天津市滨海区2022年九年级上学期《数学》月考试题与参考答案

天津市滨海新区2022年九年级上学期《数学》月考试卷与参考答案
一、选择题
本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. tan45°的值等于（ ）
A. B. C. D. 1
答案：D
答案解析：tan45°＝1．故选D ．
2. 下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为(
)
A. B.
C. D.
答案：B
答案解析：A 是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误.
B 是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项正确.
C 是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误
.1
2
D 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误.
故选B
3. 下列说法中错误的是（
）A. 切线与圆有唯一的公共点
B. 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
C. 垂直于切线的直线必经过切点
D. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
答案：C
答案解析：A 、B 、D 说法均正确；
C 、垂直于切线的直径必定过切点，但是垂直于切线的直线不一定过切点，故错误；故选：C ．
4. 已知反比例函数图像上有和两点，当时，有，则m 的取值范围是（
）A. B. C. D. 答案：C
答案解析：∵在反比例函数图像上，当时，有，∴函数在二、四象限，且y 随x 增大而增大，∴2m-1<0，
21m y x -=
()11,A x y ()22,B x y 120x x <<12y y <0
m <0m >1
2m <12
m >21m y x
-=120x x <<12y y <
解得：故选：C ．5. 如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，，，那么的度数为（ ）
A. B. C. D. 答案：C
答案解析：由同弧所对的圆周角相等，得∠B=∠C=45°，
在中，∠A=75°，∠B=45°，
∴∠AEB=60°，故选：C ．
6. 某同学画出了如图所示的几何体的三种视图，其中正确的是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D.
②
12
m <
75A ∠=︒45C ∠=︒AEB ∠30°45︒
60︒75︒
ABE V
答案：B
答案解析：根据几何体的摆放位置，主视图和俯视图正确．左视图中间有一条横线，故左视图不正确．
故选：B ．
7. 如图，在△ABC 中，DE∥BC
，，DE=4，则BC 的长是（ ）
A.8
B.10
C.11
D. 12
答案：D
答案解析：∵=，∴=，∵在△ABC 中，DE∥BC，∴==.∵DE=4，
∴BC=3DE=12.
故答案选D.
8. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
12
AD DB AD DB 12AD AB 13
DE BC AD AB 13
200.25
A. B. C. D. 答案：A 答案解析：设袋子中红球有x 个，
根据题意，得： 解得
答：袋子中红球有5个． 故选：A ．
9. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点
D ，如果AC=3，AB=6，那么AD 值为（ ）
A. B. C. 答案：A
答案解析：∵Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D ，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD ：AC ，
∵AC=3，AB=6，∴AD=．故选A ．的5
1012
15
0.25,20
x =5,x =32
9232
10. 二次函数的图像与轴有两个交点，，且，点是图像上一点，则下列判断正确的是（
）A. 当时， B. 当时，C. 当时， D. 当时，答案：C
答案解析：∵a=1＞0，
∴开口向上，
∵抛物线的对称轴为：
x=-，二次函数y=x 2+x+c 的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，
无法确定x 1与x 2的正负情况，
∴当n ＜0时，x 1＜m ＜x 2，但m 的正负无法确定，故A 错误，C 正确；
当n ＞0时，m ＜x 1或m ＞x 2，故B ，D 错误，
故选：C ．
11. 如图，正方形ABCD 中，AB=6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是 ( )
2y x x c =++x ()1,0A x ()2,0B x 12x x <()
P m n ,0n <0
m <0n >2m x >0n <12
x m x <<0n >1m x <112212
b a =-=-⨯
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 2.5
答案：C
答案解析：
连接AE，
∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90°，
由折叠的性质得：Rt△ABG≌Rt△AFG，在△AFE和△ADE中，
∵AE=AE，AD=AF，∠D=∠AFE，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，
∴EF=DE，
设DE=FE=x，则CG=3，EC=6−x.
在直角△ECG中，根据勾股定理，得：(6−x)2+9=(x+3)2，
解得x=2，则DE=2.
12. 如图，抛物线与x 轴正半轴交于A ，B 两点，与y 轴负半轴交于点C ．若
点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m 为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（ ）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
答案：B
答案解析：如图，抛物线开口向下，与y 轴交于负半轴，对称轴在y 轴右侧，
∴a＜0，c ＜0，，
∴b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
如图，∵抛物线过点B （4，0），点A 在x 轴正半轴，
∴对称轴在直线x=2右侧，即，
∴，又a ＜0，
∴4a+b＞0，故②正确；
∵与是抛物线上两点，
，
2y ax bx c =++(4,0)B 0abc >40a b +>()11,M x y ()22,N x y 120x x <<12y y >3x =(3)(3)(3)a m m b m -+-…3AB ≥430b c +>02b
a ->22b
a ->42022
b a b
a a ++=<()11,M x y ()22,N x y 120x x <<
可得：抛物线在上，y 随x 的增大而增大，
在上，y 随x 的增大而减小，
∴不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线x=3，则，即，
则===≤0，
∴，故④正确；
∵AB≥3，则点A 的横坐标大于0且小于等于1，
当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，
当x=4时，16a+4b+c=0，∴a=，则，整理得：4b+5c≥0，
则4b+3c≥-2c，又c ＜0，
-2c ＞0，
∴4b+3c＞0，故⑤正确，
故正确的有4个.故选B.
2y ax bx c =++02b
x a <<-2b
x a >-12y y >32b
a -=6
b a =-(3)(3)(3)
a m m
b m -+--()()()
3363a m m a m -++-()()
336a m m -+-()23a m -(3)(3)(3)a m m b m -+≤-416b c
+-4016b c
b c +++≥-
二、填空题
本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13. 已知点是反比例函数上一点，则这个反比函数的解析式为___________．答案：答案解析：设反比例函数解析式
y=（k≠0），
∵点是反比例函数上一点，
∴，解得：k=2，
∴该反比例函数解析式为：，
故答案为：．
14. 如图，将放置在的正方形网格中，则的值是___________．
答案解析：由图可得：AC=3，OC=2，，
∴，
的(
)2,1P 2
y x
=k
x ()2,1P 1
2k
=2
y
x =2
y x =AOB ∠55⨯cos AOB ∠OA ==cos OC AOB OA ===∠
15. 如图，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，点C 是⊙O 上一点，且∠ACB=65°，则∠P= _____ 度．
答案：50
答案解析：连接OA ，OB ．PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，则∠PAO=∠PBO=90°，
由圆周角定理知，∠AOB=2∠C=130°，∠P=180°﹣∠AOB=50°．
16. 如图，以点O 为位似中心，将放大得到若，则与的面积之比为___________．
答案：ABC V ,DEF V 2OE OB ABC V DEF V 14
答案解析：由题，根据位似图形的性质可得：，且放大得到，∴△ABC∽△DEF，相似比为，根据相似图形面积比等于相似比的平方，∴，故答案为：．17. 如图，矩形ABCD 中，E
是AB 上一点，连接DE ，将△ADE 沿DE 翻折，恰好使点A 落在BC 边的中点F 处，在DF 上取点O ，以O 为圆心，OF 长为半径作半圆与CD 相切于点G ．若AD=4，则图中阴影部分的面积为_____．
答案解析：连接OG ，QG ，
∵将△ADE 沿DE 翻折，恰好使点A 落在BC 边的中点F 处，
12
OB BC OE EF ==ABC V DEF V 121=4ABC DEF S S V V ：14
∴AD=DF=4，BF=CF=2，
∵矩形ABCD 中，∠DCF=90°，
∴∠FDC=30°，
∴∠DFC=60°，
∵⊙O 与CD 相切于点G ，
∴OG⊥CD，
∵BC⊥CD，
∴OG∥BC，
∴△DOG∽△DFC，∴，
设OG=OF=x ，则，
解得：，即⊙O 的半径是．
连接OQ ，作OH⊥FQ ，
∵∠DFC=60°，OF=OQ ，
∴△OFQ 为等边三角形；同理△OGQ 为等边三角形；
∴∠GOQ=∠FOQ=60°，∴QH= FH=，
∴CQ=FC- QH- FH ，DO OG DF FC =442x
x
-=4
3x =4
31
2
23FQ =22
2
2333=--=
∵四边形OHCG 矩形，
，∴S 阴影=S △CGQ =
18. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均落在格点上.(Ⅰ)的面积等于____；
(Ⅱ)点
为边取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段，并简要说明点的位置是如何找到的(不要求证明)______.
答案：(1). 5
(2). 取格点D ，连接AD ，使AD⊥BC，取格点
E 、
F ，连接EF ，使
EF⊥AB，交AD 于A′，交AB 于H ，交BC 于
P ，点P 即为所求.
，=5，
∴BC 2=AB 2+AC 2，
∴△ABC 是直角三角形，
为112223CQ CG ⨯⨯=⨯=ABC ∆A B C ABC ∆P BC BP +AP P
∴三角形ABC 的面积为：
，
故答案为5
（Ⅱ）设点A 关于BC 的对称点为A′，
∴AA′=2×=4，
取格点D ，连接AD ，则AD⊥BC，AD=BC=5，
取格点E
、F ，连接EF ，交
AD 于A′，交AB 于H ，交
BC 于P ，
∵△AFA′∽△DEA′，
∴∴AA′=4，即A′为点
A 关于BC 的对称点，
由网格特点得EF⊥AB，
BP)AP+BP 的值最小，
∵sin∠ABC==
，
∵AP=A′P，
A′P+PH=A′H，为
BP 的最小值，
所以点P 即为所求.
1
2AB AC
BC ⋅'
'1
4
DA DE AA AF ==AC
BC PH
PB
故答案为取格点D ，连接AD ，使AD⊥BC，取格点E 、F ，连接EF ，使EF⊥AB，交AD 于A′，交AB 于H ，交BC 于P ，点P 即为所求.
三、解答题
本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19. 已知抛物线经过三点，，，求
（Ⅰ）抛物线的解析式
（Ⅱ）当自变量x 在时，求y 的取值范围
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）答案解析：（Ⅰ）∵抛物线经过，，
∴设抛物线解析式为：，
将代入得：，
解得：，
即：(1,0)A -(3,0)B (0,3)C -30x -≤≤223y x x =--312
x -≤≤(1,0)A -(3,0)B ()()31y a x x =-+()0,3C -33a -=-1a =()()23123
y x x x x =-+=--
∴抛物线的解析式为：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
∴时，y 随x 的增大而减小，时，y 随x 的增大而增大，
∴当自变量x 在时，最小值为x=0时的函数值，最大值为x=-3对应的函数值，即：x=0时，y=-3，x=-3时，y=12，
∴y 的取值范围为．
20. 已知反比例函数
（k 为常数，）．（Ⅰ）若点在这个函数的图象上，求k 的值；
（Ⅱ）若在这个函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；
（Ⅲ）如图，若反比例函数的图象经过点A ，轴于B ，且的面积为6，求k 的值；答案：（1）；（2）；（3）答案解析：（1）∵点在这个函数的图象上，
∴，
∴；
223y x x =--1x =1x <1x >30x -≤≤312x -≤≤1k y x
-=1k ≠()1,2A 1(0)k y x x
-=
<AB x ⊥AOB V 3k =1k >11
k =-()1,2A 112k -=⨯3k =
（2）∵在这个函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，
∴，
∴；
（3）由题根据反比函数k 的几何意义，可知：
，∴，解得：或，又∵反比例函数图象经过第二象限，
∴，即：，
∴．
21. 如图，四边形OABC 是平行四边形，以点O 为圆心，OC 为半径的⊙O 与AB 相切于点B ，与AO 相交于点D ，AO 的延长线交⊙O 于点E ，连接EB 交OC 于点F ．求和的度数．
答案：∠C＝45°；∠E＝22.5°．
答案解析：连接OB ，如图，
10k ->1k >1=2
AOB k S -V 162
k -=13k =11k =-10k -<1k <11k =-C ∠E ∠
∵⊙O 与AB 相切于点B ，
∴OB⊥AB，
∵四边形ABCO 为平行四边形，
∴AB//OC，OA//BC ，
∴OB⊥OC，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝OC ，
∴△OCB 为等腰直角三角形，
∴∠C＝∠OBC＝45°，
∵AO//BC，
∴∠AOB＝∠OBC＝45°，
∴∠E＝∠AOB＝22.5°．22. 如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°． 已知原传送带AB 长为
米．求新传送带AC 的长度．
答案：8米．
12
答案解析：在Rt△ABD中，
=4．
在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，
∴AC=2AD=8．
答：新传送带AC的长度约为8米．
23. 如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC 上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F.
（1）若点F与B重合，求CE的长；
（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长.
答案：（1）3；（2）5.
试题解析：（1）当F和B重合时，如图，
∵EF⊥DE，
∵DE⊥BC，
∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD=EF=9，
∴CE=BC-EF=12-9=3；
（2）过D作DM⊥BC于M，
∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∴DM∥AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABMD是矩形，
∴AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12-9=3，
设AF=CE=a，则BF=7-a，EM=a-3，BE=12-a，∵∠FEC=∠B=∠DMB=90°，
∴∠FEB+∠DEM=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∴∠BFE=∠DEM，
∵∠B=∠DME，
∴△FBE∽△EMD，
∴，∴，a=5，a=17，
∵点F 在线段AB 上，AB=7，
∴AF=CE=17（舍去），
即CE=5
．
24. 如图，在平面直角坐标系中，，点P 为内任一点，连接PO ．PA ．PB ，将绕着点A
顺时针旋转60°得到，连接．
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）当与满足什么条件时，的值最小，并求出此最小值；（Ⅲ）试直接写出（Ⅱ）中的点P 坐标．
答案：（1）；（2）当时，的值最小，
；（3）答案解析：（1
），BF BE EM DM
=71237a a a --
=-A ()0,1B OAB V ABP △AB P ''△PP 'B ′OPA V APB △PO PA PB ++)
2B '120OPA APB AP B ''∠=∠=∠=︒PO PA PB ++27P ⎫⎪⎪⎭
)
(),0,1A B 2,30AB BAO ∴=∠=︒
将绕着点顺时针旋转得到，
∴，，
；
（2）如图，
由旋转可得：等边三角形，
，
当四点共线时，的值最小，
即时，的值最小，
此时，；
（3）如图，将（2）中的△OPB 绕着点O 逆时针旋转60°得到△OB″P″，
则∠BOB″=60°，OB″=OB=1，
∴点的坐标为，
由（2）可知A 、 P 、P″、B″四点共线，
∴点P 为与
AB″的交点，
是 ABP △A 60︒AB P ''△AB OA '⊥2AB '
=)2B '∴APP 'V ,PP PA P B PB '''∴==PO PA PB PO PP P B '''
∴++=++∴O P P B ''、、、PO PA PB ++120OPA APB AP B ''∠=∠=∠=︒PO PA PB ++
PA PO PB OB '++===B '
'21
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭OB '
根据A 、 B″两点的坐标可得直线AB″的解析式为，根据的坐标可得直线的解析式为，联立方程组，解得．25. 综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线y
＝x 2+bx+c 经过点A （﹣4，0），点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，且OA ＝OB ，直线AB 与抛物线在第一象限交于点C （2，6），如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB 的函数解析式为 ，点M 的坐标为 ，cos∠ABO＝ ；连接OC ，若过点O 的直线交线段AC 于点P ，将△AOC 的面积分成1：2的两部分，则点P 的坐标为 ；
13y x =+B 'OB 'y x =
27P ⎫⎪⎪⎭
12
（3）在y 轴上找一点Q ，使得△AMQ 的周长最小．具体作法如图②，作点A 关于y 轴的对称点A'，连接MA'交y 轴于点Q ，连接AM 、AQ ，此时△AMQ 的周长最小．请求出点Q 的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N ，使以点A 、O 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)y ＝x 2+2x ；(2)y ＝
x+4，M(-2，-2）；(-2，2)或(0，4)；(3)点Q(0，-)；(4)存在，点N 的坐标为(6，6)或(-6，-6)或(-2，6)答案解析：(1)将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的解析式为：y ＝x 2+2x ；(2)
点A （﹣4，0），OB ＝OA ＝4，故点B （0，4），
由点A 、B 的坐标得，直线AB 的表达式为：y ＝x+4；
则∠ABO＝45°，故；对于y ＝x 2+2x ，函数的对称轴为x ＝-2，故点M(-2-2)；OP 将△AOC 的面积分成1：2的两部分，则AP ＝AC 或AC ，，则或，即或，解得：y P ＝2或4，故点P(-2，2)或(0，4)，
1243
11640214262
⎧⨯-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩b c b c 20b c =⎧⎨=⎩12
12
1323
13=P C
y y 23163=P y 23
故答案为：y ＝x+4；(-2-2)
；(-2，2)或(0，4)；(3)△AMQ 的周长＝AM+AQ+MQ ＝AM+A′M 最小，
点A′（4，0），
设直线A′M 的表达式为：y ＝kx+b ，则，解得，故直线A′M 的表达式为：，令x ＝0，则y ＝，故点Q （0，）；(4)存在，理由如下：
设点N （m ，n ），而点A 、C 、O 的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），
①当AC 是边时，
点A 向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C ，同样点O （N ）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N （O ），
即0 ± 6＝m ，0 ± 6＝n ，解得：m ＝n ＝±6，
故点N(6，6)或(-6，-6)；
②当AC 是对角线时，
由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，
解得：m ＝-2，n ＝6，故点N(-2，6）；
综上，点N 的坐标为(6，6)或(-6，-6)或(-2，6)．
4022+=⎧⎨-+=-⎩k b k b 1343⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
k b 1433
y x =-43-43
-。