高考数学 热点难点精讲解析 8.3曲线与方程

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：
8.3曲线与方程
（一）用直接法求轨迹方程 ※相关链接※
1．如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x 、y 的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。

⒉运用直接法应注意的问题
(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.
（2）若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略. ※例题解析※
〖例〗如图所示，设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2
2
24x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1
PA PB =u u u r u u u r
g 的点，求点P 的轨迹方程。

思路解析：设P 点坐标为(x,y)→求出A 、B 两点坐标→代入1PA PB =u u u r u u u r
g 求P 点轨迹→标明x 的范
围。

解答：设P 点的坐标为(x,y)，则由方程2
2
24x y +=，得2
2
24y x =-，∴2
42
x y -=±，∴A 、B
两点的坐标分别为22
44(,
),(,)22
x x x x ---，又1PA PB =u u u r u u u r g ，
∴2244(0,)(0,)122x x y y -----=g ，即2222
41,1,263
x x y y --=∴+=又直线l 与椭圆交于两点，∴-2<x<2,∴点P 的轨迹方程为22
1,63
x y +=（-2<x<2） （二）用定义法求轨迹方程 ※相关链接※
1．运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或
从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

2．用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活应用定义。

同时用定义法求轨迹方程也是近几年来高考的热点之一。

注：利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制
※例题解析※
〖例1〗（1）已知圆C:x2+y2+6x-91=0及圆内一点P(3,0),则过点P且与圆C内切的动圆圆心M的轨迹方程为________.
(2)已知动圆P与圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1都外切，求动圆圆心P的轨迹方程.
【方法诠释】(1)由两圆内切可得出两圆圆心距与两圆半径差之间的关系|CM|=10-r(r为动圆M的半径)，再注意|PM|=r，
从而有|CM|+|PM|=10，由椭圆的定义得出所求轨迹为椭圆；
(2)由动圆P与圆C1、圆C2均外切得出|C1P|=r+3，|C2P|=r+1，由此得到|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义即可得出所求轨迹及轨迹方程.
解析：(1)因为圆C:x2+y2+6x-91=0的方程可化为：(x+3)2+y2=100，所以圆心坐标为C(-3,0)，半径为10；设动圆圆心M的坐标为M(x,y)，半径为r，因为圆C与动圆M内切，所以|CM|=10-r，又因为动圆过点P，所以|PM|=r，因此|CM|+|PM|=10＞6=|CP|，所以动圆圆心M的轨迹为椭圆，其中长轴长为10，焦
距等于6，所以椭圆方程为：
2
x
25
+
2
y
16
=1，即所求轨迹方程.
答案：
2
x
25
+
2
y
16
=1
（2）设动圆圆心P的坐标为P(x,y)，半径为r，
因为动圆P与圆C1外切，所以|C1P|=r+3，
又动圆P与圆C2外切，所以|C2P|=r+1，
因此|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的一支（右支）. 由圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1可知：
C1(-5,0)、C2(5,0)，所以双曲线的实轴长为2，焦距为10，
所以所求轨迹方程为x 2-2y
24
=1(x ≥1). 〖例2〗如图所示，
一动圆与圆2
2
650x y x +++=外切，同时与圆2
2
6910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的轴线。

思路解析：利用两圆的位置关系一相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再从关系分析满足何种关系的定义。

解答：方法一
设动圆圆心为M （x,y ）,半径为R ，设已知圆的加以分别为1O 、2O ， 将圆的方程分别配方得：
，
当动圆与圆1O 相外切时，有|1O M|=R+2…………① 当动圆与圆2O 相内切时，有|2O M|=R+2……………② 将①②两式相加，得|1O M|+|2O M|=12>|1O 2O |，
∴动圆圆心M （x,y ）到点1O （-3，0）和2O （3，0）的距离和是常数12， 所以点M 的轨迹是焦点为点1O （-3，0）、2O （3，0），长轴长等于12的椭圆。

∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6 ∴236927b =-=
∴圆心轨迹方程为
22
13627
x y +=，轨迹为椭圆。

方法二：由方法一可得方程
移项再两边分别平方得：
222(3)12x y x ++=+
两边再平方得：
，整理得22
13627
x y +=
所以圆心轨迹方程为22
13627
x y +=，轨迹为椭圆。

注：（1）平面向量知识融入解析几何是高考命题的一大特点，实际上平面向量的知识在这里只是表面上的现象，解析几何的实质是坐标法，就是用方程的思想研究曲线，用曲线的性质研究方程，轨迹问题正是体现这一思想的重要表现形式，我们只要能把向量所表示的关系转化为坐标的关系，这类问题就不难解决了。

而与解析几何有关的范围问题也是高考常考的重点。

求解参数问题主要是根据条件建立含参数的函数关系式，然后确定参数的值。

（2）回归定义是解圆锥曲线问题十分有效的方法，值得重视。

（3）对于“是否存在型”探索性问题的求解，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在。

（三）用相关点法（代入法）求轨迹方程 ※相关链接※
1．动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P （x,y ）却随另一动点(,)Q x y ''的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将x y ''、表示x 、y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。

2．用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式：(,),(,)x f x y y g x y ''==，然后代入已知曲线。

而求对称曲线（轴对称、中心对称）方程实质上也是用代入法（相关点法）解题。

注：用代入法求轨迹方程是将x ′、y ′表示成x 、y 的式子，同时注意x ′、y ′的限制条件.
※例题解析※
〖例〗已知A （-1，0），B （1，4），在平面上动点Q 满足4QA QB =u u u r u u u r g ，点P 是点Q 关于直线y=2(x-4)
的对称点，求动点P 的轨迹方程。

思路解析：由已知易得动点Q 的轨迹方程，然后找出P 点与Q 点的坐标关系，代入即可。

解答：
设Q （x,y ），则(1,),(1,4),QA x y QB x y =-----u u u r u u u r
故由4QA QB =u u u r u u u r g ⇒(1)(1)()(4)4x x y y ---+--=，即222(2)3x y +-=
所以点Q 的轨迹是以C （0，2）为圆心，以3为半径的圆。

∵点P 是点Q 关于直线y=2(x-4)的对称点。

∴动点P 的轨迹是一个以000(,)C x y 为圆心，半径为3的圆，其中000(,)C x y 是点C （0，2）关于直线y=2(x-4) 的对称点，即直线y=2(x-4)过0CC 的中点，且与0CC 垂直，于是有
00002
210
202(4)22
y x y x -⎧⨯=-⎪-⎪⎨
++⎪=-⎪⎩， 解得：00
82x y =⎧⎨=⎩
故动点P 的轨迹方程为2
2
(8)(2)9x y -++=。

（四）用参数法求轨迹方程
〖例〗设椭圆方程为14
2
2
=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足),(2
1
OB OA OP +=
点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：
（1）动点P 的轨迹方程； （2）NP 的最小值与最大值。

解析：（1）直线l 过点)1,0(M ，当斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为,1+=kx y 记
),,(),(2211y x B y x A 、由题设可得点A 、B 的坐标),,(),(2211y x y x 、是方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=.14,
122y x kx y 的解，消去y 得
,032)4(2
2=-++kx x k ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=++-=+∴2212214842k y y k k x x 于是 )44
,4()2,2()(212
22121k k k y y x x OB OA OP ++-=++=+=
， 设点P 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+-=.44,422k y k
k x
消去参数k 得042
2
=-+y y x ①
当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程①，
所以点P 的轨迹方程为0422=-+y y x 。

（2）由点P 的轨迹方程知,1612≤
x 即,4
141≤≤-x
,12
7
)61(3441)2
1
()2
1()21
(22222++-=-+-=-+-x x x y x 故
当41=
x 4
1；
当6
1
-
=x 621。

必记内容: 高中数学三角函数公式汇总
一、任意角的三角函数
在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r
x
=αcos 正切：x
y
=αtan 余切：y x =αcot
正割：x
r
=
αsec 余割：y
r =
αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．
线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。

商数关系：αααcos sin tan =
，α
α
αsin cos cot =。

平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式
⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．
锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名不变，符号看象限）
⑵
απ
+2
、
απ
-2
、
απ+23、απ-2
3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．
锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+
βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+
β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=
-
五、二倍角公式
αααcos sin 22sin =
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*
α
α
α2
tan 1tan 22tan -=
二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）
αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-
六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）
ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α
α
α2
tan 1tan 22tan -=。

万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．
来表示。

七、和差化积公式
2cos 2
sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+ …⑴ 2sin
2
cos
2sin sin β
αβ
αβα-+=- …⑵ 2
cos
2
cos
2cos cos β
αβ
αβα-+=+ …⑶
2
sin
2
sin
2cos cos β
αβ
αβα-+-=- …⑷
了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：
2sin 2cos 2cos 2sin
22sin sin βαβαβαβαβαβαα-++-+=⎪⎭⎫
⎝⎛-++= 2sin 2cos 2cos 2sin
22sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=⎪⎭⎫
⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。

2sin 2sin 2cos 2cos
22cos cos βαβαβαβαβαβαα-+--+=⎪⎭⎫
⎝⎛-++= 2sin 2sin 2cos 2cos 22cos cos βαβαβαβαβαβαβ-++-+=⎪
⎭⎫
⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。

八、积化和差公式
[])sin()sin(2
1
cos sin βαβαβα-++=⋅ [])sin()sin(2
1
sin cos βαβαβα--+=
⋅ [])cos()cos(2
1
cos cos βαβαβα-++=
⋅ [])cos()cos(2
1
sin sin βαβαβα--+-
=⋅ 我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

九、辅助角公式
)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （）
其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，
2
2sin b a b +=
ϕ，2
2cos b a a +=
ϕ，a
b =
ϕtan 。

十、正弦定理
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB
C ∆外接圆半径） 十一、余弦定理
A bc c b a cos 2222⋅-+=
B ac c a b cos 2222⋅-+=
C ab b a c cos 2222⋅-+=
十二、三角形的面积公式 高底⨯⨯=∆2
1ABC S
B ca A bc
C ab S ABC sin 2
1sin 21sin 21===∆（两边一夹角）
R
abc
S ABC 4=
∆（R 为ABC ∆外接圆半径） r c
b a S ABC ⋅++=
∆2
（r 为ABC ∆内切圆半径） ))()((c p b p a p p S ABC ---=∆…海仑公式（其中2
c
b a p ++=
）
十三诱导公式。