用待定系数法求二次函数的解析式(作课).ppt

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结
求二次函数解析式的一般方法：
已知图象上三点或三组对应值，
通常选择一般式 已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标 通常选择顶点式 已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2和另一个点的坐标
通常选择交点式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地 选用一种函数表达式，
作业：
二次函数y=ax2+bx+c的解析式中有几个待定系数？ 需要图象上的几个点才能求出来？
• 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待 定系数a，b，c的值。 • 由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标） 列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就 可以写出二次函数的解析式。
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、
思考： 二次函数y=a(x-h)2+k的解析式中有几个待定系数？需要知 道图象上的几个点才能求出来？如果知道图象上的顶点坐 标为A(1,-1)和点B（2，1），两个点能求出它的解析式吗？ • 若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐 标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k. 特别地，当抛物线的顶点为原点时，h=0,k=0,可设 函数的解析式为 y=ax2. 当抛物线的对称轴为y轴时，h=0,可设函数的解析 式为 y=ax2+k. 当抛物线的顶点在x轴上时，k=0，可设函数的解 析式为 y=a(x-h)2.
已知抛物线与x轴的交点 或交点横坐标时，通常 设为交点式（两根式）
练习：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5， 0)两点，它的对称轴为直线x＝2，那么这个二次函数的解析式 y=(x-5)(x+1),即y=x2-4x-5 是____________ ___。
分析：因为抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称， 又B(5，0)关于直线x＝2的对称点坐标为（-1,0），所以可以设为交 点式，类似例3求解，当然也可以按一般式求解。
2 y (x 1) 4即y x2 2x 3
3、已知抛物线与x轴的两个交点为A(-3，0)、B(1，0)，又经 过点C(2，5)，求其解析式。 交点式： y a( x x1 )( x x2 )
y (x 3)(x 1) 即y x2 2x 3
应 用
应 用
例4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系 里(如图所示)，求抛物线的解析式． 解：设抛物线为y=ax(x-40 ）
根据题意可知 ∵ 点(20，16)在抛物线上， 评价
选用两根式求解， 方法灵活巧妙，过 程也较简捷
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1、一个二次函数，当自 变量x 0时，函数值y 1， 1 当x 2与 时，y 0.求这个二次函数的解析 式。 2 2、一个二次函数的图象 经过（0， 0），（ 1， 1 ）， （ 1， 9）三点，求这个二次函 数的解析式。
解此方程或方程组，求待定系数
一次函数的解析式为y=3x-6.
将求出的待定系数还 原到解析式中
二次函数解析式有哪几种表达式？ • 一般式：y=ax2+bx+c • 顶点式：y=a(x-h)2+k • 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
一般式y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0)
思考：
课
y
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已知图象上三点或三组对应值， 通常选择 一般式y=ax2+bx+c; 已知图象的顶点坐标或对称轴或最值 通常选择 顶点式y=a(x-h)2+k，
求二次函数解析式的一般方法：
x
o
已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2， 或与X轴的一交点坐标与对称轴 通常选择 交点式（两根式）y=a(x-x1)(x-x2) 。
（2,7）三点，求这个函数的解析式 解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c（a≠0）
设 代 解
还原 变式1:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时 ,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.
a-b+c=10 由条件得： a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程组得： a=2, b=-3, c=5 因此：所求二次函数是： y=2x2-3x+5
变式2：已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3 时有最大值4，求出对应的二次函数解析式；
y=-7(x-3)2+4 即y=-7x2+42x-59
已知条件中的当x=3时有最大值4 也就是抛物线的顶点坐标为（3,4）， 所以设为顶点式较方便
已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5） 对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？ 思考：怎样设二次函数关系式
例3：已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0， -3），求出对应的二次函数解析式。
解：设所求的二次函数为y=a(x-x1)(x-x2) 由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3， ∴y=a(x-1)(x-3), 又过（0，-3）， ∴ a(0-1)(0-3)=-3, ∴a=-1 ∴ y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3
例4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系 里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c， 根据题意可知 抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点 可得方程组 评价 通过利用给定的条件
列出a、b、c的三元 一次方程组，求出a、 b、c的值，从而确定 函数的解析式． 过程较繁杂，
• 已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求 这个一次函数的解析式。 设出函数的解析式 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0), 因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12）， k+b=3 所以 根据所给条件，将已知点坐标代入 -2k+b=-12 解得 k=3，b=-6
函数解析式中，得到关于解析式中 待定系数的方程（组）
• 课本P15 习题26.1 第9题（1）、第10题。
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式，
反馈练习
1、求经过有三点A（-2，-3），B（1，0），C（2，5）的二次 函数的解析式. 2 y=ax +bx+c 一般式：
y x2 2x 3
2、已知抛物线的顶点为D(-1，-4)，又经过点C(2，5)，求其 解析式。 顶点式： y a( x h) 2 k
应 用
例4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系 里(如图所示)，求抛物线的解析式． 解：设抛物线为y=a(x-20)2＋16
根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上， 评价
通过利用条件中的顶 点和过原点选用顶点 式求解， 方法比较灵活
∴ 所求抛物线解析式为
解： 设所求的二次函数为 y=a(x-1)2+k
y ( x 1)2 4即y x2 2x 3
交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数a≠0） • 当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时， 二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式y=a(xx1)(x-x2).因此当抛物线与x轴有两个交点为 （x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为y=a(xx1)(x-x2)，再把另一个点的坐标代入其中，即 可解得a，求出抛物线的解析式。
解：设所求的二次函数 为y ax2 bx c,由题意得：
｛
解得，a 2, b 3, c 5 所求的二次函数是 y 2x 2 3x 5
a b c 10 abc 4 4a 2b c 7
顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数，a≠0).
例2：已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)，求 出对应的二次函数解析式 解：设所求的二次函数为y=a(x-h)2+k（a≠0） 已知抛物线的顶点与 抛物线上另一点时， ∵顶点是（1，2） 通常设为顶点式 2 ∴y=a(x-1) +2， 又过点（2，3） ∴a(2-1)2+2=3，∴a=1 ∴ y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3
22.1.4 用待定系数法求二次函数的解析式
学习目标：
1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究， 掌握求解析式的方法。
2、能灵活地根据条件恰当地选取解析式，体会二次 函数解析式之解析式。 学习难点：灵活地根据条件恰当地选取解析式。
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