2020届黑龙江省绥化市全市普通高中高三模拟联考质量检测数学(理)试题解析
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A．从2013年到2019年全社会固定资产的投资处于不断增长的状态
B．从2013年到2019年全社会固定资产投资的平均值为 亿元
C．该市全社会固定资产投资增长率最高的年份为2014年
D．2016年到2017年全社会固定资产的增长率为0
答案：D
由2013年到2019年全社会固定资产的投资数额，可得判定A项正确；由平均数的计算公式，可得B项正确；由2014年的全社会固定资产投资增长率为 ，可得C项正确；由2016年和2017年全社会固定资产投资的增长率呈现增长趋势，可得D项错误.
解：
由 得 是偶函数，图象关于 轴对称，排除C，D，
又 时， ，排除B．只有A正确．
故选：A．
点评：
本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等排除某些选项，然后研究特殊的函数值，函数值的正负，函数的零点，函数值的变化趋势等排除一些选项，从而得出正确选项．
6．已知点D在 的边 上， ，点E是 中点，则 （）
（2）根据调查数据，能否在犯错的概率不超过 的前提下认为“反应强烈”与性别有关，并说明理由.
参考数据：
k
（参考公式： ，其中 ）
答案：（1）答案见解析， ；（2）能，理由见解析.
（1）从表格中的数据中先求出男性居民“反应强烈”的概率，而X服从二项分布，然后直接利用二项分布的概率公式，求每一个所对应的概率，再列随机变量X的分布列即可；
19．为阻隔新冠肺炎病毒，多地进行封城.封城一段时间后，有的人情绪波动不大，反应一般；也有的人情绪波动大，反应强烈.某社区为了解民众心理反应，随机调查了100位居民，得到数据如下表：
反应强烈
反应一般
合计
男
20
20
40
女
45
15
60
合计
65
35
100
（1）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该社区的男性居民中随机抽取3位，记其中反应强烈的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
A． B．
C． D．
答案：D
根据E是 中点，利用中点坐标公式，再结合 化简求解.
解：
，
，
.
故选：D
点评：
本题主要考查平面向量的基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7．等比数列 的前n项和为 ，公比为q，若 ， ，则满足 的最小的n值为（）
A．3B．4C．5D．6
答案：C
由 求出公比 ，再由 求出 ，不等式 转化为关于 的不等式，解之可得．
（2）直接利用公式求解，然后与临界值5.024比较即可
解：
解：（1）由已知得男性居民“反应强烈”的概率为 ，并且 ，
所以 .
其分布列如下
X
0
1
2
3
P
所以， （或 ）.
（2）因为
所以能在犯错的概率不超过 的前提下认为“反应强烈”与性别有关.
点评：
此题考查独立性检验和二项分布，属于基础题.
20．已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线 上一点，且点 到焦点 的距离为 .
则 、 、 、 ，
可得 、 、 、
，
设平面 的一个法向量为 ，由 、 可得
令 ，可得 ， ，则 .
设平面 的一个法向量为 ，由 、 可得
令 ，可得 ， ，则 .
从而 ，
则二面角 的余弦值为 .
点评：
此题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，属于中档题.
14．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则 的值为________.
答案：2
由等差数列 中 可得， ，再利用等差数列的性质可求得 的值.
解：
解：因为等差数列 的前n项和为 ，且 ，
所以 ，得 ，
因为 ，所以
故答案为：2
点评：
此题考查等差数列的前n项和，等差数列的性质，属于基础题.
15．已知 ，则 ________.
化简 为 ，利用二项式定理的通项公式分别求 与 的展开式中 的系数即可得到答案.
解：
解：
因为 的通项公式为 .
令 得， ，所以 的展开式中 的系数为 .
因为 的通项公式为
，
令 ，得 ，所以 的展开式中 的系数为 .
所以 的展开式中 的系数为 ，
所以 的展开式中 的系数为 .
故答案为： .
点评：
本题主要考查利用二项式定理的通项公式求某一项的系数，考查学生的计算能力，属于中档题.
2020届黑龙江省绥化市全市普通高中高三模拟联考质量检测数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 等于（）
A． B．
C． D．
答案：A
先求得集合 或 ，再集合的运算，即可求解.
解：
由题意，集合 或 ， ，
所以 或 ，所以 .
故选：A.
点评：
本题主要考查了集合的混合运算，以及一元二次不等式的求解，其中解答中正确求解集合 ，结合集合的运算求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
A．
B． 是函数 图象的一条对称轴
C． 是函数 图象的一个对称中心
D．函数 在 上的值域为
答案：D
由函数 向右平移 个单位后关于原点对称得 ，进而得 ，接着逐一验证各个选项即可.
解：
解：将函数 向右平移 个单位后得
为奇函数.
则 ，所以 .又因为 ，所以 ，故A正确.
因为 ，所以 ，
当 时， ，
所以 是函数 图象的一条对称轴，故B正确.
解：
故 ，故双曲线C的离心率 .
故选：C．
点评：
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于 的齐次等式．然后结合 可转化 的方程，解之可得离心率．
5．函数 在 内的图象大致为（）
A． B．
C． D．
答案：A
由函数的奇偶性可排除CD，由函数值的正负可排除B，从而得正确选项．
A．4B． C． D．
答案：C
根据程序框图进行模拟运算即可．
解：
第一次， 否，
第二次， 否，
第三次， 是，
程序终止，输出s= ，
故选C．
点评：
本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．比较基础．
9．已知函数 ，若将函数 的图象向右平移 个单位后关于原点中心对称，则下列结论中不正确的是（）
所以： ，
整理得： ，
，
由于 ，
所以： ，
由于 ，
所以： ．
Ⅱ 由 Ⅰ 得： ，且 ，
所以： ，
，
由于： ，
所以： ，
则： ，
故 的取值范围为 ．
点评：
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
解：
由已知 ，由 ，得 ，解得 ，
又 .∴ ， ，∴ ， ，
∴ 化为 ，∵ ，∴ ，
n的最小值为5.
故选：C．
点评：
本题考查等比数列的通项公式和前 项和公式，解题方法是基本量法，即由已知条件求出首项 和公比 ，然后得出通项公式和前 项和公式，再解决其他问题．
8．在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示．执行该程序框图，输出s的值为（ ）
答案：
等式平方相加得到 ，解得答案.
解：
由 平方相加得 ，
即 .
故答案为： .
点评：
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.
16．若函数 的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B两点为一对“优美点”，记作 ，规定 和 是同一对“优美点”.已知 ，则函数 的图象上共存在“优美点”________对.
当 时， ，
所以 是函数 图象的一个对称中心，故C正确.
当 时， ，所以 ，
所以 ，
所以，函数 在 上的值域为 ，故D错误.
故选：D.
点评：
本题主要考查正弦型函数的奇偶性、对称轴、对称中心、最值，属于中档题.
10．已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
当 时， ，即 ，
在 上， ， . 递减；在 上， ， ， 递增，
，设 ，
∴ ， ，∴ 在 上递减， ，∴m的最小值为0.
故选：A.
点评：
本题考查不等式有解求参数范围问题，解题关键是转化为求函数的最小值．利用导数求解是基本方法．
二、填空题
13． 的展开式中 的系数为________.（用数字作答）
答案：
12．已知函数 ，存在 ，使得不等式 有解，则实数m的最小值为（）
A．0B． C．1D．2
答案：A
首选求得导数 ，对 ，由 ＝0得 ，设 ，利用导数求得 ，从而知当 时， ，因此易得 的正负，得 单调性与最小值为 ，换元令 ， ，利用导数求得 最小值即得结论．
解：
.
由 ，得 ，设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，从而 在 上递增，在 上递减，∴ ，
解：
解：（1）连接 ，交 于点F，连接 .
在等腰梯形 中， ， ，则 ， ，
又 ，则 ，所以 ，
所以 ，
又 ， ，所以 .
（2）取 中点O，取 中点H，连接 ， ，显然 .
又平面 ，平面 ，所以 .
由于O、H分别为 、 中点，四边形 是等腰梯形.
则 ，故以O为原点，以 方向为x轴， 方向为y轴，
以 方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系.
解：
由题意，从2013年到2019年全社会固定资产的投资分别为 ， ， ， ， ， ， ，所以A项正确；
因为 ，所以B项正确；
由2014年的全社会固定资产投资增长率为 ，为2013年到2019年的最大值，故C项正确；
由2016年和2017年全社会固定资产投资的增长率均为 ，均呈现增长趋势，故D项错误.
（1）求拋物线 的标准方程；
（2）设直线 在 轴上的截距为 ，且与抛物线交于 ， 两点，连接 并延长交抛物线的准线于点 ，当直线 恰与抛物线相切时，求直线 的方程.
答案：（1） ；（2） 或 .
（1）首先利用焦半径公式得到 ，再写出抛物线方程即可.
答案：5
根据题意，函数 上的优美点的对数即为方程 的解得个数，作出函数的图象，结合图象，即可求解.
解：
由题意，函数 上的优美点的对数即为方程 的解得个数，
作出函数 与函数 的图象，如图所示，
当 时， ，可得两函数的图象共有5个公共点，
即函数 的图象上共存在“优美点”共5对.
故答案为：5.
点评：
本题主要考查了函数的新定义的应用，以及正弦函数与对数函数的图象的应用，着重考查数形结合思想，属于中档试题.
18．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 是等腰梯形， ， ，点E在线段 上，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
答案：（1）证明见解析；（2） .
（1）连接 ，交 于点F，连接 ，证得 ，由此可证明 平面 ；
（2）取 中点O，取 中点H，连接 ， ，则 ，以O为原点，以 方向为x轴， 方向为y轴，以 方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法求二面角 的余弦值.
2．若复数z满足 （i是虚数单位），则 等于（）
A． B． C．2D．
答案：D
由 ，利用复数的除法得到 ，再利用复数模公式求解.
解：
因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：D
点评：
本题主要考查复数的运算以及复数的模，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．已知某市 年全社会固定资产投资以及增长率如图所示，则下列说法错误的是（）
故选：D.
点评：
本题主要考查了统计图表的应用，以及增长率和平均数的计算公式的应用，着重考查分析问题和解答问题的能力.
4．已知双曲线C： 的两条渐近线与直线 所围成的三角形的面积为4，则双曲线C的离心率为（）
A． B． C． D．
答案：C
把 代入渐近线方程求出交点坐标，从而可得三角形面积，由此得出 的值，再转化为 即得．
答案：B
将直三棱柱补成直四棱柱 ，由 .则 是异面直线 与 所成的角，然后在三棱锥 中，求得各边长，利用余弦定理求解.
解：
将直三棱柱补成直四棱柱 ，
如图所示：
则 .
所以 是异面直线 与 所成的角，
在三棱锥 中， ， ，
，
，
所以 .
故选：B
点评：
本题主要考查异面直线所成的角的求法，余弦定理的应用以及几何体的结构特征，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
三、解答题
17．已知 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ．
Ⅰ 求角A的大小；
Ⅱ 若 ，求 的取值范围．
答案：（I） ；（II） .
Ⅰ 直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变变换求出C的值．
Ⅱ 利用 Ⅰ 的结论，进一步利用余弦定理和基本不等式的应用求出结果．
解：
解： Ⅰ 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 ．
11．已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若 ，则有 成立，现已知椭圆 上存在一点P， ， 为其焦点，在 中， ， ，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
答案：C
根据若 ，则有 成立，由 求解.
解：
由题意得： ，
所以 ，
所以 ，
解得 .
故选：C
点评：
本题主要考查比例的性质以及椭圆的定义及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
B．从2013年到2019年全社会固定资产投资的平均值为 亿元
C．该市全社会固定资产投资增长率最高的年份为2014年
D．2016年到2017年全社会固定资产的增长率为0
答案：D
由2013年到2019年全社会固定资产的投资数额，可得判定A项正确；由平均数的计算公式，可得B项正确；由2014年的全社会固定资产投资增长率为 ，可得C项正确；由2016年和2017年全社会固定资产投资的增长率呈现增长趋势，可得D项错误.
解：
由 得 是偶函数，图象关于 轴对称，排除C，D，
又 时， ，排除B．只有A正确．
故选：A．
点评：
本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等排除某些选项，然后研究特殊的函数值，函数值的正负，函数的零点，函数值的变化趋势等排除一些选项，从而得出正确选项．
6．已知点D在 的边 上， ，点E是 中点，则 （）
（2）根据调查数据，能否在犯错的概率不超过 的前提下认为“反应强烈”与性别有关，并说明理由.
参考数据：
k
（参考公式： ，其中 ）
答案：（1）答案见解析， ；（2）能，理由见解析.
（1）从表格中的数据中先求出男性居民“反应强烈”的概率，而X服从二项分布，然后直接利用二项分布的概率公式，求每一个所对应的概率，再列随机变量X的分布列即可；
19．为阻隔新冠肺炎病毒，多地进行封城.封城一段时间后，有的人情绪波动不大，反应一般；也有的人情绪波动大，反应强烈.某社区为了解民众心理反应，随机调查了100位居民，得到数据如下表：
反应强烈
反应一般
合计
男
20
20
40
女
45
15
60
合计
65
35
100
（1）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该社区的男性居民中随机抽取3位，记其中反应强烈的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
A． B．
C． D．
答案：D
根据E是 中点，利用中点坐标公式，再结合 化简求解.
解：
，
，
.
故选：D
点评：
本题主要考查平面向量的基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7．等比数列 的前n项和为 ，公比为q，若 ， ，则满足 的最小的n值为（）
A．3B．4C．5D．6
答案：C
由 求出公比 ，再由 求出 ，不等式 转化为关于 的不等式，解之可得．
（2）直接利用公式求解，然后与临界值5.024比较即可
解：
解：（1）由已知得男性居民“反应强烈”的概率为 ，并且 ，
所以 .
其分布列如下
X
0
1
2
3
P
所以， （或 ）.
（2）因为
所以能在犯错的概率不超过 的前提下认为“反应强烈”与性别有关.
点评：
此题考查独立性检验和二项分布，属于基础题.
20．已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线 上一点，且点 到焦点 的距离为 .
则 、 、 、 ，
可得 、 、 、
，
设平面 的一个法向量为 ，由 、 可得
令 ，可得 ， ，则 .
设平面 的一个法向量为 ，由 、 可得
令 ，可得 ， ，则 .
从而 ，
则二面角 的余弦值为 .
点评：
此题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，属于中档题.
14．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则 的值为________.
答案：2
由等差数列 中 可得， ，再利用等差数列的性质可求得 的值.
解：
解：因为等差数列 的前n项和为 ，且 ，
所以 ，得 ，
因为 ，所以
故答案为：2
点评：
此题考查等差数列的前n项和，等差数列的性质，属于基础题.
15．已知 ，则 ________.
化简 为 ，利用二项式定理的通项公式分别求 与 的展开式中 的系数即可得到答案.
解：
解：
因为 的通项公式为 .
令 得， ，所以 的展开式中 的系数为 .
因为 的通项公式为
，
令 ，得 ，所以 的展开式中 的系数为 .
所以 的展开式中 的系数为 ，
所以 的展开式中 的系数为 .
故答案为： .
点评：
本题主要考查利用二项式定理的通项公式求某一项的系数，考查学生的计算能力，属于中档题.
2020届黑龙江省绥化市全市普通高中高三模拟联考质量检测数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 等于（）
A． B．
C． D．
答案：A
先求得集合 或 ，再集合的运算，即可求解.
解：
由题意，集合 或 ， ，
所以 或 ，所以 .
故选：A.
点评：
本题主要考查了集合的混合运算，以及一元二次不等式的求解，其中解答中正确求解集合 ，结合集合的运算求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
A．
B． 是函数 图象的一条对称轴
C． 是函数 图象的一个对称中心
D．函数 在 上的值域为
答案：D
由函数 向右平移 个单位后关于原点对称得 ，进而得 ，接着逐一验证各个选项即可.
解：
解：将函数 向右平移 个单位后得
为奇函数.
则 ，所以 .又因为 ，所以 ，故A正确.
因为 ，所以 ，
当 时， ，
所以 是函数 图象的一条对称轴，故B正确.
解：
故 ，故双曲线C的离心率 .
故选：C．
点评：
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于 的齐次等式．然后结合 可转化 的方程，解之可得离心率．
5．函数 在 内的图象大致为（）
A． B．
C． D．
答案：A
由函数的奇偶性可排除CD，由函数值的正负可排除B，从而得正确选项．
A．4B． C． D．
答案：C
根据程序框图进行模拟运算即可．
解：
第一次， 否，
第二次， 否，
第三次， 是，
程序终止，输出s= ，
故选C．
点评：
本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．比较基础．
9．已知函数 ，若将函数 的图象向右平移 个单位后关于原点中心对称，则下列结论中不正确的是（）
所以： ，
整理得： ，
，
由于 ，
所以： ，
由于 ，
所以： ．
Ⅱ 由 Ⅰ 得： ，且 ，
所以： ，
，
由于： ，
所以： ，
则： ，
故 的取值范围为 ．
点评：
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
解：
由已知 ，由 ，得 ，解得 ，
又 .∴ ， ，∴ ， ，
∴ 化为 ，∵ ，∴ ，
n的最小值为5.
故选：C．
点评：
本题考查等比数列的通项公式和前 项和公式，解题方法是基本量法，即由已知条件求出首项 和公比 ，然后得出通项公式和前 项和公式，再解决其他问题．
8．在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示．执行该程序框图，输出s的值为（ ）
答案：
等式平方相加得到 ，解得答案.
解：
由 平方相加得 ，
即 .
故答案为： .
点评：
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.
16．若函数 的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B两点为一对“优美点”，记作 ，规定 和 是同一对“优美点”.已知 ，则函数 的图象上共存在“优美点”________对.
当 时， ，
所以 是函数 图象的一个对称中心，故C正确.
当 时， ，所以 ，
所以 ，
所以，函数 在 上的值域为 ，故D错误.
故选：D.
点评：
本题主要考查正弦型函数的奇偶性、对称轴、对称中心、最值，属于中档题.
10．已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
当 时， ，即 ，
在 上， ， . 递减；在 上， ， ， 递增，
，设 ，
∴ ， ，∴ 在 上递减， ，∴m的最小值为0.
故选：A.
点评：
本题考查不等式有解求参数范围问题，解题关键是转化为求函数的最小值．利用导数求解是基本方法．
二、填空题
13． 的展开式中 的系数为________.（用数字作答）
答案：
12．已知函数 ，存在 ，使得不等式 有解，则实数m的最小值为（）
A．0B． C．1D．2
答案：A
首选求得导数 ，对 ，由 ＝0得 ，设 ，利用导数求得 ，从而知当 时， ，因此易得 的正负，得 单调性与最小值为 ，换元令 ， ，利用导数求得 最小值即得结论．
解：
.
由 ，得 ，设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，从而 在 上递增，在 上递减，∴ ，
解：
解：（1）连接 ，交 于点F，连接 .
在等腰梯形 中， ， ，则 ， ，
又 ，则 ，所以 ，
所以 ，
又 ， ，所以 .
（2）取 中点O，取 中点H，连接 ， ，显然 .
又平面 ，平面 ，所以 .
由于O、H分别为 、 中点，四边形 是等腰梯形.
则 ，故以O为原点，以 方向为x轴， 方向为y轴，
以 方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系.
解：
由题意，从2013年到2019年全社会固定资产的投资分别为 ， ， ， ， ， ， ，所以A项正确；
因为 ，所以B项正确；
由2014年的全社会固定资产投资增长率为 ，为2013年到2019年的最大值，故C项正确；
由2016年和2017年全社会固定资产投资的增长率均为 ，均呈现增长趋势，故D项错误.
（1）求拋物线 的标准方程；
（2）设直线 在 轴上的截距为 ，且与抛物线交于 ， 两点，连接 并延长交抛物线的准线于点 ，当直线 恰与抛物线相切时，求直线 的方程.
答案：（1） ；（2） 或 .
（1）首先利用焦半径公式得到 ，再写出抛物线方程即可.
答案：5
根据题意，函数 上的优美点的对数即为方程 的解得个数，作出函数的图象，结合图象，即可求解.
解：
由题意，函数 上的优美点的对数即为方程 的解得个数，
作出函数 与函数 的图象，如图所示，
当 时， ，可得两函数的图象共有5个公共点，
即函数 的图象上共存在“优美点”共5对.
故答案为：5.
点评：
本题主要考查了函数的新定义的应用，以及正弦函数与对数函数的图象的应用，着重考查数形结合思想，属于中档试题.
18．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 是等腰梯形， ， ，点E在线段 上，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
答案：（1）证明见解析；（2） .
（1）连接 ，交 于点F，连接 ，证得 ，由此可证明 平面 ；
（2）取 中点O，取 中点H，连接 ， ，则 ，以O为原点，以 方向为x轴， 方向为y轴，以 方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法求二面角 的余弦值.
2．若复数z满足 （i是虚数单位），则 等于（）
A． B． C．2D．
答案：D
由 ，利用复数的除法得到 ，再利用复数模公式求解.
解：
因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：D
点评：
本题主要考查复数的运算以及复数的模，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．已知某市 年全社会固定资产投资以及增长率如图所示，则下列说法错误的是（）
故选：D.
点评：
本题主要考查了统计图表的应用，以及增长率和平均数的计算公式的应用，着重考查分析问题和解答问题的能力.
4．已知双曲线C： 的两条渐近线与直线 所围成的三角形的面积为4，则双曲线C的离心率为（）
A． B． C． D．
答案：C
把 代入渐近线方程求出交点坐标，从而可得三角形面积，由此得出 的值，再转化为 即得．
答案：B
将直三棱柱补成直四棱柱 ，由 .则 是异面直线 与 所成的角，然后在三棱锥 中，求得各边长，利用余弦定理求解.
解：
将直三棱柱补成直四棱柱 ，
如图所示：
则 .
所以 是异面直线 与 所成的角，
在三棱锥 中， ， ，
，
，
所以 .
故选：B
点评：
本题主要考查异面直线所成的角的求法，余弦定理的应用以及几何体的结构特征，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
三、解答题
17．已知 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ．
Ⅰ 求角A的大小；
Ⅱ 若 ，求 的取值范围．
答案：（I） ；（II） .
Ⅰ 直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变变换求出C的值．
Ⅱ 利用 Ⅰ 的结论，进一步利用余弦定理和基本不等式的应用求出结果．
解：
解： Ⅰ 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 ．
11．已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若 ，则有 成立，现已知椭圆 上存在一点P， ， 为其焦点，在 中， ， ，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
答案：C
根据若 ，则有 成立，由 求解.
解：
由题意得： ，
所以 ，
所以 ，
解得 .
故选：C
点评：
本题主要考查比例的性质以及椭圆的定义及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.