高一人教A版高中数学必修第二册《6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的

b
y1
a
x2
x1
x
三、坐标表示
探究
向量的坐标与点的坐标有何区别与联系？
以原点O为起点 作向量a= OA= +
则向量OA 的坐标( x, y )就是终点A的坐标，
反过来，终点A的坐标( x, y )也是向量OA的坐标
若向量a的起点不是原点，由图可知
则终点A' 的坐标( x' , y' )就不是向量a的坐标
a
M
M
C
C
a
a
e1
A
A
e1
e
e1
1
图(1)
e2
O
N
e2
N
B
O
e2
图(2)
B
二、正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作
正交分解．
重力G可以分解为两个分力：
平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F1
垂直于斜面的压力F2
三 坐标表示
我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即
（1）什么是平面向量基本定理？
如果e1 , e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平
面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1 , λ2 , 使a λ1e1 λ2 e2，
我们把{ , }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
（2）已知向量e1，e2，分别作出向量a在e1，e2方向上的分解．
三、坐标表示
a xi yj a ( x, y)
y
提问2
两个向量相等，它们的坐标相同吗？
y2
如图，a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 )
x1 x2
若a b，则
y1 y2
相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量
的起点、终点的坐标却可以不同
思考
实数对“（2，3）”表示什么意思？
点（2，3） 区间（2，3） 向量（2，3）
A' (x' , y' )
三、坐标表示
练习 若向量 i , j 分别是x轴，y轴方向上的单位向量



设OA m2 m 1 i m2 m 2 j (其中 m R )，回答以下问题：
1)若向量 OA 在x轴上，求m的值
在平面直角坐标系中，
设与x轴、y轴方向
它的坐标）表示．那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？
相同的两个单位向量分别为i , j,
取｛i , j｝作为基底，对于平面内的任意一个向量a,
由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x, y,使得
a xi yj
这样，平面内的任一向量a都可由x, y唯一确定
DC＝（3－x，4－y），
（3，
4）
（x, y）
（ - 2，
1）
又 AB＝ DC， ∴（1，2）＝（3－x，4－y）．
1 3 x,
x 2,
即
解得
2 4 y,
y 2.
a＋b＝（x1i＋y1j）＋（x2i＋y2j）
＝ x1i＋x2i＋y1j＋y2j
＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j
a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）
a－b＝（x1－x2，y1－y2）
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）
四、坐标运算
a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）
a－b＝（x1－x2，y1－y2）
高一人教A版高中数学必修第二册课件
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示
【教学目标】
1．类比重力在斜坡的分解，理解向量的正交分解．
2．对给定的向量，能写出其坐标表示．
3．知道向量的坐标表示与点的坐标的区别与联系．
4．能进行向量坐标表示的加、减运算．
一、复习引入
例4 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），你能求出a＋b，
a－b的坐标吗？
解：a＋b ＝（2，1）＋（－3，4）＝（－1，5），
a－b ＝（2，1）－（－3，4）＝（5，－3）．
四、坐标运算
探究 已知A（x1，y1），B（x2，y2），你能得出AB 的坐标吗？
AB＝ OB－ OA
＝（x2，y2）－（x1，y1）
例3 如图，分别用基底{i , j}表示向量a, b, c, d ,
并求出它们的坐标.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：a＝ AA1＋ AA2＝2i＋3j，
所以a＝（2，3）．
同理，b＝－2i＋3j＝（－2，3），
c＝－2i－3j＝（－2，－3），
d＝2i－3j＝（2，－3）．
四、坐标运算
已知a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 )，你能得出a b, a b的坐标吗？
2
2
1 3 3
7

1 7
2
2
2)解： m m 1 m ，m -m -2 m - - 2 4 4
4

2 4
所以，点A的横坐标恒为正，纵坐标可能为正，可能为负，也可能为
零，所以点A位于直角坐标平面的第一，第四象限或者x轴的正半轴
三、坐标表示
＝（x2－x1，y2－y1）
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的
终点的坐标减去起点的坐标
五、典型例题
例5 如图，已知□ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是
（－2，1），（－1，3），（3，4），求顶点D的坐标．
解法1：设顶点D的坐标为（x，y）．
∵ AB＝（－1－（－2），3－1）＝（1，2），（-1，3）
2
三、坐标表示
练习 2）点A位于直角坐标系的第几象限
分析：由OA m 2 m 1 i m 2 m 2 j起点是坐标原点，
所以OA的坐标就是点A的坐标，即A(m 2 m 1, m 2 m 2)
要确定点A在第几象限，等价于判断点A的横坐标和纵坐标
的正负，即求横坐标和纵坐标的取值范围
2)点A位于直角坐标系的第几象限
分析：由OA m m 1 i m m 2 j
2
2
起点是坐标原点，所以OA的坐标就是点A
的坐标，
即
A(m m 1, m m 2)
2
2
1）要使向量OA落在第一象限，即要点A的坐标为零
即m m 2 0，即(m - 2)(m+1)= 0, 解得m 2或m 1
我们把有序数对（x, y）叫做向量a的坐标，记做
a ( x, y )
①
其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，
①叫做向量a的 坐标表示
三、坐标表示
a xi yj a ( x, y)
提问1
请写出i , j ,0的坐标
i =（1，0） j =（0，1） 0 =（0，0）