第6章 医用薄膜渗透率的

达到最小。 达到最小。
其中δi为点（xi,yi）与曲线y=f(x)的距离。曲线拟合的实 际含义是寻求一个函数y=f(x)，使f(x)在某种准则下与所 有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。
10
6.3 一元最小二乘法简介
设拟合函数可由一些简单的“基函数”（如幂函数，三角 函 数等） 来线性表示：
现在要确定系数c0,c1,…cm,使δ达到最小
代入(6.1)得 得 代入
再利用初始条件
解出
8
6.2 确定医用薄膜渗透率的数学模型
数学模型
问题归结为利用CB在时刻tj的测量数据Cj(j=1,2,…,N)来辨识参 数K和αA，αB，对应的数学模型变为使函数
达到最小 令 问题转化为如下最优化问题
9
6.3 一元最小二乘法简介
最小二乘法
给定平面上的点(xi,yi),i=1,2,…n，求f(x)，使 ， 给定平面上的点 ，
第6章 医用薄膜渗透率的确定 章
——曲线拟合 曲线拟合
1
概述
利用数据确定方程的参数
如：刹车距离与刹车速度的有如下关系 d=Cv2 其中， 表示刹车距离 表示刹车距离， 表示刹车时的速度 表示刹车时的速度， 其中，d表示刹车距离，v表示刹车时的速度，需要确定 常数C。 常数 。
根据一组二维数据，即平面上的若干点，要求确定 根据一组二维数据，即平面上的若干点， 一个一元函数y=f(x)，使这些点与曲线总体来说 一个一元函数 ， 尽量接近，这就是数据拟合曲线的基本思想， 尽量接近，这就是数据拟合曲线的基本思想，简称 曲线拟合(fitting a curve)。 曲线拟合 。
21
6.4 用曲线拟合方法确定医用薄膜渗透率
拟合数据与实测数据比较
22
6.4 用曲线拟合方法确定医用薄膜渗透率
模型二 通过观测散点图，还可以假设刹车距离d与v刹车速度之 间的函数关系为 d = a1 v + a0 ，下面为编写求未知参数 的a1、a0的matlab程序 v=[20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80]; d=[42 56 73.5 91.5 116 142.5 173 209.5 248 292.5 343 401 464]; v=sqrt(v); a=polyfit(v,d,1) dl=polyval(a,v); plot(v,d,'ro',v,dl,'b.'); box off 输出结果：a=91.4428 -430.1865
根据所给的数据画散点图 plot(v,d,’ro’)
19
6.4 用曲线拟合方法确定医用薄膜渗透率
实测数据d,v的散点图
20
6.4 用曲线拟合方法确定医用薄膜渗透率
模型一 设距离d与速度v之间的函数结构为二次多项式： d=a2v2+a1v+a0，求参数a=[a2,a1,a0]的matlab程序如下 v=[20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80]; d=[42 56 73.5 91.5 116 142.5 173 209.5 248 292.5 343 401 464]; a=polyfit(v,d,2) dl=polyval(a,v); plot(v,d,'ro',v,dl,'b.'); 输出结果: a=0.0886 -1.9701 50.0594 拟合的多项式为 d=0.0886v2-1.9701v+50.0594
23
6.4 用曲线拟合方法确定医用薄膜渗透率
拟合函数为：d = 91.4428 v − 430.1865
拟合数据与实测数据比较
24
简介曲面拟合
多元最小二乘法 已知m个变量(x1,…..,xm)和一个因变量y的一组观测值 (x1i,…..,xmi,yi)，i=1,2,….,n，要确定函数 y=f(x1,…..,xm)，使得 min J =
800 6.39
900 6.50
1000 6.59
Cj(10-5) 4.54 4.99
14
6.4 用曲线拟合方法确定医用薄膜渗透率
将6.2简化为 min E ( K , a, b) = ∑ [a + be
j =1 10 − 0.02 Kt j
− C j ]2
1)编写M文件(nongdu.m) function f=nongdu(x,tdata) f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata); 其中x(1)=a x(2)=b x(3)=K
侧渗透至A侧的质量为 从B侧渗透至 侧的质量为 侧渗透至
6
6.2 确定医用薄膜渗透率的数学模型
由质量守恒定律， 由质量守恒定律，有
=
两边除以△t，令△t →0并整理得 并整理得
(6.1)
整个容器的溶液中物质的质量不变， 整个容器的溶液中物质的质量不变，有
7
6.2 确定医用薄膜渗透率的数学模型
两边除以V 两边除以VA，并整理得
Li
β
− Qi)2
1)建立M函数文件jingjizz.m function Q=jingjizz(x,y) Q=x(1)*(y(1,:).^x(2)).*(y(2,:).^x(3)); 其中 x(1)=a;x(2)=α;x(3)=β
27
简介曲面拟合
2)建立运行文件qumiannihe.m Q=[1.05 1.18 1.29 1.30 1.3 1.42 1.50 1.52 1.46 1.6 1.69 1.81 1.93 1.95 2.01 2.0 2.09 1.96 2.20 2.12 2.16 2.08 2.24 2.56 2.34 2.45 2.58]; y=[1.04 1.06 1.16 1.22 1.27 1.37 1.44 1.53 1.57 2.05 2.51 2.63 2.74 2.82 3.24 3.24 3.61 4.1 4.36 4.77 4.75 4.54 4.54 4.58 4.58 4.58 4.54;1.05 1.08 1.18 1.22 1.17 1.3 1.39 1.47 1.31 1.43 1.58 1.59 1.66 1.68 1.65 1.62 1.86 1.93 1.96 1.95 1.9 1.58 1.67 1.82 1.6 1.61 1.64]; x0=[0.1, 0.1, 0.2]; x=lsqcurvefit(‘jingjizz’,x0,y,Q)
6.2 确定医用薄膜渗透率的数学模型
问题假设
薄膜两侧的溶液始终是均匀的， 薄膜两侧的溶液始终是均匀的，即在任何时刻薄膜两侧 的每一处溶液的浓度都是相同的 当薄膜两侧的溶液浓度不一致时，物质的分子穿透薄膜 当薄膜两侧的溶液浓度不一致时， 总是从高浓度溶液向低浓度溶液扩散 通过单位面积薄膜分子扩散的速度与薄膜两侧溶液的浓 度差成正比。 度差成正比。 薄膜是双向同性的， 薄膜是双向同性的，即物质从薄膜的任何的一侧向另一 侧渗透的性能是相同的
6.2 确定医用薄膜渗透率的数学模型
问题分析
解决问题的思路：首先通过机理分析寻找某一侧浓度随 时间变化的函数关系CA(t)或CB(t)，其中可能含有待定参 数，如薄膜渗透率K，然后根据一组测量值（ti,Ci）， i=1,2,……n去确定模型中待定参数。
t]时段容器 时段容器A [t,t+△t]时段容器A侧的物质质量增加量
13
f(x)=a+b/x f(x)=aebx
6.4 用曲线拟合方法确定医用薄膜渗透率
医用薄膜渗透率最小二乘法辨识模型 (6.2) 假设：VA=VB=1000cm3，S=10cm2，B部分溶液浓度测试结 果如下表：
tj/s
100
200
300 5.35
400 5.65
500 5.90
600 6.10
.2246 0.4612 -0.1277 求得：
Q ( K , L) = 1.2246 K
0.4612 −0.1277
L
29
简介曲面拟合
将上面程序最后一句改为 [x,resnorm,residual]=lsqcurvefit(‘jingjizz’,x0,y,Q) 得到如下结果： x=1.2246 0.4612 -0.1277 resnorm=0.4230 residual=………. %表示残差平方和 %表示对应的残差
18
6.4 用曲线拟合方法确定医用薄膜渗透率
汽车刹车距离与刹车速度的观测值
序号 v d 1 2 3 30 4 35 5 40 6 45 7 50 8 55 9 60 10 65 11 70 12 75 13 80
20 25 42 56
73.5 91.5 116
142.5 173 209 248 292 343 401 464
11
6.3 一元最小二乘法简介
曲线拟合示意图
12
6.3 一元最小二乘法简介
已知一组数据(xi,yi),i=1,2,…n，如何选择函数f(x)? ，如何选择函数 已知一组数据 •一是根据机理分析来确定函数形式 一是根据机理分析来确定函数形式 •二是根据散点图直观判断函数 二是根据散点图直观判断函数f(x)的形式，常用的一 的形式， 二是根据散点图直观判断函数 的形式 元曲线拟合函数有 双曲线 指数曲线 多项式
6.4 用曲线拟合方法确定医用薄膜渗透率
曲线拟合效果图
17
6.4 用曲线拟合方法确定医用薄膜渗透率
多项式拟合语句 a=polyfit(xdata,ydata,n) 其中n表示多项式的最高阶数，xdata,ydata为将要拟合的数 据，输出参数a为多项式
的系数 计算多项式的拟合值 y=polyval(a,x)
2
6.1 医用薄膜的渗透率
测定薄膜渗透率
用面积为S的薄膜将容器分成 体积分别为VA，VB的两部分， 在两部分中分别注满两种不同 浓度的溶液，此时物质分子会 从高浓度溶液穿过薄膜向低浓 度溶液扩散，通过单位面积薄 膜分子扩散的速度与薄膜两侧 溶液的浓度差成正比，试确定 薄膜渗透率K。
VA S VB
3
Q( K , L) = aK L ,0 < α , β < 1
Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，式中的α，β， a要由经济统计数据确定。现有美国马萨诸塞州19001926年上述三个经济指数的统计数据，试用最小二乘 法，求出α，β，a
α
β
26
简介曲面拟合
最小二乘的准则
27
min
∑
( aK
α
i
i =1
n
∑
i =1
[ f ( x 1 i , x 2 i ,..., x mi ) − y i )] 2
通过机理分析或数据的直观判断，去确定函数f(x1,…..,xm) 的结构，假定函数中含有未知参数a1,…..,ak，再通过最小 二乘原理具体确定参数a1,…..,ak 。
25
简介曲面拟合
经济增长模型 在经济学中，有一个著名的Cobb-Douglas生产函数：
15
6.4 用曲线拟合方法确定医用薄膜渗透率
2)编写程序(nihe2.m) tdata=linspace(100,1000,10); cdata=[4.54,4.99,5.35,5.65,5.9,6.1,6.26,6.39,6.5,6.59]*10^ (-3); x0=[0.2,0.05,0.05]; [x,resnorm,residual]=lsqcurvefit('nongdu',x0,tdata,cdata) t=linspace(100,1000,100); c=nongdu(x,t); plot(tdata,cdata,'o',t,c) c1=nongdu(x,tdata); e=c1-cdata; e1=sum(e.*e) 输出结果： x =0.0063 -0.0034 0.2542 e1=3.5604e-007 16
4
6.2 确定医用薄膜渗透率的数学模型
符号说明
CA(t),CB(t)表示 时刻薄膜两侧溶液的浓度 表示t时刻薄膜两侧溶液的浓度 表示 αA 、αB表示初始时刻两侧溶液的浓度（mg/cm3） 表示初始时刻两侧溶液的浓度（ K表示薄膜渗透率 表示薄膜渗透率 VA ，VB表示由薄膜阻隔的容器两侧的体积
5
30