高中数学 2.4 等比数列习题1 新人教A版必修5
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∴an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.
答案：(－2)n－1
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
证明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)
＝2an＋1－2an.
∴a5＝a1＋4d，a8＝a1＋7d，a13＝a1＋12d，
又a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，
设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，则q＝ ＝ ，
又b2＝b1q＝5，即 b1＝5，解得b1＝3，
B组 能力提升
11．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：∵a3a11＝a ＝4a7，a7≠0，∴a7＝4，b7＝4.
∵{bn}是等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8，故选C.
答案：C
12．已知等比数列{an}为递增数列，且a ＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：根据条件求出首项a1和公比q，再求通项公式，由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或 ，由a ＝a10＝a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.a ＝a10>0⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
证明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝ Sn，
∴Sn＋1－Sn＝ Sn，
∴n(Sn＋1－Sn)＝(n＋2)Sn，
∴nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
∴ ＝2 ，又∵ ＝1≠0，
∴数列 是以1为首项，2为公比的等比数列.
答案：2n
13．设a，b，c是实数，3a,4b,5c成等比数列，且 ， ， 成等差数列，求 ＋ 的值．
解：∵3a,4b,5c成等比数列，
∴16b2＝15ac.①
∵ ， ， 成等比数列，
∴ ＝ ＋ .②
∴ ac＝ ，∴ ＋ ＝ .
14．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝ Sn(n＝1,2,3，…)．求证：数列 是等比数列．
等比数列
A组 基础巩固
1．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4.∵a1a2＝a q＝16>0，∴q>0，∴q＝4.
答案：B
2．在等比数列{an}中，a2 010＝8a2 007，则公比q的值为( )
∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.
又由an＋1＝2an知an≠0，
∴ ＝2，∴{an}是等比数列，
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
10．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，若b2＝5，求bn.
解：∵{an}是等差数列，
答案：C
5．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0
C．12 D．24
解析：由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前三项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
答案：A
6．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为( )
4．各项都是正数的等比数列{an}中，a2， a3，a1成等差数列，则 的值为( )
A. B. 或
C. D.
解析：设{an}公比为q，∵a2， a3，a1成等差数列，
∴a3＝a1＋a2，
∴a1q2＝a1＋a1q.
∴q2－q－1＝0，
解得q＝ .
∵数列各项都是正数，∴q>0，∴q＝ ，
∴ ＝q＝ .故选C.
A．7 B．8
C．9 D．16
解析：∵点(an，an＋1)在直线y＝2x上，∴an＋1＝2an，
∵a1＝1≠0，∴an≠0，
∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a4＝1×23＝8.
答案：B
7．若数列{an}为等比数列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a9＋a10＝________.
解析：∵{an}是等比数列，∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8，a9＋a10为等比数列，∴a9＋a10＝1×44＝256.
答案：256
8．若数列{an}的前n项和Sn＝ an＋ ，则{an}的通项公式是an＝________.
解析：当n＝1时，S1＝ a1＋ ，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ an＋ － ＝ (an－an－1)，
∴an＝－2an－1，即 ＝－2，
∴{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：∵a2 010＝8a2 007，∴q3＝ ＝8，∴q＝2.
答2000年价格为8 100元的计算机到2015年时的价格应为( )
A．900元 B．2 200元
C．2 400元 D．3 600元
答案：C
答案：(－2)n－1
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
证明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)
＝2an＋1－2an.
∴a5＝a1＋4d，a8＝a1＋7d，a13＝a1＋12d，
又a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，
设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，则q＝ ＝ ，
又b2＝b1q＝5，即 b1＝5，解得b1＝3，
B组 能力提升
11．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：∵a3a11＝a ＝4a7，a7≠0，∴a7＝4，b7＝4.
∵{bn}是等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8，故选C.
答案：C
12．已知等比数列{an}为递增数列，且a ＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：根据条件求出首项a1和公比q，再求通项公式，由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或 ，由a ＝a10＝a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.a ＝a10>0⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
证明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝ Sn，
∴Sn＋1－Sn＝ Sn，
∴n(Sn＋1－Sn)＝(n＋2)Sn，
∴nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
∴ ＝2 ，又∵ ＝1≠0，
∴数列 是以1为首项，2为公比的等比数列.
答案：2n
13．设a，b，c是实数，3a,4b,5c成等比数列，且 ， ， 成等差数列，求 ＋ 的值．
解：∵3a,4b,5c成等比数列，
∴16b2＝15ac.①
∵ ， ， 成等比数列，
∴ ＝ ＋ .②
∴ ac＝ ，∴ ＋ ＝ .
14．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝ Sn(n＝1,2,3，…)．求证：数列 是等比数列．
等比数列
A组 基础巩固
1．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4.∵a1a2＝a q＝16>0，∴q>0，∴q＝4.
答案：B
2．在等比数列{an}中，a2 010＝8a2 007，则公比q的值为( )
∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.
又由an＋1＝2an知an≠0，
∴ ＝2，∴{an}是等比数列，
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
10．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，若b2＝5，求bn.
解：∵{an}是等差数列，
答案：C
5．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0
C．12 D．24
解析：由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前三项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
答案：A
6．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为( )
4．各项都是正数的等比数列{an}中，a2， a3，a1成等差数列，则 的值为( )
A. B. 或
C. D.
解析：设{an}公比为q，∵a2， a3，a1成等差数列，
∴a3＝a1＋a2，
∴a1q2＝a1＋a1q.
∴q2－q－1＝0，
解得q＝ .
∵数列各项都是正数，∴q>0，∴q＝ ，
∴ ＝q＝ .故选C.
A．7 B．8
C．9 D．16
解析：∵点(an，an＋1)在直线y＝2x上，∴an＋1＝2an，
∵a1＝1≠0，∴an≠0，
∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a4＝1×23＝8.
答案：B
7．若数列{an}为等比数列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a9＋a10＝________.
解析：∵{an}是等比数列，∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8，a9＋a10为等比数列，∴a9＋a10＝1×44＝256.
答案：256
8．若数列{an}的前n项和Sn＝ an＋ ，则{an}的通项公式是an＝________.
解析：当n＝1时，S1＝ a1＋ ，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ an＋ － ＝ (an－an－1)，
∴an＝－2an－1，即 ＝－2，
∴{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：∵a2 010＝8a2 007，∴q3＝ ＝8，∴q＝2.
答2000年价格为8 100元的计算机到2015年时的价格应为( )
A．900元 B．2 200元
C．2 400元 D．3 600元
答案：C