(北师大版)沈阳市八年级数学上册第一单元《勾股定理》检测题(答案解析)

一、选择题
1．已知一个直角三角形三边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为（ ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．100
2．学习勾股定理后，老师布置的课后作业为“利用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高度”，某数学兴趣小组的做法如下：①将绳子上端固定在教学楼顶部，绳子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m 远处，在绳子与地面的交点处将绳子打结；②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为6m ，此时测得绳结离地面的高度为 1m ，则学校教学楼的高度为（ ）
A ．11 m
B ．13 m
C ．14 m
D ．15 m
3．已知点P 是△ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫△ABC 的费马点（Fermat point ）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC 中，当∠APB ＝∠APC ＝∠BPC ＝120°时，P 就是△ABC 的费马点．若点P 是腰长为6的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD ＋PE ＋PF ＝（ ）
A ．6
B ．()326+
C ．63
D ．9
4．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A ．0.3，0.4，0.5
B ．9，40，41
C ．2，3，4
D ．1，2，3 5．《九章算术》奠定了中国传统数学的基本框架，是中国古代最重要的数学著作之一．其中第九卷《勾股》章节中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”．意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子底部3尺远，问原处还有多高的竹子？（备注：1丈10=尺）这个问题的答案是（ ）
A ．4尺
B ．4.5尺
C ．4.55尺
D ．5尺 6．如图，直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别为3和4，则b 的面积为
（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7 7．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A ．2,3,4a b c ===
B ．5,6,8a b c ===
C ．5,12,13a b c ===
D ．7,15,12a b c ===
8．下列各组数是勾股数的是（ ）
A ．0.3，0.4，0.5
B ．7，8，9
C ．6，8，10
D ．3，4，5 9．下列四组数中，是勾股数的是（ ） A ．5,12,13
B ．4,5,6
C ．2,3,4
D ．1,2,5 10．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，下列条件不能判断△ABC 是直角
三角形的是（ ）
A ．∠
B ＝∠
C +∠A
B ．a 2＝（b +c ）（b ﹣c ）
C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5
D ．a ：b ：c ＝3：4：5 11．如图，在33⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是ABC 的边AC 上的高，则BD 的长为（ ）
A ．52613
B ．102613
C ．13137
D ．71313 12．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm ，现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分()h cm 的取值范围为（ ）
A ．34h <<
B ．34h ≤≤
C ．24h ≤≤
D ．4h =
二、填空题
13．如图所示的长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、4厘米．若一只蚂蚁从A 点出发沿着长方体的表面爬行到棱BC 的中点M 处．则蚂蚁需爬行的最短路程是
_______________厘米．
14．“东方之门”座落于美丽的金鸡湖畔，高度约为301.8米，是苏州的地标建筑，被评为“中国最高的空中苏式园林”．现以现代大道所在的直线为x 轴，星海街所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示的实际距离为100米），东方之门的坐标为4(6,)A -，小明所在位置的坐标为(2,2)B -，则小明与东方之门的实际距离为___________米．
15．如图是“赵爽弦图”，ABH ，BCG ，CDF 和DAE △是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果10AB =，且:3:4AH AE =．那么AH 等于________．
16．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是_________
17．如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 距离C 点5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，则蚂蚁爬行的最短距离是______cm ．
18．定义:两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形，在Rt ABC 中，90,C ∠=,,AB c AC b BC a ===，且b a >，如果Rt ABC 是奇异三角形，那么::a b c =______________.
19．已知等边三角形的边长为2，则其面积等于__________.
20．如图，ABC 中，90C ∠=︒，D 是BC 边上一点，17AB cm =，10AD cm =，8AC cm =，则BD 的长为________.
三、解答题
21．已知ABC ∆中，ACB ∠=90°，如图，作三个等腰直角三角形ACD ∆，EAB ∆，FCB ∆，AB ，AC ，BC 为斜边，阴影部分的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ． （1）当AC =6，BC =8时，
①求1S 的值；
②求4S -2S -3S 的值；
（2）请写出1S ，2S ，3S ，4S 之间的数量关系，并说明理由．
22．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积．
23．如图，在数轴上画出表示17的点（不写作法，但要保留画图痕迹）．
24．在锐角ABC ∆中，∠BAC =45°．
（1）如图1，BD ⊥AC 于D ，在BD 上取点E ，使DE =CD ，连结AE ，F 为AC 的中点，连结EF 并延长至点M ，使FM =EF ，连结CM 、BM ．
①求证：△AEF ≌△CMF ；
②若BC =2，求线段BM 的长．
（2）如图2，P 是△ABC 内的一点，22AB = （即28AB =），AC =3，求2PA +PB +PC 的最小值，并求此时∠APC 的度数．
25．如图1，在ABC 中，17AB =，25AC =，AD 是ABC 的高，且1BD =．
（1）求BC 的长；
（2）E 是边AC 上的一点，作射线BE ，分别过点A ，C 作AF BE ⊥于点F ，CG BE ⊥于点G ，如图2，若22BE =，求AF 与CG 的和．
26．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A 、 B 、C 在小正方
形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC 关于直线l 成轴对称的△A′B′C′；
（2）在直线l 上找一点P(在答题纸上图中标出)，使PB+PC 的长最短，这个最短长度的平方值是___．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，已知三边的平方和可以求出斜边的平方，根据斜边的平方可以求出斜边长．
【详解】
解：∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，
又∵已知三边的平方和为800，则斜边的平方为三边平方和的一半，
即斜边的平方为，800÷2=400，
∴斜边长400，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活应用，考查了勾股定理的定义，本题中正确计算斜边长的平方是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
根据题意画出示意图，设学校教学楼的高度为x ，可得AC AD x ==，()1AB x m =-，
6BC m =，利用勾股定理可求出x ．
【详解】
解：如图，
设学校教学楼的高度为x ，则AD x =，()1AB x m =-，6BC m =，
左图，根据勾股定理得，绳长的平方223x =+，
右图，根据勾股定理得，绳长的平方()2
216x =-+，
∴()2222316x x +=-+， 解得：14x =．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
3．B
解析：B
【分析】
根据题意画出图形，根据勾股定理可得EF ，由过点D 作DM ⊥EF 于点M ，过E 、F 分别作∠MEP =∠MFP =30°就可以得到满足条件的点P ，易得EM =DM =MF ＝32方程求出PM 、PE 、PF ，继而求出PD 的长即可求解．
【详解】
解：如图：等腰Rt △DEF 中，DE =DF =6， ∴22226662EF DE DF =++=
过点D 作DM ⊥EF 于点M ，过E 、F 分别作∠MEP =∠MFP =30°，则
∠EPF=∠FPD=∠DPE=120°，点P 就是马费点，
∴EM =DM =MF ＝32
设PM ＝x ，PE ＝PF=2x ，
在Rt △EMP 中，由勾股定理可得：
222
PM EM PE +=，即()22182x x +=， 解得：16x =26x =-
即PM 6，
∴PE ＝PF ＝26 故DP =DM －PM ＝326-，
则PD +PE +PF =32646-+=3236+=()
3
26+． 故选B ．
【点睛】
此题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用，正确画出做辅助线构造直角三角形进而求出PM 的长是解题关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数，成为勾股数，据此可判断．
【详解】
A ．0.3、0.4、0.5，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；
B ．9、40、41，是正整数，且满足22294041+=，是勾股数，选项正确；
C ．2、3、4，是正整数，但222234+≠，所以不是勾股数，选项正确；
D ．123
故选：B ．
【点睛】
本题考查了勾股数的判定方法，解题关键是要看这组数是否为正整数，且满足最小两个数的平方和等于最大数的平法．
5．C
解析：C
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设原处还有x 尺的竹子，则斜边为（10−x ）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10−x ）尺，
根据勾股定理得：x 2＋32＝（10−x ）2，
解得：x ＝4.55
故选C ．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股
定理解题．
6．D
解析：D
【分析】
根据“AAS”可得到△ABC ≌△CDE ，由勾股定理可得到b 的面积=a 的面积+c 的面积.
【详解】
解：如图
∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ACB=∠DEC ，
∵∠ABC=∠CDE ，AC=CE ，
∴△ABC ≌△CDE ，
∴BC=DE ，
∵AC 2=AB 2+BC 2，
∴AC 2=AB 2+DE 2，
∴b 的面积
=a 的面积+c 的面积
=3+4
=7．
故答案为：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
由勾股定理的逆定理逐一分析各选项，从而可得答案．
【详解】
解：22222223134,a b c +=+=≠= 故A 不符合题意；
22222256618,a b c +=+=≠= 故B 不符合题意；
22222251216913,a b c +=+=== 故C 符合题意；
22222271219315,a c b +=+=≠= 故D 不符合题意；
故选：.C
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角
形．”是解题的关键
8．C
解析：C
【分析】
三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
【详解】
解：A 、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，此选项不符合题意；
B 、不是勾股数，因为72+82≠92，此选项不符合题意；
C 、是勾股数，因为62+82=102，此选项符合题意；
D
故选：C ．
【点睛】
本题考查勾股数的概念，勾股数是指：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方．
9．A
解析：A
【分析】
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】
解：A. ∵5，12，13是正整数，且52+122=132，∴5，12，13是勾股数；
B. ∵42+52≠62，∴4，5，6不是勾股数；
C. ∵22+32≠42，∴2，3，4不是勾股数；
D. ∵∴1
故选A ．
【点睛】
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a ，b ，c 为正整数，且满足a 2+b 2=c 2，那么，a 、b 、c 叫做一组勾股数．
10．C
解析：C
【分析】
由三角形的内角和定理求解B 可判断,A 由勾股定理的逆定理可判断,B 由三角形的内角和定理求解 ,C ∠ 可判断,C 设()30,a k k =≠ 则4,5,b k c k == 利用勾股定理的逆定理可判断.D
【详解】
解：,180,B C A A B C ∠=∠+∠∠+∠+∠=︒
2180B ∴∠=︒，
90B ∴∠=︒，
故A 不符合题意； ()()222,a b c b c b c =+-=-
222,a c b ∴+=
90B ∴∠=︒，
故B 不符合题意； ::3:4:5,A B C ∠∠∠=
51807512
C ∴∠=⨯︒=︒， ABC ∴不是直角三角形，故C 符合题意，
::3:4:5,a b c =
设()30,a k k =≠ 则4,5,b k c k ==
()()()222
222234255,a b k k k k c ∴+=+===
90C ∴∠=︒，
故D 不符合题意， 故选：.C
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 11．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理计算AC 的长，利用割补法可得△ABC 的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：由勾股定理得：AC =
∵S △ABC ＝3×3−
12×1×2−12×1×3−12×2×3＝72， ∴
12AC•BD ＝72， ∴
＝7，
∴BD 故选：D ．
【点睛】 本题考查了勾股定理与三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
12．B
解析：B
根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．
【详解】
①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm ）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线长=2234+=5cm ，高为12cm ，
由勾股定理可得：杯里面管长=22512+＝13cm ，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm ），
∴34h ≤≤
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．
二、填空题
13．【分析】先把长方体展开根据勾股定理求出AM 的长即可【详解】解：长方体部分展开如图所示连接AM 则线段AM 的长就是蚂蚁需爬行的最短路程根据已知数据可得AN=4cmMN=4cmBM=故答案为：【点睛】此题
解析：42
【分析】
先把长方体展开，根据勾股定理求出AM 的长即可．
【详解】
解：长方体部分展开如图所示，连接AM ，则线段AM 的长就是蚂蚁需爬行的最短路程， 根据已知数据可得，AN=4cm ，MN=4cm ，
BM=22224442AN MN +=+=，
故答案为：42．
此题考查了几何体的展开图的应用，以及线段的性质：两点之间，线段最短，解决立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解．
14．【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB 的长度再根据个单位长度表示的实际距离为米求出结果即可【详解】解：如图AC=6-（-2）=8BC=2-（-4）=6∴∴小明与东方之门的实际距离为10×10
解析：1000
【分析】
运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB 的长度，再根据1个单位长度表示的实际距离为100米求出结果即可．
【详解】
解：如图，
AC=6-（-2）=8，BC=2-（-4）=6 ∴2222=6+8=10AB BC AC +
∴小明与东方之门的实际距离为10×100=1000（米）
故答案为：1000．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键． 15．6【分析】根据题意设则可得即可得由勾股定理列方程求出x 的值即可得出结论【详解】解：∵∴设则和是四个全等的直角三角形在中解得：故答案为：6
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用熟练运用勾股定理是解答此题 解析：6
【分析】
根据题意设3AH x =，则可得4AE x =，HE x =，即可得4BH x =，由勾股定理列方
程求出x 的值即可得出结论．
【详解】
解：∵:3:4AH AE =
∴设3AH x =，则4AE x =，HE AE AH x =-=， ABH △，BCG ，CDF 和DAE △是四个全等的直角三角形，
4BH AE x ∴==，
在Rt ABH △中，222AB AH BH =+，
22210(3)(4)x x ∴=+，
解得：2x =．
36AH x ∴==．
故答案为：6．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解答此题的关键．
16．2021【分析】根据勾股定理求出生长了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和结合图形总结规律根据规律解答即可【详解】解：如图由题意得正方形A 的面积为1由勾股定理得正方形B 的面积+正方形C 的面积=1∴
解析：2021
【分析】
根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】
解：如图，
由题意得，正方形A 的面积为1，
由勾股定理得，正方形B 的面积+正方形C 的面积=1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，
故答案为：2021．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么
a 2+
b 2=
c 2．
17．25【分析】要求长方体中两点之间的最短路径最直接的作法就是将长方体侧面展开然后利用两点之间线段最短解答【详解】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形如图1：∵长方体的宽为1 解析：25
【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：
∵长方体的宽为10，高为20，点B 离点C 的距离是5，
∴10515BD CD BC =+=+=，20AD =，
在直角三角形ABD 中，根据勾股定理得： ∴2222152025AB BD AD ；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：
∵长方体的宽为10，高为20，点B 离点C 的距离是5，
∴20525BD CD BC =+=+=，10AD =，
在直角三角形ABD 中，根据勾股定理得：
∴22221025529AB BD AD =+=+=；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：
∵长方体的宽为10，高为20，点B 离点C 的距离是5．
∴201030AC CD AD =+=+=，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴
AB==
∵
25<
∴蚂蚁爬行的最短距离是25．
故答案为：25．
【点睛】
本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
18．1：：【分析】由△ABC为直角三角形利用勾股定理列出关系式c2＝a2＋b2记作①再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形列出关系式2a2＝b2＋c2记作②或2b2＝a2＋c2记
解析：1
【分析】
由△ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式c2＝a2＋b2，记作①，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式2a2＝b2＋c2，记作②，或2b2＝a2＋c2，记作③，联立①②或①③，用一个字母表示出其他字母，即可求出所求的比值．
【详解】
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，
∴根据勾股定理得：c2＝a2＋b2，记作①，
又Rt△ABC是奇异三角形，
∴2a2＝b2＋c2，②，
将①代入②得：a2＝2b2，即a b（不合题意，舍去），
∴2b2＝a2＋c2，③，
将①代入③得：b2＝2a2，即b a，
将b代入①得：c2＝3a2，即c，
则a：b：c＝1．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了新定义的知识，勾股定理．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．
19．【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点即BD=CD在直角三角形ABD中已知ABBD根据勾股定理即可求得AD的长即可求三角形ABC的面积即可解题【详解】等边三角形三线合一即D为BC的中
【分析】
根据等边三角形三线合一的性质可得D 为BC 的中点，即BD=CD ，在直角三角形ABD 中，已知AB 、BD ，根据勾股定理即可求得AD 的长，即可求三角形ABC 的面积，即可解题．
【详解】
等边三角形三线合一，即D 为BC 的中点，
∴BD=DC=1，
在Rt △ABD 中，AB=2，BD=1，
∴AD==3，
∴△ABC 的面积为BC•AD=33
3．
20．9cm 【分析】由可知为直角三角形利用勾股定理可分别计算求得BC 和CD 从而完成BD 求解【详解】∵∴同理∴故答案为：【点睛】本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长 解析：9cm
【分析】 由90C ∠=︒可知ABC 为直角三角形，利用勾股定理，可分别计算求得BC 和CD ，从而完成BD 求解．
【详解】
∵90C ∠=︒ ∴222217815BC AB AC -=-=
同理 22221086CD AD AC =-=-=
∴1569BD BC CD =-=-=
故答案为：9cm ．
【点睛】
本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长．
三、解答题
21．（1）① 9；② 9；（2）4123S S S S =++，见解析
【分析】
（1）①在等腰直角三角形ACD ∆中，根据勾股定理AD =CD =32
②设5BEG S S ∆=，则()45235423++BEA BFC S S S S S S S S S S ∆∆-=+-=--，利用勾股定理
得出52AE BE ==，42CF BF ==即可求解； （2）设5BEG S S ∆=，假设一个等腰直角三角形的斜边为a ，则面积为
214a ，利用勾股定理得出222AC BC AB +=，则
222111444AC BC AB +=，即ABE ADC BFC S S S =+△△△，依此即可求解． 【详解】
解：（1）①ACD ∆是等腰直角三角形，AC =6，
∴AD =CD =32，
11323292
S ∴=⨯⨯=； ②ACB ∠=90°，AC =6，BC =8，
∴AB =10，
EAB ∆和FCB ∆是等腰直角三角形，
∴52AE BE ==，42CF BF ==，
设5BEG S S ∆=
()4523542311++52524242922
BEA BFC S S S S S S S S S S ∆∆-=+-=--=⨯⨯-⨯⨯=；
（2）设5BEG S S ∆=，
如图，等腰直角三角形的面积公式12ABC S AB CD =⋅=214
a ，
∵等腰直角三角形ACD ∆，EAB ∆，FCB ∆，
∴222111,,444
ADC BFC ABE S AC S BC S AB ===△△△， ∵222AC BC AB +=，
∴222111444
AC BC AB +=，即ABE ADC BFC S S S =+△△△， ∴451253S S S S S S +=+++，
∴4123S S S S =++．
【点睛】
本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，有一定难度，解题关键是将勾股定理和直角三角形的面积公式进行灵活的结合和应用．
22．36
【分析】
连接AC，在直角三角形ABC中，根据勾股定理计算得到AC的长度，继而由勾股定理的逆定理求出∠ACD为90°，计算得到四边形的面积即可．
【详解】
连接AC，
在Rt△ABC中，
有AC2=AB2+BC2=4²+3²=25，
又AC>0，
∴AC=5
∵AC2+CD²=52+12²=169=13²=AD²
∴∠ACD=90°，
S四边形ABCD= 1
2
AB×BC+
1
2
AC×CD=36.
【点睛】
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABC和△CAD 的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
23．答案见解析．
【解析】
试题分析：根据勾股定理，作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是17；再以原点为圆心，以17为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求．
试题
所画图形如下所示，其中点A即为所求．
【点睛】本题考查勾股定理及实数与数轴的知识，要求能够正确运用数轴上的点来表示一个无理数，解题关键是构造直角三角形，并灵活运用勾股定理．
24．（1）①见解析；②2229，此时∠APC=90°
【分析】
（1）①根据SAS证明△AEF≌△CMF即可；
②证明△BCM 是等腰直角三角形，由勾股定理求解即可；
（2）将△APB 绕点A 逆时针旋转 90°得到△AFE ，连接FP 、CE ，推荐2FP AP =，∠
EAC =135°，作 EH ⊥CA 交 CA 的延长线于H ，求得EH =AH =2，CH =5，在Rt △EHC 中，可得29CE =，由点C 、P 、F 、E 四点共线时，2PA +PB +PC 的最小值为CE ，故可得结论．
【详解】
（1）①∵F 为AC 的中点，
∴AF =CF
在△AEF 和△CMF 中
EF FM AFE CFM AF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AEF ≌△CMF
②由（1）得△AEF ≌△CMF ，
∴AE =CM ，∠DAE =∠FCM ，
∵BD ⊥AC ，∠BAC =45°，
∴AD =BD
在△AED 和△BCD 中
90DE DC ADE BDC AD BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△AED ≌△BCD ，．
∴AE =BC ，∠DAE =∠DBC ，
∴BC =CM ，∠FCM =∠DBC ，
∵∠BCF +∠DBC =90°，
∴∠BCF +∠FCM =90°，
∴△BCM 是等腰直角三角形，
由勾股定理得，22448(22)BM BC CM =+=+=或
（2）将△APB 绕点A 逆时针旋转 90°得到△AFE ，连接FP 、CE ，
易知△AFP 是等腰直角三角形，
∴2FP AP ，∠EAC =135°，
作 EH ⊥CA 交 CA 的延长线于 H ．
在Rt △ EAH 中，228AE AB == ，
∵∠H =90° ， ∠EAH =45°，
∵222EH AH AE +==8，
∴EH =AH =2，
∴CH =5，
在 Rt △EHC 中，2242529CE EH CH =+=+=
∵2PA+PB +PC =FP +EF +PC ≥CE ，
∴点C 、P 、F 、E 四点共线时，2PA +PB +PC 的最小值为CE ，
此时，∠AFP+∠AFE=90°，∠BPC +∠APF=180°，
∵∠AFP=∠APF=45°，
∴∠AFE=∠BPC=135°，
∴∠APB=∠BPC=135°
∴∠APC =360°-135°-135°=90°
∴2PA +PB +PC 的最小值为29，此时∠APC =90°
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中点的性质，勾股定理，判断出两对三角形全等是解本题的关键．
25．（1）3；（2）32．
【分析】
（1）根据勾股定理可求AD ，再根据勾股定理可求CD ，根据BC=BD+CD 即可求解； （2）根据三角形面积公式可求AF 与CG 的和．
【详解】
（1）在Rt △ABD 中，∠ADB=90︒，由勾股定理得：
AD=()22221174AB BD -=-=，
在Rt △ACD 中，∠ADC=90︒，由勾股定理得：
CD=()22222542AC AD -=-=，
∴BC=BD+CD=1+2=3，
∴BC 的长为3；
（2）∵AF ⊥BE ，CG ⊥BE ，BE=22， ∴1122∆∆∆=+=
⋅+⋅ABC ABE BCE S S S BE AF BE CG ， =1()2
⋅+BE AF CG ， =2()AF CG +， 而12∆=
⋅ABC S BC AD =134=62⨯⨯， ∴AF CG +==322
， 即AF 与 CG 的和为32．
【点睛】
本题考查了勾股定理、三角形面积法的应用，正确运用勾股定理是解题的关键． 26．（1）见解析；（2）图见解析，13
【分析】
（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称求最短路线求法得出P 点位置．
【详解】
（1）分别找到各点的对称点，顺次连接可得△A ′B ′C ′．
（2）连接B 'C ，则B 'C 与l 的交点即是点P 的位置，求出PB +PC 的值即可．
【解答】
解：（1）如图所示：
（2）如图所示：连接B′C，与直线l交于点P，此时PB+PC最短，
PB+PC＝PB'+PC＝B'C22
13
23
则这个最短长度的平方值是13．
【点睛】
本题考查了轴对称作图及最短路线问题，以及勾股定理，解答本题的关键是掌握轴对称的性质，难度一般．。