专题18+任意角的三角函数、同角关系式与诱导公式(课件)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习
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【点评】当题设条件中三角函数种类较多时，往 往应用“弦化切或切化弦”技巧.
四、“sin α±cos α”与“sin αcos α”的互 化 1 例4已知在△ABC中，sin A＋cos A＝ . 5 3π π (1)求sin －A· cos ＋A ； 2 2 (2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A的值.
二、同角关系式与诱导公式 例2已知α是第三象限角， 且f(α)＝
3π tan（π－α）cos（2π－α）sin－α＋ 2
cos（－α－π ）tan（－π－α） (1)化简f(α)； 3π 1 (2)若cosα－ ＝ ，求f(α)的值； 2 5 (3)若α＝－1 920°，求f(α)的值.
【点评】应用诱导公式时，注意符号的确定原则 是视 α 为锐角，符号是定形前的三角函数的象限符号.
三、三角函数中“弦与切”的转化 3π 5π 例3 已知cos ＋α ＋sin ＋α ＝0，求下列各 2 2 式的值： 2cos α －3sin α (1) ； 3cos α ＋4sin α (2)1－3sin α cos α ＋3cos2α .
【基础检测】 1.若α是第四象限的角，则下列函数值一定是负 值的是( ) C α α A.sin B.cos 2 2 α C.tan D.cos 2α 2 3π 【解析】∵2kπ＋ <α<2kπ＋2π，k∈Z， 2 3π α α ∴kπ＋ < <kπ＋π，k∈Z，∴ 在第二或第四象 4 2 2 α 限，tan <0一定成立. 2
5 2.已知△ABC中，tan A＝－ ，则cos A＝( 12 12 5 5 12 A. B. C.－ D.－ 13 13 13 13
D
)
5 【解析】在△ABC中，由tan A＝－ <0知，∠A 12 2 2 sin A ＋ cos A 2 为钝角，所以cos A<0，1＋tan A＝ ＝ cos2A 1 169 12 ＝ ，所以cos A＝－ ，故选D. cos2A 144 13
1 α＝－ ， 5 2 6 又α是第三象限角，∴cos α＝－ ， 5 2 6 ∴f(α)＝cos α＝－ . 5 (3)∵α＝－1 920°＝－360° ×5－120° ， ∴cos α＝cos(－1 920° )＝cos(－120° ) 1 ＝cos 120° ＝－ . 2 1 ∴f(α)＝－ . 2
.
【解析】 (1)f(α) ＝
3π tan（π－α）cos（2π－α）sin－α＋ 2
cos（－α－π）tan（－π－α） －tan αcos α（－cos α） ＝ ＝cos α. －cos α（－tan α）
3π 1 (2)∵cosα－ ＝5，∴sin 2
【知识要点】 1．角的概念 (1)角的概念的推广 按逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按顺时针方向 旋转而成的角叫做负角；当一条射线没有作任何旋转时而 成的角叫做零角． (2)象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴正半轴重 合， 角的终边落在第几象限， 就把这个角称作第几象限角． 角的终边落在坐标轴上，称为轴线角，这个角不属于 任何象限．
【点评】由诱导公式得出三角函数的函数值按一 定周期循环出现，如本例中的 f(n)＝f(n＋12)，化繁为 简， 同时也要注意连续 12 个正弦值和为零在解题中的 应用.
【解析】由
3π 5π cos ＋α＋sin ＋α ＝0，得 2 2
sin
α＋cos α＝0，则 tan α＝－1. 2cos α－3sin α 2－3tan α (1) ＝ ＝－5. 3cos α＋4sin α 3＋4tan α (2)1 － 3sin α cos α ＋ 3cos2 α ＝ 1－3sin αcos α＋3cos2α tan2α－3tan α＋4 ＝ ＝4. cos2α＋sin2α tan2α＋1
②因为△AOB 为正三角形，所以∠AOB＝60°， 4 3 sin∠COA＝ ，cos∠COA＝ ， 5 5 所以 cos∠COB＝cos(∠COA＋60°) ＝cos∠COAcos 60°－sin∠COAsin 60° 3 1 4 3 3－4 3 ＝ × － × ＝ . 5 2 5 2 10
【点评】三角函数线是任意角的三角函数的几何 表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三 角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中 表示三角函数值的变化规律.在求三角函数的定义 域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函 数线具有独特的简便性.
4．同角三角函数的基本关系 sin2α＋cos2α＝1 (1)平方关系：____________________ ． sin α tan α ＝ (2)商数关系：_____________________ ． cos α
一、任意角的三角函数、象限符号及三角函数线 例1(1)用单位圆证明角 α 的正弦绝 对值与余弦绝对值之和不小于 1，即 已知 0≤α＜2π ， 求证： |sin α |＋|cos α |≥1. (2)如图，A，B 是单位圆 O 上的 点， 且 B 在第二象限.C 是圆与 x 轴正 3 4 半轴的交点，A 点的坐标为5，5，△AOB 为正三角 形. ①求 sin∠COA； ②求 cos∠COB.
（2n－1）π (2)∵f(2n－1)＝sin ，其周期为 6， 6 1 1 1 1 f(1)· f(3)· …· f(11) ＝ ×1× × －2 ×( － 1)× －2 2 2 14 ＝－2 .从 1 到 101 有 51 个奇数，而 51＝6×8＋3， 148 134 ∴原式＝－2 · f(1)· f(3)· f(5)＝2 .
【点评】对于sin α ＋cos α ，sin α cos α ， sin α －cos α 这三个式子，若已知其中某一个式子 的值，便可利用平方关系“sin2α ＋cos2α ＝1”，并 灵活地运用方程思想，求出另两个式子的值，即(sin α ＋cos α )2＝1＋2sin α cos α ；(sin α－cos α )2＝ 1－2sin α cos α ；(sin α ＋cos α )2＋(sin α －cos α )2＝2.因此，我们把“sin α ＋cos α ”，“sin α cos α ”，“sin α －cos α ”称为三角函数中的 “三剑客”，若出现某一个，则必须挖掘出另两个， 方能顺利地解题.
3．任意角的三角函数
y
x
y x
MP
OM
AT
(2)三角函数的定义域、值域 R y＝sin α ，y＝cos α 的定义域是______________ ， [－1，1] 值域是______________ ． y＝tan α 的定义域是 π α α ∈R且α≠kπ ＋ ，k∈Z R ___________________________ ， 2 值域是_____________ ．
nπ 〔备选题〕 例5 已知函数f(n)＝sin (n∈Z).求 6 值： (1)f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)； (2)f(1)· f(3)· f(5)· …· f(101).
（n＋12）π 【 解 析 】 (1)∵sin ＝ 6 n n sin 6 π＋2π ＝sin π， 6 ∴f(n＋12)＝f(n)， 且 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0，又 102＝ 8×12＋6， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(102) ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6) π 2π 3π 4π 5π ＝ sin ＋ sin ＋ sin ＋ sin ＋ sin 6 6 6 6 6 6π ＋sin 6 1 3 3 1 ＝ ＋ ＋1＋ ＋ ＋0＝2＋ 3. 2 2 2 2
3.已知扇形 AOB 的圆心角∠AOB 为 120°，半径 长为 6，则弓形 AOB 的面积是 12π －9 3 .
120 2 2 【解析】∵120°＝ π＝ π，∴l＝6× π＝ 180 3 3 1 4π，∵S扇形OAB＝ ×4π×6＝12π，S△OAB＝ 2 1 1 · OA· OB· sin 120°＝ ×6×6×sin 120°＝9 3， 2 2 ∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9 3， ∴弓形AOB的面积为12π－9 3.
sin2（α＋π ）· cos（π ＋α）· cos（－α－2π ） 4.化简 3π tan（π ＋α）· sin ＋α· sin （－α－2π ） 2 1 ＝____.
sin2α·（－cos α）· cos α 【解析】原式＝ tan α·cos3α·（－sin α） sin2αcos2α ＝ 2 ＝1. sin αcos2α
(3)终边相同的角 所有与 α 角终边相同的角，连同 α 角在内(而且只 有这样的角)， 可以用式子 k· 360° ＋ α， k∈Z 或 2kπ＋α， k∈Z 表示． 2．弧度制 (1)概念：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 做 1 弧度的角，它的单位符号是 rad，记作弧度． (2)扇形的弧长与面积公式：半径为 r，中心角为 1 1 α(rad)的扇形的弧长为 l＝|α|r；面积为 S＝ lr＝ |α |r2. 2 2 (3)角度制与弧度制的关系 180 π 1° ＝ 弧度，1 弧度＝ π ° . 180
第四章
三角函数、平面向量与复数
1．三角函数
2．平面向量
3．复数
第18讲
任意角的三角函数、同角关系式与诱导公式
【学习目标】 1.了解任意角的概念，弧度制的概念，能进行弧度 与角度的互化. 2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 3.掌握同角三角函数的基本公式并能灵活运用. 4.掌握正弦、余弦的诱导公式，并能灵活运用.
1 【解析】(1)∵sin A＋cos A＝ ，∴(sin A＋cos A)2 5 1 ＝ ， 25 1 12 即 1＋2sin Acos A＝ ，∴sin Acos A＝－ . 25 25 3π π 又 sin －Acos ＋A ＝(－cos A)(－sin A) 2 2 12 ＝sin Acos A＝－ . 25
【解析】(1)作平面直角坐标系 xOy 和单位圆. ①当角 α 的终边落在坐标轴上时，不妨设为 Ox 轴，设它交单位圆于 A 点，如图 1，显然 sin α＝0， cos α＝OA＝1，所以|sin α|＋|cos α|＝1.
②当角 α 的终边不在坐标轴上时，不妨设为 OP， 设它交单位圆于 A 点， 过 A 作 AB⊥x 轴于 B， 如图 2， 则 sin α＝BA，cos α＝OB. 在△OAB 中，|BA|＋|OB|＞|OA|＝1， 所以|sin α|＋|cos α|＞1. 综上所述，|sin α|＋|cos α|≥1. 3 4 (2)①因为 A 点的坐标为5，5， 4 根据三角函数定义可知 sin∠COA＝ . 5
12 (2)∵sin Acos A＝－ <0 且 0<A<π， 25 ∴A 为钝角，故△ABC 为钝角三角形. 24 (3)∵(sin A－cos A) ＝1－2sin Acos A＝1＋ ＝ 25
2
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ， 25
① 又 sin A>0，cos A<0，∴sin A－cos A>0， 7 ∴sin A－cos A＝ ② 5 4 3 ∴由①、②可得 sin A＝ ，cos A＝－ ， 5 5 4 5 sin A 4 ∴tan A＝ ＝ ＝－ . cos A 3 3 － 5
四、“sin α±cos α”与“sin αcos α”的互 化 1 例4已知在△ABC中，sin A＋cos A＝ . 5 3π π (1)求sin －A· cos ＋A ； 2 2 (2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A的值.
二、同角关系式与诱导公式 例2已知α是第三象限角， 且f(α)＝
3π tan（π－α）cos（2π－α）sin－α＋ 2
cos（－α－π ）tan（－π－α） (1)化简f(α)； 3π 1 (2)若cosα－ ＝ ，求f(α)的值； 2 5 (3)若α＝－1 920°，求f(α)的值.
【点评】应用诱导公式时，注意符号的确定原则 是视 α 为锐角，符号是定形前的三角函数的象限符号.
三、三角函数中“弦与切”的转化 3π 5π 例3 已知cos ＋α ＋sin ＋α ＝0，求下列各 2 2 式的值： 2cos α －3sin α (1) ； 3cos α ＋4sin α (2)1－3sin α cos α ＋3cos2α .
【基础检测】 1.若α是第四象限的角，则下列函数值一定是负 值的是( ) C α α A.sin B.cos 2 2 α C.tan D.cos 2α 2 3π 【解析】∵2kπ＋ <α<2kπ＋2π，k∈Z， 2 3π α α ∴kπ＋ < <kπ＋π，k∈Z，∴ 在第二或第四象 4 2 2 α 限，tan <0一定成立. 2
5 2.已知△ABC中，tan A＝－ ，则cos A＝( 12 12 5 5 12 A. B. C.－ D.－ 13 13 13 13
D
)
5 【解析】在△ABC中，由tan A＝－ <0知，∠A 12 2 2 sin A ＋ cos A 2 为钝角，所以cos A<0，1＋tan A＝ ＝ cos2A 1 169 12 ＝ ，所以cos A＝－ ，故选D. cos2A 144 13
1 α＝－ ， 5 2 6 又α是第三象限角，∴cos α＝－ ， 5 2 6 ∴f(α)＝cos α＝－ . 5 (3)∵α＝－1 920°＝－360° ×5－120° ， ∴cos α＝cos(－1 920° )＝cos(－120° ) 1 ＝cos 120° ＝－ . 2 1 ∴f(α)＝－ . 2
.
【解析】 (1)f(α) ＝
3π tan（π－α）cos（2π－α）sin－α＋ 2
cos（－α－π）tan（－π－α） －tan αcos α（－cos α） ＝ ＝cos α. －cos α（－tan α）
3π 1 (2)∵cosα－ ＝5，∴sin 2
【知识要点】 1．角的概念 (1)角的概念的推广 按逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按顺时针方向 旋转而成的角叫做负角；当一条射线没有作任何旋转时而 成的角叫做零角． (2)象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴正半轴重 合， 角的终边落在第几象限， 就把这个角称作第几象限角． 角的终边落在坐标轴上，称为轴线角，这个角不属于 任何象限．
【点评】由诱导公式得出三角函数的函数值按一 定周期循环出现，如本例中的 f(n)＝f(n＋12)，化繁为 简， 同时也要注意连续 12 个正弦值和为零在解题中的 应用.
【解析】由
3π 5π cos ＋α＋sin ＋α ＝0，得 2 2
sin
α＋cos α＝0，则 tan α＝－1. 2cos α－3sin α 2－3tan α (1) ＝ ＝－5. 3cos α＋4sin α 3＋4tan α (2)1 － 3sin α cos α ＋ 3cos2 α ＝ 1－3sin αcos α＋3cos2α tan2α－3tan α＋4 ＝ ＝4. cos2α＋sin2α tan2α＋1
②因为△AOB 为正三角形，所以∠AOB＝60°， 4 3 sin∠COA＝ ，cos∠COA＝ ， 5 5 所以 cos∠COB＝cos(∠COA＋60°) ＝cos∠COAcos 60°－sin∠COAsin 60° 3 1 4 3 3－4 3 ＝ × － × ＝ . 5 2 5 2 10
【点评】三角函数线是任意角的三角函数的几何 表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三 角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中 表示三角函数值的变化规律.在求三角函数的定义 域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函 数线具有独特的简便性.
4．同角三角函数的基本关系 sin2α＋cos2α＝1 (1)平方关系：____________________ ． sin α tan α ＝ (2)商数关系：_____________________ ． cos α
一、任意角的三角函数、象限符号及三角函数线 例1(1)用单位圆证明角 α 的正弦绝 对值与余弦绝对值之和不小于 1，即 已知 0≤α＜2π ， 求证： |sin α |＋|cos α |≥1. (2)如图，A，B 是单位圆 O 上的 点， 且 B 在第二象限.C 是圆与 x 轴正 3 4 半轴的交点，A 点的坐标为5，5，△AOB 为正三角 形. ①求 sin∠COA； ②求 cos∠COB.
（2n－1）π (2)∵f(2n－1)＝sin ，其周期为 6， 6 1 1 1 1 f(1)· f(3)· …· f(11) ＝ ×1× × －2 ×( － 1)× －2 2 2 14 ＝－2 .从 1 到 101 有 51 个奇数，而 51＝6×8＋3， 148 134 ∴原式＝－2 · f(1)· f(3)· f(5)＝2 .
【点评】对于sin α ＋cos α ，sin α cos α ， sin α －cos α 这三个式子，若已知其中某一个式子 的值，便可利用平方关系“sin2α ＋cos2α ＝1”，并 灵活地运用方程思想，求出另两个式子的值，即(sin α ＋cos α )2＝1＋2sin α cos α ；(sin α－cos α )2＝ 1－2sin α cos α ；(sin α ＋cos α )2＋(sin α －cos α )2＝2.因此，我们把“sin α ＋cos α ”，“sin α cos α ”，“sin α －cos α ”称为三角函数中的 “三剑客”，若出现某一个，则必须挖掘出另两个， 方能顺利地解题.
3．任意角的三角函数
y
x
y x
MP
OM
AT
(2)三角函数的定义域、值域 R y＝sin α ，y＝cos α 的定义域是______________ ， [－1，1] 值域是______________ ． y＝tan α 的定义域是 π α α ∈R且α≠kπ ＋ ，k∈Z R ___________________________ ， 2 值域是_____________ ．
nπ 〔备选题〕 例5 已知函数f(n)＝sin (n∈Z).求 6 值： (1)f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)； (2)f(1)· f(3)· f(5)· …· f(101).
（n＋12）π 【 解 析 】 (1)∵sin ＝ 6 n n sin 6 π＋2π ＝sin π， 6 ∴f(n＋12)＝f(n)， 且 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0，又 102＝ 8×12＋6， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(102) ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6) π 2π 3π 4π 5π ＝ sin ＋ sin ＋ sin ＋ sin ＋ sin 6 6 6 6 6 6π ＋sin 6 1 3 3 1 ＝ ＋ ＋1＋ ＋ ＋0＝2＋ 3. 2 2 2 2
3.已知扇形 AOB 的圆心角∠AOB 为 120°，半径 长为 6，则弓形 AOB 的面积是 12π －9 3 .
120 2 2 【解析】∵120°＝ π＝ π，∴l＝6× π＝ 180 3 3 1 4π，∵S扇形OAB＝ ×4π×6＝12π，S△OAB＝ 2 1 1 · OA· OB· sin 120°＝ ×6×6×sin 120°＝9 3， 2 2 ∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9 3， ∴弓形AOB的面积为12π－9 3.
sin2（α＋π ）· cos（π ＋α）· cos（－α－2π ） 4.化简 3π tan（π ＋α）· sin ＋α· sin （－α－2π ） 2 1 ＝____.
sin2α·（－cos α）· cos α 【解析】原式＝ tan α·cos3α·（－sin α） sin2αcos2α ＝ 2 ＝1. sin αcos2α
(3)终边相同的角 所有与 α 角终边相同的角，连同 α 角在内(而且只 有这样的角)， 可以用式子 k· 360° ＋ α， k∈Z 或 2kπ＋α， k∈Z 表示． 2．弧度制 (1)概念：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 做 1 弧度的角，它的单位符号是 rad，记作弧度． (2)扇形的弧长与面积公式：半径为 r，中心角为 1 1 α(rad)的扇形的弧长为 l＝|α|r；面积为 S＝ lr＝ |α |r2. 2 2 (3)角度制与弧度制的关系 180 π 1° ＝ 弧度，1 弧度＝ π ° . 180
第四章
三角函数、平面向量与复数
1．三角函数
2．平面向量
3．复数
第18讲
任意角的三角函数、同角关系式与诱导公式
【学习目标】 1.了解任意角的概念，弧度制的概念，能进行弧度 与角度的互化. 2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 3.掌握同角三角函数的基本公式并能灵活运用. 4.掌握正弦、余弦的诱导公式，并能灵活运用.
1 【解析】(1)∵sin A＋cos A＝ ，∴(sin A＋cos A)2 5 1 ＝ ， 25 1 12 即 1＋2sin Acos A＝ ，∴sin Acos A＝－ . 25 25 3π π 又 sin －Acos ＋A ＝(－cos A)(－sin A) 2 2 12 ＝sin Acos A＝－ . 25
【解析】(1)作平面直角坐标系 xOy 和单位圆. ①当角 α 的终边落在坐标轴上时，不妨设为 Ox 轴，设它交单位圆于 A 点，如图 1，显然 sin α＝0， cos α＝OA＝1，所以|sin α|＋|cos α|＝1.
②当角 α 的终边不在坐标轴上时，不妨设为 OP， 设它交单位圆于 A 点， 过 A 作 AB⊥x 轴于 B， 如图 2， 则 sin α＝BA，cos α＝OB. 在△OAB 中，|BA|＋|OB|＞|OA|＝1， 所以|sin α|＋|cos α|＞1. 综上所述，|sin α|＋|cos α|≥1. 3 4 (2)①因为 A 点的坐标为5，5， 4 根据三角函数定义可知 sin∠COA＝ . 5
12 (2)∵sin Acos A＝－ <0 且 0<A<π， 25 ∴A 为钝角，故△ABC 为钝角三角形. 24 (3)∵(sin A－cos A) ＝1－2sin Acos A＝1＋ ＝ 25
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4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ， 25
① 又 sin A>0，cos A<0，∴sin A－cos A>0， 7 ∴sin A－cos A＝ ② 5 4 3 ∴由①、②可得 sin A＝ ，cos A＝－ ， 5 5 4 5 sin A 4 ∴tan A＝ ＝ ＝－ . cos A 3 3 － 5