广东省东莞市高三数学模拟试题(一)(东莞一模)文 新人

PABCD 1图东莞市2014届高三文科数学模拟试题(一)命题：陈千明 审稿与校对：彭启虎、朱广智一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2|560A x x x =--<，{}|2B x x =<，则()R A C B ⋂=（ ） A ．()1,2- B ．[)1,2- C ．()2,6 D ．[)2,62. 已知回归直线的斜率的估计值是1.2，样本点的中心为()4,5，则回归直线方程是（ ） A ． 1.24y x ∧=+ B ． 1.25y x ∧=+ C ． 1.20.2y x ∧=+ D ．0.95 1.2y x ∧=+ 3．已知)2 , 1(-=，52||=，且//，则=A ．)4 , 2(-B ．)4 , 2(-C ．)4 , 2(-或)4 , 2(-D ．)8 , 4(- 4．a 、R b ∈，“b a ≠”是“ab b a 222>+”成立的 A ．充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件5．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ） A ．48 B ．56 C ．64 D ．726．定义某种运算a S b =⊗，运算原理如上图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫ ⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ） A ．4B ．8C ．11D ．137．已知函数()sin()32mf x x π=+-在[]0,π上有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3,2⎡⎤⎣⎦ B ．)3,2 C ．3,2⎤⎦ D ．3,2⎤⎦8．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ，若,,A B C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．10D ．139．已知(2,1)A ，(1,2)B -，31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，动点(,)P a b 满足02OP OA ≤⋅≤u u u r u u u r 且02OP OB ≤⋅≤u u u r u u u r ，则点P 到点C 的距离大于14的概率为（ ）A ．5164π-B ．564πC ．116π-D ．16π 10．设函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈都有'()()f x f x >成立，则（ ） A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B. 3(ln 2)2(ln3)f f =C. 3(ln 2)2(ln3)f f <D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定 二、填空题：（本大共4小题,每小题5分,满分30分 ） （一）必做题（11-13题） 11．在复平面内，复数103ii-对应的点的坐标为___________． 12．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个的样本个体的编号是 …（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 5413．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第．．1．层．），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推． （1） 试问第n 层()2n N n *∈≥且的点数为___________个；频率/组距寿命（h)0.0020.004O1002003004005006000.001y 0（2） 如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有_____层． （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程）已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为1cos =θρ，)20,0(cos 4πθρθρ<≤≥=则曲线1C 与2C 交点的极坐标．．．为 ． 15.（几何证明选讲选做题）如图，已知PC 、DA 为⊙O 的切线，C 、A 分别为切点，AB 为⊙O 的直径，21,2==DP CD DA ，则=AB ． 三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）设函数()f x m n =⋅u r r，其中向量()2cos ,1m x =u r ，()cos ,3sin 2n x x =r ，x R ∈．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知()2,1f A b ==，ABC ∆的面积为3，求c 的值． 17. （本小题满分12分）对某电子元件进行寿命追踪调查，所得情况如右 频率分布直方图.（1）图中纵坐标0y 处刻度不清，根据图表所提供的数据还原0y ；（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取20个元件，寿命为100~300之间的应抽取几个；（3）从（2）中抽出的寿命落在100~300之间的元件中任取2个元件，求事件“恰好有一个寿命为100~200，一个寿命为200~300”的概率. 18. （本小题满分14分）如图，已知四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形， 且1,2,2,45,90===︒=∠︒=∠PA AB CB ABC DAB .yxF 2 F 1NMPO（1）求证：//AB 平面PCD ； （2）求证：⊥BC 平面PAC ；（3）若M 是PC 的中点，求三棱锥MAD C -的体积.19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 中，)(3,1*11N n a a a a n nn ∈+==+. （1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足n n nn a nb ⋅⋅-=2)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式12)1(-+<-n n n n T λ对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围.20．（本小题满分14分）（1）已知定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N 满足1=ON （O为坐标原点），NM M F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，01=⋅PNM F ，求点P 的轨迹方程.（2）如图，已知椭圆14:22=+y x C 的上、下 顶点分别为B A 、，点P 在椭圆上，且异于点B A 、，直线BP AP 、与直线2:-=y l 分别交于点N M 、，（ⅰ）设直线BP AP 、的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅为定值； （ⅱ）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．21．（本小题满分14分）已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）． （1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（2）设0a >，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（3）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．东莞市2014届高三文科数学模拟试题(一)参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：（本大共4小题,每小题5分,满分30分 ）11．()1,3- 12．550 13．(1)()61n - （3分） (2)8（2分） 14. )3,2(π15. 34. 三、解答题（本大题共6小题，满分80分。

） 16．（本小题满分12分）解：（1）2()2cos 2f x x x =+=cos 221x x ++=2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭+12⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 令-222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈4⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 解得-2,366k x k k Z πππππ+≤+≤+∈故()f x 的单调递增区间为()-,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦6⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分注：若没写k Z ∈，扣一分（2）由()2sin 2126f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭7⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 而()0,A π∈，所以132,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以5266A ππ+=得3A π=10⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 又1sin 2ABC S bc A ∆=，所以22sin ABC Sc b A∆===12⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分17. （本小题满分12分）解（1）根据题意：00.00110021000.0021000.0041001y ⨯+⨯+⨯+⨯= 解得00.0015y =………………………………3分（2）设在寿命为100~300之间的应抽取x 个，根据分层抽样有：()0.0010.001510020x=+⨯………………………5分解得：5x =所以应在寿命为100~300之间的应抽取5个………………………………7分（3）记“恰好有一个寿命为100~200，一个寿命为200~300”为事件A ，由（2）知 寿命落在100~200之间的元件有2个分别记12,a a ，落在200~300之间的元件有 3个分别记为：123,,b b b ，从中任取2个球，有如下基本事件： ()()()()12111213,,,,,,,a a a b a b a b ，()()()212223,,,,,a b a b a b ， ()()()121323,,,,,b b b b b b ，共有10个基本事件………9分事件A “恰好有一个寿命为100~200，一个寿命为200~300”有：()()()111213,,,,,a b a b a b ，()()()212223,,,,,a b a b a b 共有6个基本事件………10分63()105P A ∴==……………………………11分 答：事件“恰好有一个寿命为100~200，另一个寿命为200~300”的概率为35.……………12分 18. （本小题满分14分）解:（1）Θ底面ABCD 是直角梯形，且︒=∠90DAB ,ο45=∠ABC∴AB CD P ， ……… 1分又AB ⊄平面PCD ………… 2分CD ⊂平面PCD ………… 3分∴AB ∥平面PCD ………… 4分 （2）Θο45=∠ABC ， 2=CB ，2=AB︒⋅⋅-+=∴45cos 2222BC AB BC AB AC2222224⋅⋅⋅-+=2= …………… 5分则222AC BC AB +=∴BC AC ⊥ ………… 6分ΘPA ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD∴PA BC ⊥ ………… 7分C又PA AC A ⋂= …………8分∴BC ⊥平面PAC ………… 9分 （3）在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AB ⊥于点E ，则四边形ADCE 为矩形，ECAD DC AE ==∴,………… 10分 在CEB Rt ∆中可得122245cos =⨯=︒⋅=BC BE122245sin =⨯=︒⋅=BC CE 112=-=-=∴BE AB AE故21112121=⨯⨯=⋅=∆CE DC S ADC ……… 11分 ∵M 是PC 中点，∴M 到面ADC 的距离是P 到面ADC 距离的一半 ………… 12分 ∴121212131)21(31=⨯⨯=⋅==∆--PA S V V ACD ACD M MAD C …………14分19. （本小题满分14分） 解：（1）由*111,()3n n n a a a n N a +==∈+知，11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又111311,222n a a ⎧⎫+=∴+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，3为公比的等比数列，111332=3,22231n n n nn a a -∴+⨯=∴=- ……………………………… 6分 （2）12-=n n n b ， 122102121)1(213212211--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T Λ n n n n n T 2121)1(2122112121⨯+⨯-++⨯+⨯=-Λ ， 两式相减得n n n n n n T 222212121212121210+-=⨯-++++=-Λ， 1224-+-=∴n n n T …………………………………………………… 9分1224)1(--<-∴n n λ…………………………………………………………10分若n 为偶数，则3,2241<∴-<∴-λλn ……………………………………11分若n 为奇数，则2,2,2241->∴<-∴-<-∴-λλλn ……………………13分32<<-∴λ …………………………………………………… 14分20. （本小题满分14分）解：（1）连接ON ∵NM M F 21= ∴点N 是MF 1中点 ∴|MF 2|=2|NO|=2∵01=⋅PN M F ∴F 1M ⊥PN ∴|PM|=|PF 1| ∴|∣PF 1|-|PF 2∣|=||PM|-|PF 2||=|MF 2|=2＜|F 1F 2|由双曲线的定义可知：点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线.点P 的轨迹方程是1322=-y x ……………………………………… 4分 （2）（ⅰ）)1,0(A Θ，)1,0(-B ，令),(00y x P ，则由题设可知00≠x ，∴直线AP 的斜率0011x y k -=，PB 的斜率0021x y k +=， 又点P 在椭圆上，所以142020=+y x （00≠x ）， 从而有411112020000021-=-=+⋅-=x y x y x y k k . …………………… 8分 （ⅱ）设点(,)Q x y 是以MN 为直径的圆上任意一点，则0QM QN ⋅=u u u u r u u u r，又易求得13(,2)M k --、21(,2)N k --. 所以13(,2)QM x y k =++u u u u r 、21(,2)QN x y k =++u u u r .故有1231()()(2)(2)0x x y y k k +⋅++++=.又1214k k ⋅=-，化简后得到以MN 为直径的圆的方程为22113(2)12(4)0x y k x k ++-+-=.…………11分 令22(2)120x x y =⎧⎨++-=⎩，解得02x y =⎧⎪⎨=-+⎪⎩或02x y =⎧⎪⎨=--⎪⎩………13分所以以MN为直径的圆恒过定点(0,2-+或(0,2--.…………14分21．（本小题满分14分）解：（1）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--，令()0f x '=，得x a =或3a，而()g x 在12a x -=处有极大值，∴112a a a -=⇒=-或1323a a a -=⇒=；综上：3a =或1a =-．……3分 （2）假设存在，即存在(1,)3a x ∈-，使得22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+2()[(1)1]0x a x a x =-+-+>，当(1,)3a x ∈-时，又0a >，故0x a -<，则存在(1,)3a x ∈-，使得2(1)10x a x +-+<， ……………………………4分1o当123a a ->即3a >时，2(1)1033a a a ⎛⎫⎛⎫+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得332a a ><-或，3a ∴>； ………………………………5分2o当1123a a--≤≤即03a <≤时，24(1)04a --<得13a a <->或，……6分 a ∴无解；综上：3a >． ………………………………7分（3）据题意有()10f x -=有3个不同的实根，()10g x -=有2个不同的实根，且这 5个实根两两不相等．（ⅰ）()10g x -=有2个不同的实根，只需满足1()1132a g a a ->⇒><-或； …………8分11 （ⅱ）()10f x -=有3个不同的实根，1o 当3a a >即0a <时，()f x 在x a =处取得极大值，而()0f a =，不符合题意，舍； ………………………………9分2o 当3a a =即0a =时，不符合题意，舍； 3o 当3a a <即0a >时，()f x 在3a x =处取得极大值，()132a f a >⇒>；所以2a >； …………………………10分 因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故2a >（注：343>a 也对）………11分 下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在0x 使得0()10f x -=和0()10g x -=同 时成立.若存在0x 使得00()()1f x g x ==，由00()()f x g x =，即220000(1)x x a x a x a -=-+-+（），得20000(1)0x a x ax x --++=（），当0x a =时，00()()0f x g x ==，不符合，舍去；当0x a ≠时，既有200010x ax x -++= ①；又由0()1g x =，即200(1)1x a x a -+-+= ②； 联立①②式，可得0a =；而当0a =时，32()[()1][()1](1)(1)0H x f x g x x x x =-⋅-=----=没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．综上，当2a >时，函数()y H x =有5个不同的零点． …………14分。