山西康杰中学18-19学度高二上第二次抽考-数学(理)

山西康杰中学18-19学度高二上第二次抽考-数学（理）
高二数学试题〔理〕
2018.12
(考试时间120分钟 总分值150分)
【一】选择题：(此题共12小题，每题5分，共计60分)
A.不存在01,23≤+-∈x x R x
B.存在01,23≥+-∈x x R x
C.存在01,23>+-∈x x R x
D.对任意的01,23>+-∈x x R x
2.M(-2,0),N(2,0)，|PM|-|PN|=4，那么动点P 的轨迹是〔〕
A.一条射线
B.双曲线
C.双曲线左支
D.双曲线右支 3.假设命题p q ∧为假,且p ⌝为假,那么〔〕 A.p q ∨为假B.q 假
C.q 真
D.不能判断q 的真假
4.以下有关命题的说法正确的选项是〔〕
A 、命题“假设21x =，那么1=x ”的否命题为：“假设21x =，那么1x ≠”、
B 、“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件、
C 、命题“假设x y =，那么sin sin x y =”的逆否命题为真命题、
D 、命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”、 5.“0AB >”是“方程221Ax By +=表示椭圆”的〔〕 A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件 C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件
6.椭圆短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，那么那个椭圆的离心率是〔〕 A.2
1B 、
22C 、3
6 D 、33
7.双曲线
112
42
2=-y x 上的点P 到左焦点的距离是6，如此的点有〔〕 A.3个 B .4个 C.2个
D.1个
8.椭圆
12
102
2=-+-m y m x 的长轴在y 轴上，且焦距为4，那么m 等于〔〕 A.4 B.5
C.7
D.8
9.与曲线
1492422=+y x 共焦点，而与曲线164
362
2=-y x 共渐近线的双曲线方程为〔〕
A 、19162
2=-x y B 、191622=-y x C 、116922=-x y D 、116
92
2=-y x 10.假设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的1
4
，那
么该双曲线的渐近线方程是〔〕.
A 、20x y ±=
B 、20x y ±=
C 、0x ±=
D 0y ±=
11.假设直线4=+ny mx 与⊙O :x 2
+y 2
=4没有交点，那么过点(,)P m n 的直线与椭圆
22
194
x y +=的交点个数是〔〕 A 、至多为1
B 、2
C 、1
D 、0
12.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，假设过F 且倾斜角为4
π
的直线与双曲线的右
支有两个交点，那么此双曲线离心率的取值范围是〔〕
A 、(1,2)
B 、[2,)+∞
C 、
D 、)+∞
【二】填空题：
13.双曲线C 的一条渐近线方程为02=-y x ,那么该双曲线的离心率e=_______
14、设21,F F 是双曲线14
22
=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线上，且021=⋅PF PF ,那么
=+、
15.设椭圆12622
=+y x 与双曲线13
22=-y x 有公共焦点为2
1,F F ，P 是两条曲线的一个公共点，那么2
1
cos PF F ∠的值等于、.
16.点P 〔x,y 〕是曲线2
12
x y -=上一动点，那么x y z 2-=的范围为、
【三】解答题：
17.〔本小题10分〕
0208:2>--x x p ，012:22>-+-a x x q ，假设p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，
求：正实数a 的取值范围.
18.(本小题12分)设双曲线C 的焦点在y 轴上，离心率为2，其一个顶点的坐标是〔0,1〕.
〔Ⅰ〕求双曲线C 的标准方程；
〔Ⅱ〕假设直线l 与该双曲线交于A 、B 两点，且A 、B 的中点为〔2,3〕，求直线l 的
方程
.
A
B
C
D
E
F
P
19.(本小题12分)
命题p ：方程
11
22
2=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆； 命题q ：双曲线152
2=-m
x y 的离心率)2,1(∈e ，假设p 、q 有且只有一个为真， 求m 的取值范围.
20.(本小题12分)如图，x DP ⊥轴，点M 在DP
的延长线上，
，
2
3
=DP DM
当点P 在圆42
2
=+y x 上运动时，
〔1〕求：动点M 的轨迹的方程； 〔2〕假设B(-2，0),C(1，0),A 是曲线
上的
一个动点，求：AB AC ⋅的取值范围、
21.〔本小题12分〕如图，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，
AP=AB=2,BC=,E,F 分别是AD,PC 的中点.建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题： 〔Ⅰ〕证明：PC ⊥平面BEF ；
〔Ⅱ〕求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小. 22.〔本小题12分〕
设m R ∈,在平面直角坐标系中,向量
(,1)a mx y =+,向量(,1)b x y =-,a b ⊥,动点
(,)M x y 的轨迹为E.
〔1〕求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;. 〔2〕
4
1=
m ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥(O 为坐标原点),并求出该圆的方程;
高二理科数学答案
一、 选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C
A
B C B C A D A C B C
【二】填空题： 13、
52或514、2515、3
1
16、]26,(),26[
--∞⋃+∞ 【三】解答题
17.解：∵p ⌝
是q ⌝的必要不充分条件 ∴p 是q 充分不必要条件……………………………2分
O
x
D
P
M y
（20题图）
由21002082
-<>>--x x x x 或得，
由a x a x a a x x -<+>>>-+-11,0,0122
2或得　
……………………………6分 ∵不能同时成立与21101-=-=+a a
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≥-≤+02110
1a a a ∴30≤<a …….…………10分 18.解：〔1〕由得2,
1==a
c
a 又2
22b a c +=∴1,2,1===b c a
∴双曲线C 的标准方程为12
2
=-x y ……………………………4分 〔2〕设A 、B 两点的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ，
那么⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-64②1①121212
2222121y y x x x y x y 由①-②得：0)(4)(62121=---x x y y
∴3
22121=--x x y y ∴直线l 的方程为0532=+-y x …………….……12分
19解：将方程
11222=--m y m x 改写为1122
2=-+m
y m x ， 只有当,021>>-m m 即3
1
0<<m 时，方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆， 因此命题p 等价于3
1
0<
<m ；…………………………………………5分 因为双曲线152
2=-m
x y 的离心率)2,1(∈e ， 因此0>m ，且145
5<+<
m
，解得150<<m ，………………………………8分
因此命题q 等价于150<<m ；……………………………………………10分 假设p 真q 假，那么∅∈m ；假设p 假q 真，那么
153
1
<≤m 综上：m 的取值范围为
153
1
<≤m …………………………………………………12分 20.解：(1)设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ，
那么23,00y y x x =
=即3
2,00y
y x x ==①……………………………2分 ∵P ),(00y x 在圆上
∴42
02
0=+y x ②
将①代入②得)2(1942
2±≠=+x y x ∴动点M 的轨迹方程为)2(19
42
2±≠=+x y x ………….………6分 (2)设点A 的坐标为),(y x
∴
……………………………8分
∵点A 在椭圆)2(19
42
2±≠=+x y x 上 ∴)22(74
52222<<-++-
=+-+=⋅x x x y x x
∴的取值范围为(0,
5
36
]……………………………12分 21.解：〔Ⅰ〕如图，以A 为坐标原点，AB,AD,AP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐
标系.
∵2,AP AB BC AD ====ABCD 是矩形. ∴A,B,C,D,P 的坐标为(0,0,0)A ，(2,0,0)B
，(2,C ，
(0,(0,0,2)D P ，又E,F 分别是AD,PC 的中点，
∴(0,2,0),(1,2,1)E F
∴(2,22,2),(1,2,1),(1,0,1)PC BF EF =-=-=, ∴2420,2020,PC BF PC EF =-+-==+-=〔4分〕 ∴,,PC BF PC EF ⊥⊥
又∵,BF EF F ⋂= ∴PC ⊥平面BEF 〔6分〕
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知平面BEF 的法向量1(2,22,2)n PC ==-,
平面BAP
的法向量2n AD ==，∴12n n =8〔10分〕 设平面BEF 与平面BAP 的夹角为θ，
那么121212cos cos ,2||||4n n n n n n θ=<>=
==⨯，
∴45θ=，∴平面BEF 与平面BAP 的夹角为45〔12分〕
22.解:〔1〕因为a b ⊥,(,1)a mx y =+,(,1)b x y =-,
因此
2210a b mx y ⋅=+-=,即221mx y +=..…………………2分
当m=0时,方程表示两直线,方程为1±=y ;
⋅
当1m =时,方程表示的是圆
当0>m 且1≠m 时,方程表示的是椭圆;
当0<m 时,方程表示的是双曲线.……………………………4分 (2).当
41=m 时,轨迹E 的方程为22
1
4x y +=,设圆心在原点的圆的一条切线为y kx t =+,解方程组
22
14
y kx t x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得224()4x kx t ++=,即222(14)8440k x ktx t +++-=, ……………………………6分
要使切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,
那么使△=2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+>, 即22410k t -+>,即2241t k <+,且
1222
12
281444
14kt x x k t x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
2222222
2
2
12121212222
(44)84()()()141414k t k t t k y y kx t kx t k x x kt x x t t k k k --=++=+++=-+=
+++, 要使OA OB ⊥,需使1212
0x x y y +=,即22222222
44
4544
0141414t t k t k k k k
----+==+++, 因此225440t k --=,即22544t k =+且2241t k <+,即2244205k k +<+恒成立. ……………………………8分
因此又因为直线y kx t =+为圆心在原点的圆的一条切线,
因此圆的半径为
r =
22
2224(1)45115
k t r k k +===++,所求的圆为2245x y +=. 当切线的斜率不存在时,切线为
552±=x ,与22
1
4
x y +=交于点)552,552(±或)55
2
,552(±-
也满足OA OB ⊥.
综上,存在圆心在原点的圆
2
2
45
x y +=
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点
A,B,且OA OB ⊥.……….………12分。