黑龙江省鸡西市第十九中学高中数学必修四：2平面向量正交分解 教案

鸡西市第十九中学教案
课题： 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示模式
与方
法
自学指导讲练结合
教学目的1.复习及应用平面向量基本定理.
2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.
3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.
重点平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.
难点平面向量基本定理的运用.
教学内容师生活动及时间分配
复习引入
新课引入1、平面向量基本定理内容小本写出大致内容？
2、平面中的任意两个向量之间存在夹角问题？
在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实
数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个
向量,如何表示呢?
1.在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一
一对应的？
教师引导学生复习
（小本考）
限时看书5~
回答师的问题
图1
活动:如图1,在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、
y 轴方向相同的两个单位向量ｉ、j 作为基底.对于平面内的一个向量a ,由平面向量基本定理可知,有
且只有一对实数x 、y,使得a =x ｉ+y j ①
这样,平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作 a =(x,y) ②
其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j =(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:
(1)向量a 与有序实数对(x,y)一一对应.
(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关
系.如图所示,11B A 是表示a 的有向线段,A 1、B 1的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则向量a 的坐标为x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1). (3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了,即点A 的坐标就是向量a 的坐标,流程表示如下:
师导学生讨论结果:①平
面内的任一向量a 都可由
x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐
标,记作a =(x,y). ②是一一对应的.
例题
讲解
例1 如图4,ABCD,AB=a,AD=b,H、M是AD、
DC之中点,F使BF=
3
1
BC,以a,b为基底分解向量
HF
AM和.
图4
解:由H、M、F所在位置,有
+
=
+
=AD
DM
AD
AM
a
b
AB
AD
DC
2
1
2
1
2
1
+
=
+
=AB
2
1
=b+
2
1
a
.
AD
AD
AB
AD
BC
AH
BF
AB
AH
AF
HF
2
1
3
1
2
1
3
1
-
+
=
-
+
-
+
=
-
=
=a
6
1
-b.
点评:以a、b为基底分解向量AM与HF,实为用
a与b表示向量AM与HF.
例题变式训练
图5
已知向量e1、e2(如图5),求作向量-2.5e1+3e2.
作法:(1)如图,任取一点O,作
OA=-2.5e1,OB=3e2.
教师引导学生利用平面向
量基本定理进行分解,让学
生自己动手、动脑.教师可以
让学生到黑板上板书步骤,
并对书写认真且正确的同
学提出表扬,对不能写出完
整解题过程的同学给予提
示和鼓励.
(2)作OACB.
故OC OC就是求作的向量.
例2 如图6,分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.
1.已知G为△ABC的重心,设AB=a,AC=b,试用
a、b表示向量AG.
2.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等,其中A(1,2),B(3,2),求x. 本例要求用基底i、j表示a、
b、c、d,其关键是把a、b、
c、d表示为基底i、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在x轴、y轴上的分向量的大小.把向量a用i、j表示出来,进而得到向量a的坐标.另一种方法是把向量a移到坐标原点,则向量a 终点的坐标就是向量a的坐标.同样的方法,可以得到向量b、c、d的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之
课堂检测
课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的
基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的
正交分解,平面向量的坐标表示.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待
定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.
作业
课本习题2.3 A组1.
间位置的几何关系:a与b关
于y轴对称,a与c关于坐标
原点中心对称,a与d关于x
轴对称等.由一个向量的坐
标推导出其他三个向量的
坐标.
学生独立完成8~。