2020届高考数学下学期第二次适应性考试试题理

2020届高考数学下学期第二次适应性考试试题
理
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

选择题（每题5分，共60分）
1. 已知全集，，，则
A． B. C．D．（0,1）2. 已知是虚数单位，则
A．1 B．C．2 D．
3. 某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿
灯时间为40秒，假设你在
任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是
A．B C. D．
4. 等比数列的各项均为正数，且，，则
A．B． C. 20 D. 40
5. 已知正方形的边长为6，在边上且，为
的中点，
则
A．-6 B．12 C.6 D．-12
6. 在如图所示的程序框图中，若函数则输出的结果是
A．16 B．8 C. D．
（6题图）（7题图）
7. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即
底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分
的三视图如图所示，则剩下部分的体积是
A．50 B．75 C.25.5 D．37.5 8. 已知函数为奇函数，，是其
图像上两点，若的最小值是1，则
A．2 B． -2 C. D．
9. 已知点P（1,2）在抛物线E：上，过点M（1，0）的直线交抛物
线E于A、B两点，若，则直线的倾斜角的正弦值为A．B． C. D．
10. 已知函数，其中.若函数的最大值
记为，则的最小值为
A． B．1 C. D．
11. 三棱锥中，，，互相垂直，，是线
段上
一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥
的外接球表面积是
A．B． C. D．
12.中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根
同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数1-9 的一种方法。

例如:3 可表示为
“≡”,26可表示为“=⊥”，现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可
以用1-9这9个数字表示两位数中,能被3整除的概率是
A. B. C.
D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若实数满足，则的最小值是．
14.过定点的直线：与圆：相切于点，
则．
15.已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中
的系数
为．（用数字作答）
16.设公差不为0的等差数列的前项和为，若，，
成等比数列，且
，则的值是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，，，分别是内角，，的对边，且
.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积.
18. 共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2020年该市共享单车
用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.
若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及
以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常
使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在
“经常使用单车用户”中有是“年轻人”.
（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方
法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，
并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年
龄有关？
使用共享单车情况与年龄列联表
（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享
单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布列与期望.（参考数据：
独立性检验界值表
0.15
2.072
其中，，）
19. 已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如图，其中
，，
，点是线段的中点.
（1）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证
明平面，并求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角的正弦值.
20.已知点，点是圆：上任意一点，线段
的垂直平
分线交于点，点的轨迹记为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过的直线交曲线于不同的，两点,交轴于点，已知，
，求的值.
21. 函数，.
（1）若在点处的切线与直线平行，求的
值；
（2）若，设，试证明存在唯一零点，并
求的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是
（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）分别写出的极坐标方程和的直角坐标方程；
（2）若射线的极坐标方程，且分别交曲线、于、两
点，求.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
（1）时，解不等式；
（2）若对任意都有，使得成立，求实数的取值范围.
2020届高考数学下学期第二次适应性考试试题
理
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

选择题（每题5分，共60分）
1. 已知全集，，，则
A． B. C．D．（0,1）
2. 已知是虚数单位，则
A．1 B．C．2 D．
3. 某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是
A．B C. D．
4. 等比数列的各项均为正数，且，，则
A．B． C. 20 D. 40
5. 已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，
则
A．-6 B．12 C.6 D．-12
6. 在如图所示的程序框图中，若函数则输出的结果是
A．16 B．8 C. D．
（6题图）（7题图）
7. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即
底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分
的三视图如图所示，则剩下部分的体积是
A．50 B．75 C.25.5 D．37.5
8. 已知函数为奇函数，，是其
图像上两点，若的最小值是1，则
A．2 B． -2 C. D．
9. 已知点P（1,2）在抛物线E：上，过点M（1，0）的直线交抛物线E于A、B两点，若，则直线的倾斜角的正弦值为
A．B． C. D．
10. 已知函数，其中.若函数的最大值
记为，则的最小值为
A． B．1 C. D．
11. 三棱锥中，，，互相垂直，，是线段上
一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥
的外接球表面积是
A．B． C. D．
12.中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数1-9 的一种方法。

例如:3 可表示为
“≡”,26可表示为“=⊥”，现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可
以用1-9这9个数字表示两位数中,能被3整除的概率是
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若实数满足，则的最小值是．
14.过定点的直线：与圆：相切于点，
则．
15.已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为．（用数字作答）
16.设公差不为0的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，且
，则的值是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，，，分别是内角，，的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积.
18. 共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.
若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及
以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常
使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在
“经常使用单车用户”中有是“年轻人”.
（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方
法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，
并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年
龄有关？
使用共享单车情况与年龄列联表
（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布列与期望.
（参考数据：
独立性检验界值表
0.15
2.072
其中，，）
19. 已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如图，其中，，
，点是线段的中点.
（1）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证
明平面，并求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角的正弦值.
20.已知点，点是圆：上任意一点，线段的垂直平
分线交于点，点的轨迹记为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过的直线交曲线于不同的，两点,交轴于点，已知，，求的值.
21. 函数，.
（1）若在点处的切线与直线平行，求的值；
（2）若，设，试证明存在唯一零点，并
求的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）分别写出的极坐标方程和的直角坐标方程；
（2）若射线的极坐标方程，且分别交曲线、于、两点，求.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
（1）时，解不等式；
（2）若对任意都有，使得成立，求实数的取值范围.。