BAE CAF AE AF
∠∠＝＝＝ ∴△ABE ≌△ACF ， ∴BE =CF ．
（2）∵四边形ABDF 是菱形， ∴AB ∥DF ， ∴∠ACF ＝∠BAC ＝45°．
∵AC =AF ， ∴∠CAF ＝90°，即△ACF 是以CF 为斜边的等腰直角三角形， ∴CF ＝．
又∵DF =AB ＝2， ∴CD ＝2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．
4．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴DC=DA ，∠DCE=∠DAM=90°，
在△DCE 和△MDA 中，， ∴△DCE ≌△MDA （SAS ）， ∴DE=DM ，∠EDC=∠MDA ． 又∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°， ∴∠ADE+∠MDA=90°， ∴DE ⊥DM ；
（2）解：四边形CENF 是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ∥CD ，AB=CD ．
∵BF=AM ， ∴MF=AF+AM=AF+BF=AB ， 即MF=CD ，
又∵F 在AB 上，点M 在BA 的延长线上， ∴MF ∥CD ， ∴四边形CFMD 是平行四边形，
∴DM=CF ，DM ∥CF ，
∵NM ⊥DM ，NE ⊥DE ，DE ⊥DM ， ∴四边形DENM 都是矩形， ∴EN=DM ，EN ∥DM ，
∴CF=EN ，CF ∥EN ， ∴四边形CENF 为平行四边形．
5．（1）1；（2
解：解：（1）∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠OAB =∠OBF =45°，OA =OB
∵BO ⊥AC ， ∴∠AOE +∠EOB =90°，
又∵四边形A 1B 1C 1O 为正方形， ∴∠A 1OC 1=90°，即∠BOF +∠EOB =90°， ∴∠AOE =∠BOF ， 在△AOE 和△BOF 中，， ∴△AOE ≌△BOF （ASA ），
∵S 两个正方形重叠部分=S △BOE +S △BOF ， 又S △AOE =S △BOF
∴S 两个正方形重叠部分=S ABO =S 正方形ABCD =×4=1；
（2）如图，
∵正方形的面积为4， ∴AD =AB =2，
∵正方形A 1B 1C 1O 旋转到B 1在DB 的延长线时，
∴C 1F =OC 1=1，AG =1 ∴C 1G =3，
根据勾股定理，得AC 1=．
6．（1）、证明见解析；（2）、t=10；（3）、t=152
或12，理由见解析.
试题解析：（1）、∵在Rt △ABC 中，∠C=90°﹣∠A=30°， ∴AB=
12AC=12
×60=30cm ∵CD=4t ，AE=2t ， 又∵在Rt △CDF 中，∠C=30°， ∴DF=12CD=2t ∴DF=AE （2）、能。

∵DF ∥AB ，DF=AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形
当AD=AE 时，四边形AEFD 是菱形，即60﹣4t=2t ，解得：t=10
∴当t=10时，AEFD 是菱形
（3）、若△DEF 为直角三角形，有两种情况：
①如图1，∠EDF=90°，DE ∥BC ，
则AD=2AE ，即60﹣4t=2×2t ，解得：t=
152。

②如图2，∠DEF=90°，DE ⊥AC ，
则AE=2AD ，即2t=2（60-4t ），解得：t=12。

综上所述，当t=152
或12时，△DEF 为直角三角形 试题解析：
（1）证明：取AB 的中点G ，连接EG
∵四边形ABCD 是正方形∴AB =BC ，∠B =∠BCD =∠DCG =90°
∵点E 是边BC 的中点 ∴AM =EC =BE ∴∠BGE =∠BEG =45°
∴∠AGE =135°，
∵CF 平分∠DCG ， ∴∠DCF =∠FCG =45°，
∴∠ECF =180°－∠FCG =135°， ∴∠AGE =∠ECF
∵∠AEF =90° ∴∠AEB +∠CEF =90°，
又∵∠AEB +∠GAE =90°， ∴∠GAE =∠CEF ，
在△AGE 和△ECF 中，∠GAE =∠CEF ，AG =CE ，∠AGE =∠ECF ∴△AGE ≌△ECF （ASA ），∴AE =EF
（2）证明：在AB 上取一点M ，使AM =EC ，连结ME ，
∴BM =BE ∴∠BME =45°∴∠AME =135°.
∵CF 是外角平分线， ∴∠DCF = 45°. ∴∠ECF = 135°.
∴∠AME = ∠ECF .
∵∠AEB +∠BAE =90°，∠AEB + ∠CEF = 90°, ∴∠BAE = ∠CEF .
∴△AME ≌ △ECF （ASA ). ∴AE =EF .
8．（1）①是，定点（3，0），②可以，12，③可以，3；（2）（4，2）或（4，-2）
试题解析：（1）①根据题意得：∠ADO=∠CFB=90°，
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ∥BC ，OA=BC ， ∴∠AOD=∠CBF ， 在△AOD 和△CBF 中， ∴△AOD ≌△CBE （AAS ）， ∴OD=BE=2 ∴OB 的中点坐标为（3，0） ∴直线 AC 是经过一个定点（3，0）
②可以
易证∠OCF=∠CBF ，得∠OCB=90°，由OABC 是平行四边形得OABC 是矩形， 在Rt ΔOCB 中，CF 2=BF ×OF=2×4=8 ∴CF=
∴S ΔOCB =×6×= ∴S 矩形OABC =
③可以，3 （2）（4，2）或（4，-2）
9．(1)5；(2)6或23；(3)29
6.
试题解析：（1）∵矩形ABCD 中，AB=9，AD=4， ∴CD=AB=9，∠D=90°， ∴DE=9﹣6=3，
∴=；
（2）①若∠EPA=90°，t=6；
②若∠PEA=90°，()()22226t 459t ++=﹣﹣， 解得t=2
3．
综上所述，当t=6或t=2
3时，△PAE 为直角三角形；
（3）假设存在．
∵EA 平分∠PED ， ∴∠PEA=∠DEA ．
∵CD ∥AB ， ∴∠DEA=∠EAP ， ∴∠PEA=∠EAP ，
∴PE=PA ， ∴()()2226t 49t +=﹣﹣， 解得t=29
6．
∴满足条件的t 存在，此时t=29
6.
考点：四边形综合题．。