安徽省定远重点中学高二数学下学期期中试题 理

定远重点中学2017-2018学年第二学期期中考试
高二（理科）数学试题
注意事项：
1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将第I卷（选择题）答案用2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第II卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。

第I卷（选择题60分）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

)
1.已知 f(x)=,则的值是（）
A.-
B.2
C.
D.-2
2.可导函数y=f（x）在一点的导数值为0是函数y=f（x）在这点取极值的（）
A.充分条件
B.必要条件
C.必要非充分条件
D.充要条件
3.若复数是实数，则x的值为( )
A. B.3 C. D.
4.设f（x）=x•cosx﹣sinx，则（）
A.f（﹣3）+f（2）＞0
B.f（﹣3）+f（2）＜0
C.f（﹣3）+f（2）=0
D.f（﹣3）﹣f（2）＜0
5.已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A.
B.
C. D.
6.已知i 是虚数单位，若z （1+i ）=1+3i ，则z=（ ） A.2+ i B.2﹣i C.﹣1+ i D.﹣1﹣i
7.如图，由曲线
直线
和 轴围成的封闭图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
8.已知a 为实数,若复数 为纯虚数,则
的值为( )
A.1
B.0
C.
D.
9.曲线()()2ln 0,0f x a x bx a b =+>>在点()()
1,1f 处的切线的斜率为2，则8a b
ab
+的最小值是（ ）
A. 10
B. 9
C. 8
D. 10.“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）
A. 2016
20172
⨯ B. 2015
20182
⨯ C. 2015
20172
⨯ D. 2016
20182
⨯
11.设()'f x 为定义在*
R 上的函数()f x 的导函数，且()()'0f x f x x
-
>恒成立，则（ ）
) C. ()()3344f f > D.
90分）
a 的值为 . 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡5”，则甲的卡片上的数字
⋅⋅⋅
可以推测，A B -=
三、解答题(共6小题 ,共70分)
17. (10分) 已知复数x 2
+x ﹣2+（x 2
﹣3x+2）i （x∈R）是4﹣20i 的共轭复数，求x 的值．
18. (12分) 已知函数()32
13=2532
f x x x x -++. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若曲线()y f x =与2y x m =+有三个不同的交点，求实数m 的取值范围.
19. (12分) 已知函数.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
20. (12分) 已知数列，
，，
，为该数列的前项和．
（1）计算
；
（2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
21. (12分) 设y=f （x ）是二次函数，方程f （x ）=0有两个相等的实根，且f′（x ）=2x+2． （1）求y=f （x ）的表达式；
（2）求y=f （x ）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．
22. (12分) 某制药厂生产某种颗粒状粉剂，由医药代表负责推销，若每包药品的生产成本为6元，推销费用为()13t t ≤≤元，预计当每包药品销售价为x 元时，一年的市场销售量为
()
2
20x -万包，若从民生考虑，每包药品的售价不得高于生产成本的02500
，但为了鼓励
药品研发，每包药品的售价又不得低于生产成本的02000
(1) 写出该药品一年的利润()w x (万元)与每包售价x 的函数关系式，并指出其定义域； (2) 当每包药品售价x 为多少元时，年利润()w x 最大，最大值为多少？
参考答案
1.A
【解析】∵f(x)=，∴====﹣
故选A
2.C
【解析】对于可导函数f（x）=x3， f'（x）=3x2， f'（0）=0，不能推出f（x）在x=0
取极值，
故导数为0时不一定取到极值，
而对于任意的函数，当可导函数在某点处取到极值时，
此点处的导数一定为0．
故应选 C．
3.A
【解析】，因为复数
是实数，所以。

选A.
4.A
【解析】∵f（x）=x•cosx﹣sinx，函数是奇函数．∴f'（x）=﹣xsinx，x∈（﹣π，π），f′（x）＜0，函数是减函数．如图：
∴f（﹣3）+f （2）＞0． 故选：A ． 5.D
【解析】导函数
， 则函数单调递增，导函数
， 则函数单调递减，而
不等式等价于
或 ， 结合图象可知
不等式的解集为.选D 。

6.A
【解析】由z （1+i ）=1+3i ，得 ， 直接利用复数
代数形式的乘除运算化简得答案． 7.D
【解析】由曲线
直线
和 轴围成的封闭图形的面积是
8.C
【解析】复数
为纯虚数，可得a =1，
，
故答案为：C. 9.B
【解析】对函数求导可得， ()'2.f x ax b =+根据导数的几何意义， ()'122f a b =+=，即b
1.2
a +
=
8a b ab +=81b a +=(81b a +)·b (2a +)=8a b
2b a
++5≥2+5=4+5=9，当且仅当
22{ 8a b
2a b b a
+==即1
3{ 43
a b =
=时，取等号.所以8a b ab
+的最小值是9. 故选B. 10.B
【解析】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，
且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为2014
2，
故第1行的第一个数为： 1
22-⨯， 第2行的第一个数为： 032⨯， 第3行的第一个数为： 1
42⨯， …
第n 行的第一个数为： ()2
12
n n -+⨯ (n +1)×2n −2，
表中最后一行仅有一个数，则这个数是201520182⨯. 11.A
【解析】()()'0f x f x x
-
>，即
()()
'0xf x f x x
->，设()()f x g x x
=
，则
()()()
2
''xf x f x g x x -=
，当0x >时， ()'0g x >恒成立，即()g x 在()0+∞，上单调递增，
()()()()4343,4
3
f f
g g ∴>∴
>
， ()()3443f f ∴>，故选A.
12.C
【解析】()()'21221x
x x y e
x e e x =-+=+，
令y ′=0得x =−1
2
，
∴当x <−12时,y ′<0,当x >−12
时,y ′>0， ∴y =x e (2x −1)在(−∞,−
12)上单调递减,在(−1
2
,+∞)上单调递增， 当x =0时,y =0e (0−1)=−1,∴函数图象与y 轴交于点(0,−1)；
令y =x e (2x −1)=0得x =12,∴f (x )只有1个零点x =12
， 当x <12时,y =x e (2x −1)<0,当x >12
时,y =x e (2x −1)>0，
综上，函数图象为C. 故选C. 13.
【解析】由定积分的几何意义知
dx 是由y=
与直线x=0，x=1所围成的
图形的面积， 即是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的
， 故
dx= ，
（﹣x ）dx=﹣
=
，
∴
（
﹣x ）dx= ．
故答案为：
．
14.
3
8 【解析】
()()()()()122343846234343425a i i a a i
z a i z i i i ++-+++===
--+为纯虚数380460a a -=⎧∴⎨+=⎩
8
3
a ∴=
15.1和3
根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡2”；
1和2，这与已知矛盾； 1和3， 和3
通过观察归纳出：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；A ，B 的值，进一步得到A-B ．
1；最高次项的系数为该项次数的
16，A+12+5
12+B=1 1
12
，
16+112=1
4，
1
4
4﹣20i 的共轭复数为4+20i ， 2+（x 2
﹣3x+2）i=4+20i ，
，
﹣3．
) 单调递增区间为()(),1,2,-∞+∞，单调递减区间为()1,2；(Ⅱ) 1
52
m <<.
(Ⅰ) ()232f x x x =-+'2分
令()0f x '=，解得1x =或2x =. 4分 当12x x 或时， ()0f x '>；当12x <<时， ()0f x '<
∴()f x 的单调递增区间为()(),1,2,-∞+∞，单调递减区间为()1,26分
（Ⅱ）令()2f x x m =+，即321
3
25232x x x x m -++=+ ∴32
13532x x m -+=
设()321
3
532g x x x =-+，即考察函数()y g x =与y m =何时有三个公共点 8分
令()0g x '=，解得0x =或3x =. 当03x x 或时， ()0g x '>
当03x <<时， ()0g x '<
∴()g x 在()(),0,3,-∞+∞单调递增，在()0,3单调递减 9分
()()1
05,32g g ==10分 根据图象可得1
52m <<. 12分
19.(1) 当时，的单调递增区间为，无减区间， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为;(2)2.
【解析】 (1)，函数的定义域为. 当时，，则在上单调递增， 当时，令，则或(舍负)， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， ∴当时，的单调递增区间为，无减区间，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)解法一：由得，∵，
∴原命题等价于在上恒成立，
令，
则，
令，则在上单调递增，
由，，
∴存在唯一，使，.
∴当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
∴时，，
∴，
又，则，
由，所以.
故整数的最小值为2.
解法二：得，
，
令，
，
①时，，在上单调递减，
∵，∴该情况不成立.
②时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，∴，
恒成立，
即.
令，显然为单调递减函数. 由，且，，
∴当时，恒有成立，
故整数的最小值为2.
综合①②可得，整数的最小值为2.
20.(1)
(2) ，证明见解析.
【解析】
（1）．
（2）猜想，
用数学归纳法证明如下：
①当时，，猜想成立；
② 假设当时，猜想成立，即，当时，
故当时，猜想成立． 由①②可知，对于任意的，都成立．
21.
（1）解：∵f′（x ）=2x+2 设f （x ）=x 2
+2x+c ，
根据f （x ）=0有两等根，得△=4﹣4c=0解得c=1，即f （x ）=x 2+2x+1；
（2）解：S= = ．
22.（1）()()()
[]()262012,15w x x t x x =---∈（2）()()3max 232414327t w x w t +⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 【解析】
(1)由题意， ()()()
[]()262012,15w x x t x x =---∈ (2) ()()()()()22322026203203t w x x x t x x x +⎛
⎫=-----=---
⎝'⎪⎭ ① 当12t ≤≤时， 232123
t +≤， ()0w x '≤在[]12,15上恒成立，即()w x 为减函数，所以， ()()max 1238464w x w t ==-万元
②当23t <≤时， ()23212,153t +∈，当232123
t x +<<时()0w x '>， 当232153t x +<<时， ()0w x '<，即()w x 在23212,3t +⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在232,153t +⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为减函数，所以， ()()3max 232414327t w x w t +⎛⎫==-
⎪⎝⎭万元。