2021高考数学一轮复习考点规范练45直线的倾斜角与斜率、直线的方程(含解析)

2021高考数学一轮复习考点规范练：45直线的倾斜角与斜率、
直线的方程（含解析）
基础巩固
1.经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为3π
4
,则y=()
A.-1
B.-3
C.0
D.2
答案:B
解析:tan3π
4=2y+1-(-3)
4-2
=2y+4
2
=y+2,因此y+2=-1,y=-3.
2.已知直线l:ax+y-2+a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是()
A.1
B.-1
C.2或1
D.-2或1
答案:C
解析:当a=0时,直线方程为y=2,显然不符合题意,
当a≠0时,令y=0,得到直线在x轴上的截距是2-y
y
,
令x=0,得到直线在y轴上的截距为2-a,
根据题意得2-y
y
=2-a,解得a=2或a=1,故选C.
3.直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足()
A.ab>0,bc<0
B.ab>0,bc>0
C.ab<0,bc>0
D.ab<0,bc<0
答案:A
解析:因为直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限,所以直线存在斜率,将方程变形为y=-y y x-y y
,易知-y y
<0且-y y
>0,故ab>0,bc<0.
4.设A ,B 是x 轴上的两点,点P 的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA 的方程为x-y+1=0,则直线PB 的方程是( ) A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2x-y-4=0 D.2x+y-7=0
答案:A
解析:易知A (-1,0).
∵|PA|=|PB|,∴P 在AB 的中垂线即x=2上.∴B (5,0). ∵PA ,PB 关于直线x=2对称,∴k PB =-1. ∴l PB :y-0=-(x-5),即x+y-5=0.
5.若ab>0,且A (a ,0),B (0,b ),C (-2,-2)三点共线,则ab 的最小值为 . 答案:16
解析:根据A (a ,0),B (0,b )确定直线的方程为y y +y y =1,又C (-2,-2)在该直线上,故-2y +-2
y =1,所以-2(a+b )=ab.又ab>0,故a<0,b<0.
根据基本不等式ab=-2(a+b )≥4√yy ,从而√yy ≤0(舍去)或√yy ≥4,故ab ≥16,当且仅当
a=b=-4时取等号.即ab 的最小值为16.
6.一条直线经过点A (2,-√3),并且它的倾斜角等于直线y=√
3x 的倾斜角的2倍,则这条直线的一般
式方程是 .
答案:√3x-y-3√3=0
解析:因为直线y=√
3x 的倾斜角为30°,
所以所求直线的倾斜角为60°,
即斜率k=tan60°=√3. 又该直线过点A (2,-√3), 故所求直线为y-(-√3)=√3(x-2), 即√3x-y-3√3=0.
7.设直线l 的方程为(m 2
-2m-3)x+(2m 2
+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m 的值. (1)直线l 经过定点P (2,-1); (2)直线l 在y 轴上的截距为6; (3)直线l 与y 轴平行; (4)直线l 与y 轴垂直.
解:(1)由于点P 在直线l 上,即点P 的坐标(2,-1)适合方程(m 2
-2m-3)x+(2m 2
+m-1)y=2m-6,
把点P 的坐标(2,-1)代入方程,得2(m 2-2m-3)-(2m 2
+m-1)=2m-6,解得m=1
7.
(2)令x=0,得y=2y -6
2y 2+y -1,
根据题意可知2y -6
2y 2+y -1=6,
解得m=-1
3或m=0.
(3)直线与y 轴平行,则有{y 2-2y -3≠0,
2y 2+y -1=0,
解得m=12.
(4)直线与y 轴垂直,则有{y 2-2y -3=0,
2y 2+y -1≠0,
解得m=3.
8.已知直线l 过点P (0,1),且与直线l 1:x-3y+10=0和l 2:2x+y-8=0分别交于点A ,B (如图).若线段
AB 被点P 平分,求直线l 的方程.
解:∵点B 在直线l 2:2x+y-8=0上,∴可设点B 的坐标为(a ,8-2a ). ∵点P (0,1)是线段AB 的中点, ∴点A 的坐标为(-a ,2a-6). 又点A 在直线l 1:x-3y+10=0上,
∴将A (-a ,2a-6)代入直线l 1的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4. ∴点B 的坐标是(4,0).
因此,过P (0,1),B (4,0)的直线l 的方程为y 4
+y
1
=1,即x+4y-4=0.
能力提升
9.直线l 经过点A (1,2),在x 轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( )
A .(-1,1
5)
B .(-∞,1
2)∪(1,+∞)
C.(-∞,1)∪(1
5,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1
2
,+∞)
答案:D
解析:设直线的斜率为k ,如图,过定点A 的直线经过点B 时,直线l 在x 轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A 的直线经过点C 时,直线l 在x 轴上的截距为-3,此时k=1
2,满足条件的直线l 的斜率范围是(-∞,-1)∪(1
2,+∞).
10.已知直线l 过点P (3,2),且与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,当△AOB 的面积取最小值时,直线l 的方程为 . 答案:2x+3y-12=0
解析:方法1:易知直线l 的斜率k 存在且k<0,则直线l 的方程为y-2=k (x-3)(k<0),则A (3-2
y ,0),B (0,2-3k ),所以S △AOB =1
2(2-3k )(3-2
y )=1
2[12+(-9y )+4
-y ]≥1
2[12+2√(-9y )·4
-y
]=12×(12+2×6)=12,
当且仅当-9k=4-y ,即k=-2
3时等号成立.
所以当k=-23时,△AOB 的面积最小,此时直线l 的方程为y-2=-2
3(x-3),即2x+3y-12=0.
方法2:设直线l 的方程为y y +y y =1(a>0,b>0),将点P (3,2)代入得3y +2y =1≥2√6
yy ,即ab ≥24,当且仅当3
y =2
y ,即a=6,b=4时等号成立,又S △AOB =1
2ab ,
所以当a=6,b=4时,△AOB 的面积最小,此时直线l 的方程为y
6+y
4=1,即2x+3y-12=0.
11.已知直线l过点M(1,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.当|MA|2+|MB|2取得最小值时,求直线l的方程.
解:直线l的斜率为k,则k<0,
直线l的方程为y-1=k(x-1),
则A(1-1
y
,0),B(0,1-k),
所以|MA|2+|MB|2=(1-1+1
y )2+12+12+(1-1+k)2=2+k2+1
y2
≥2+2√y2·1
y2
=4,
当且仅当k2=1
y2
,即k=-1时,|MA|2+|MB|2取得最小值4,此时直线l的方程为x+y-2=0.
高考预测
12.过点A(1,4)引一条直线l,它与x轴、y轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0,b),当a+b取得最小值时,求直线l的方程.
解:(方法一)由题意,设直线l:y-4=k(x-1),且k<0,
则a=1-4
y
,b=4-k.
故a+b=5+(-4
y
-y)≥5+4=9,
当且仅当k=-2时等号成立.
此时直线l的方程为y=-2x+6.
(方法二)设l:y
y +y
y
=1(a>0,b>0).
由于l经过点A(1,4),故1
y +4
y
=1,
则a+b=(a+b)·(1
y +4
y
)=5+4y
y
+y
y
≥9,
当且仅当4y
y =y
y
,即b=2a时等号成立,此时a=3,b=6.
故所求直线l的方程为y
3+y
6
=1,即y=-2x+6.。