概率论与数理统计1.5(课时四)

练习：P43 3
三、全概率公式与贝叶斯公式
样本空间的划分
A2
A1
An
{ Ai }是一列有限或可数 个两两互不相容的非零 概率事件，且 Ai .
i
A3

A2
A3
A1
B
P ( B ) P ( Ai B )
i 1
An

P ( Ai ) P ( B | Ai )
i 1
解：Ai “第i个人抽到难签”，i =1,2,3
4 2 (1) P ( A1 ) 10 5
4 3 2 (2) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) 10 9 15
4 12 4 （3）P ( A1 A2 ) P ( A1 )-P ( A1 A2 ) 10 90 15
12 P ( AB ) 100 12 12 100 40 40 100
P ( AB ) P ( B)
A AB
B

2. 定义1.3
设 A, B 是任意两个随机事件, 且 P ( A) 0, P ( AB) 称 P ( B | A) P ( A) 为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1 3
0.4 0.0003 0.25 0.0004 0.35 0.0002 0.00029.
例1.5.10 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的，开箱 检验时，从中任取1件，若检验出是次品，则认为该箱产品不 合格而拒收.假设由于检验有误，一件正品被误检为次品的概 率是0.02，一件次品被漏查误判为正品的概率是0.05，求该箱
------全概率公式
定理1.1 (全概率公式) 设{ Ai }是一列有限或可数无穷个 两两互不相容的非零概率事件，且 Ai , 则对任意事件B, 有 P(B)= P(A i )P(B A i )
i i
证明: P ( B ) P ( B ) P[ B ( Ai )]
P ( A B3 ) P ( B3 ) P ( A3 B ) 30.3% P ( A)
例1.5.13 10个乒乓球中有6个新球，4个旧球， 第一次随机地取出两个球，用毕放回，第二次 又任意取出两个新球的概率有多大？若发现第 二次取到的是两个新球，计算第一次没有取到 新球的概率.
补例 根 据 以 往 的 临 床 记 录 ,某 种 诊 断 癌 症 的 试
练习 某批产品中,甲厂生产的产品占60%,已 知甲厂的产品的次品率为10%,从这批产品中 随意的抽取一件,求该产品是甲厂生产的次品 的概率. 解：记A表示事件“甲厂生产的”， B表示事件“产品是次品”， 则 P(A)=60%, P(B A )=10%. 根据乘法公式，有
P ( AB ) P ( A) P ( B A) 60% 10% 6%.
(2)由贝叶斯公式得: P(A1B) P(A1 ) P(B A1 ) 45% 2% P(A1 B) = = 27.3% P(B) P(B) 3.3%
思考：经检验取到的是废品，问此废品最有可能 来源于哪一个厂？ （乙厂）
P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A2 B ) 42.4% P ( A)
练习：P43 8
考虑完全相反的问题 : 看到一个事件B“ ( 结果”) 发生了，考察导致B发生的原因、情况或途径 A i ( i 1, 2,)发生的概率大小。 即求P ( Ai | B ) ( i 1, 2,)
P ( Ai ) P ( B Ai ) P ( Ai B ) P ( Ai B ) P ( B ) P ( Aj ) P ( B Aj )
A1
A3

（2）使用全概率公式的关键是找出与所求 事件B的发生相联系的完备事件组 A1 , A2 , An
例1.5.4 10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），
按甲先、乙次、丙后的次序，求：乙抽到难签的概率.
例1.5.9 某地为a号病多发区，该地共分为南、北、 中三个行政小区，其人口比为8：5：7，根据统计资 料显示，a号病在该地三个小区内的发病率依次为 0.0003，0.0004，0.0002，求该地区a号病的发病率.
产品通过验收的概率.
解：令B “该箱产品通过验收”，Ai “箱内有i 件次品” , B1 “抽取的一件产品是正品” , 则A0，A1，A2 构成一个完备事件组。B1与B1也构成一个完备事件组。 1 P ( Ai ) , i 0,1, 2 3 9 4 P( B1 | A0 ) 1, P ( B1 | A1 ) , P ( B1 | A2 ) . 10 5
(3) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) 4 3 2 1 10 9 8 30
例1.5.5 一盒中装有大小、形状相同的a个红球，b个黑
球，每次摸出一个球，看过它的颜色后仍放回盒中，并
且加进与这个球颜色相同的球c个.求连续三次都摸到红 球的概率.
i
A2
B
An
A1
A3

P[( B Ai )] P ( B Ai )
i
P(Ai )P(B A i )
i
i
说明 （1）全概率公式的主要用途在于它可以将 一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简 单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性 求出最终结果.
A2
B
An
推广 设 A1 , A2 ,, An 为 n 个事件, n 2,
且 P ( A1 A2 An1 ) 0, 则有
P( A1A 2 A n ) P( A1 )P( A 2 A1 )P( A 3 A1A 2 ) P( A n A1A 2 A n 1 )
例1.5.4 10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回）， 按甲先、乙次、丙后的次序，求： （1）甲抽到难签的概率； （2）甲、乙均抽到难签的概率； （3）甲抽到难签而乙没有抽到难签的概率； （4）甲、乙、丙均抽到难签的概率.
例 设A、B是两个随机事件，且P ( A) P ( B) 0.3， P ( A B) 0.4，求P ( A | B), P ( A B), P ( A | B ).
注： 若P( B) 0，则P ( A | B) P( A | B) 1； 但是P( A | B) P( A | B)=1未必成立.
例 设某批产品中,甲、乙、丙三厂生产的产品分 别占45%、35%、20%，各厂产品的次品率分别 为2%、4%、5%，现从中任取一件。 (1) 求取到的是次品的概率;
(2) 经检验发现取到的产品为次品,求该产品是甲 厂生产的概率.
丙 20% 5% 2%
甲
45%
4% 乙 35%

解:Ai分别表示产品为甲、乙、丙厂生产的， i 1, 2, 3. B表示这一产品为次品。
1 9 4 P( B1 ) P( Ai ) P( B1 | Ai ) (1 ) 0.9. 3 10 5 i 0
2
又由于P( B | B1 ) 0.98, P( B | B1 ) 0.05,
应用全概率公式得： P( B) P ( B1 ) P( B | B1 ) P( B1 ) P( B | B1 ) 0.887.
解：令B “受检者患有a病”，A1 , A2 , A3分 别表示受检者地属南、北、中行政小区。
P( A1 ) 0.4, P( A2 ) 0.25, P( A3 ) 0.35, P( B | A1 ) 0.0003, P( B | A2 ) 0.0004, P(B | A3 ) 0.0002.
1.5 条件概率与全ห้องสมุดไป่ตู้率公式
一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式与贝叶斯公式
一、条件概率
1. 引入
称“已知事件B发生”的条件下，A发生的概率为 在B发生的条件下，A发生的条件概率。记作P( A B)
例1.5.1 全年级100名学生中，有男生60名，女生40名；来 自山东的20人，其中男生8人，女生12人.现在从名册中任 意抽取一位同学，试计算：
注 : (1) P ( B) P ( B | A) , P ( AB) P ( B | A) A
P ( AB) P ( B) 若B A, 则P ( B | A) P ( A) P ( A)
B
3. 性质(条件概率具有概率的一切性质)
(1)规范性 P( A) 1, P( | A) 0 (2) 非负性 : P( B A) 0;
a ac a 2c . a b a b c a b 2c
例1.5.6 设A、B是两个随机事件，且0 P ( A) 1, P ( B | A) P ( B | A).求证：P ( AB) P ( A) P ( B).
例1.5.7 同宿舍三位同学每人制做一件礼物参加元旦舍 友互庆会，他们首先将三件礼物编号，每人抽取一个号 码，按号码领取礼物，求三人都得到别人赠送的礼物的 概率。
对称地,
P ( AB) P ( B) P ( A B) ( P ( B) 0)
-----乘法公式
注 : (1) P ( AB) P ( A) P ( B)
(2)乘法公式给出了一种计算“积事件”概 率的方法
设 A, B, C 为事件, 且 P ( AB) 0, 则有
P( ABC ) P( A) P( B A) P(C AB)
20 （1）抽到的同学来自山东的概率；100 40 （2）抽到的同学是女生的概率；100 12 （3）抽到的同学是来自山东的女生的概率； 100
（4）若发现抽到的是女生，她来自山东的概率. 12 40
A “抽到的同学来自山东” B “抽到的同学是女生”
40 P( B) 100
P ( A B)
j
------贝叶斯公式
注：先验概率与后验概率 Bayes中概率 P( Ai ) 是由以往的数据分析得到的, 叫 做验前概率. 条件概率 P( Ai | B), i 1,2,... 叫做验后概率. 贝叶斯公式又称为后验概率公式和逆概率公式 用它进行判断或推断的方法，称为贝叶斯决策， 例如鉴别废品来源；某种疾病的诊断等等。
则 P ( A1 ) 45%, P ( A2 ) 35%, P ( A3 ) 20%, P ( B A1 ) 2%, P ( B A2 ) 4%, P ( B A3 ) 5%.
(1) 由全概率公式得： P(B) = P(A i )P(B A i )
i=1 3
= 45% 2% + 35% 4% + 20% 5% = 3.3%
4、条件概率的计算方法
(1)公式 (2)直接计算（缩减样本空间法）
例1.5.2 设某家庭有三个孩子，在已知至少有一个女孩的 条件下，求该家庭中至少有一个男孩的概率（假设一个 小孩为男或女是等可能的）.
二、 乘法公式
P ( AB) 由条件概率定义P ( B A) ，立即可得到： P ( A)
P ( AB) P ( A) P ( B A) ( P ( A) 0)
(3) 可列可加性 : 设 B1 , B2 , , 是两两不相容的事 件, 则有
P Bi A P ( Bi A). i 1 i 1
(4) P ( B A) 1 P ( B A).
(5) P( B1 B2 A) P( B1 A) P( B2 A) P(B1B2 A);
解：令Ai “第i次摸到红球”，则
a P ( A1 ) , ab ac P( A2 | A1 ) , abc
a 2c P( A3 | A1 A2 ) , a b 2c
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )