2021-2022学年山东省临沂市高一下学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省临沂市高一下学期期末数学试题
一、单选题
1．若复数()1i 1i z -=+，则z =（ ） A ．
22
B ．1
C ．2
D ．2
【答案】B
【分析】由复数的除法运算求出复数z ，然后根据复数模长公式即可求解. 【详解】解：因为复数()1i 1i z -=+，
所以()2
1i 1i 2i i 1i 22z ++====-， 所以1z =， 故选：B.
2．sin70sin 40sin50cos110︒︒-︒︒=（ ） A ．12
B ．12
-
C ．
32
D ．32
-
【答案】C
【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】sin50sin(9040)cos 40︒=︒-︒=︒；
cos110cos(18070)cos70︒=︒-︒=-︒； ∴原式sin70sin 40cos40cos70︒︒+︒︒= ()3cos 7040cos302
=︒-︒=︒=
. 故选：C
3．某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率如图（1）和图（2）所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取25%的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）
A ．200，16
B ．200，18
C ．240，16
D ．240，18
【答案】A
【分析】根据图（1）可得样本容量及抽取的四居室户主人数，再结合图（2）可得抽取的户主对四居室满意的人数.
【详解】由图（1）得该小区户主总人数为240400160800++=人， 所以样本容量为80025%200⨯=人， 其中四居室户主有16025%40⨯=人，
由图（2）得抽取的户主中对四居室满意的有4040%16⨯=人， 故选：A.
4．考虑掷硬币试验，设事件A =“正面朝上”，则下列论述正确的是（ ） A ．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为1
3
B ．掷8次硬币，事件A 发生的次数一定是4
C ．重复掷硬币，事件A 发生的频率等于事件A 发生的概率
D ．当投掷次数足够多时，事件A 发生的频率接近0.5 【答案】D
【分析】根据随机事件的性质可判断A ，B ；根据频率与概率的关系可判断C ，D. 【详解】掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率111
2222
P =⨯⨯=，A 错误；
掷8次硬币，事件A 发生的次数是随机的，B 错误；
重复掷硬币，事件A 发生的频率无限接近于事件A 发生的概率，C 错误； 当投掷次数足够多时，事件A 发生的频率接近0.5，D 正确. 故选：D
5．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A ．若m α，m n ⊥，则n α⊥
B ．若m α，βα⊥，则m β
C ．若m α，n α⊥，则m ⊥n
D ．若m α，m β⊥，则αβ∥
【答案】C
【分析】对于选项A ：结合已知条件和线面垂直判定定理即可判断；对于选项B ：结合已知条件利用线面位置关系即可判断；对于选项C ：结合已知条件利用线面垂直性质即可判断；对于选项D ：结合已知条件利用面面垂直判定定理即可判断. 【详解】若m α，不妨设m 在α内的投影为'm ，则'm m ，
对于选项A ：若m α，m n ⊥，则'n m ⊥，结合线面垂直判定定理可知，n 不一定垂直
α，故A 错误；
对于选项B ：若m α，βα⊥，此时m 与α可能相交、平行或m 在α上，故B 错误； 对于选项C ：若m α，n α⊥，则'n m ⊥，从而m n ⊥，故C 正确；
对于选项D ：若m α，m β⊥，则'm β⊥，结合面面垂直判定定理可知，αβ⊥，故D 错误. 故选：C.
6．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为
23
π
的扇形，则该屋顶的体积约为（ ）
A ．2π
B ．16π
C ．18π
D ．182π
【答案】D
【分析】根据底面圆面积可求底面圆半径，从而可求底面圆周长，即可求扇形半径，再根据勾股定理求圆锥的高，最后即可求出圆锥体积. 【详解】底面积为9π，即29r ππ=， 所以底面圆的半径3r =, 所以底面圆周长为236ππ⨯=， 即圆锥侧面展开图的弧长6l π=， 又因为侧面展开图是圆心角为
23
π
的扇形， 所以扇形半径
6923
R π=
=π，
如图所示：则圆锥的高227262h R r =-==， 则圆锥的体积2
13621823
V ππ=⨯⨯⨯=.
故选：D
7．已知在边长为2的等边ABC 中，向量a ，b 满足AB a =，BC a b =+，则b =（ ） A ．2 B ．22
C ．23
D ．3
【答案】C
【分析】由向量加法的平行四边形法则可知2b BD =，只需求线段BD 长度即可得出结论.
【详解】如图所示：
设点D 是AC 的中点，
由题可知：b =BC AB BC BA -=+2BD = 21222123b BD ∴==-故选：C.
8．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进60m 到达点B ，在点B 处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（ ） A ．25m B ．30m
C ．35m
D ．40m
【答案】B
【分析】如图所示，设水柱CD 的高度为h ，在Rt △ACD 中，由∠DAC =45°，可得AC =h ，由∠BAE =30°，可得∠CAB =60°，在Rt BCD 中，∠CBD =30°，可得BC 3h ，在ABC
中，由余弦定理可得2222cos60BC AC AB AC AB =+-⋅，代入即可得答案． 【详解】解： 如图所示，
设水柱CD 的高度为h ，
在Rt △ACD 中，∵∠DAC =45°，∴AC =h ， ∵∠BAE =30°，∴∠CAB =60°， 又∵B ，A ，C 在同一水平面上，
∴BCD △是以C 为直角顶点的直角三角形， 在Rt BCD 中，∠CBD =30°，∴BC 3h ，
在ABC 中，由余弦定理可得2222cos60BC AC AB AC AB =+-⋅， ∴
)
2
221
3602602
h
h h =+-⨯⨯⨯，即23018000h h +-=，解得30h =．
∴水柱的高度是30m ， 故选：B.
二、多选题
9．已知复数：满足()i 12i z -=，则（ ） A ．2z =B ．z 的虚部为i -
C ．z 的共轭复数为1i z =-+
D ．z 是方程2220x x +=-的一个根
【答案】AD
【分析】由复数除法的运算法则求出z ，然后根据复数的相关概念，以及复数的模长公式和复数范围内方程根的求法即可得答案. 【详解】解：因为()i 12i z -=，所以()2i 1i 2i 1i i 12
z --=
==--， 对A ：()2
2112z =+-A 正确； 对B ：z 的虚部为1-，故选项B 错误； 对C ：z 的共轭复数为1i z =+，故选项C 错误；
对D ：因为方程2220x x +=-1i =±， 所以z 是方程2220x x +=-的一个根，故选项D 正确. 故选：AD.
10．某学生5次考试的成绩（单位：分）分别为85，69，m ，80，91，其中0m >.若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则5次考试成绩的平均数可能为（ ） A ．76 B ．80 C ．81 D ．85
【答案】ABC
【分析】根据中位数、平均数等知识确定正确选项.
【详解】一共有5个分数，从小到大排列，第3个是中位数，依题意可知，中位数是80， 比80大的有85,91两个数，所以080m <≤， 这5个分数的平均值为8569809132565555
m m m
+++++==+，
由于0165m <
≤，所以6565815
m
<+≤， 所以ABC 选项符合题意. 故选：ABC
11．盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A ＝“两个球颜色相同”，B ＝“第1次取出的是红球”，C ＝“第2次取出的是红球”，D ＝“两个球颜色不同”．则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 相互独立 B ．A 与D 互为对立 C ．B 与C 互斥
D ．B 与D 相互独
立
【答案】ABD
【分析】设2个红球为1a ，2a ，2个白球为1b ，2b ，运用列举法得出样本空间，及事件A 、B 、C 、D ，根据事件相互独立、互斥、对立的概念，逐一判断可得选项. 【详解】解：设2个红球为1a ，2a ，2个白球为1b ，2b ，则样本空间为
()()()()()()()()()()()(){}
121112212122111212212221,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a b a b a a a b a b b a b a b b b a b a b b Ω=，
共12个基本事件，
事件()()()(){}12122121,,,,,,,A b b a a b b a a =，共4个基本事件；
事件()()()()()(){}121112212122,,,,,,,,,,,B a a a b a b a a a b a b =，共6个基本事件； 事件()()()()()(){}211121121222,,,,,,,,,,,C a a b a b a a a b a b a =，共6个基本事件；
事件()()()()()()()(){}1112212211122122,,,,,,,,,,,,,,D a b a b a b a b b a b a b a b a =，共8个基本事件； A ．由于()41123P A =
=，()61122
P B ==，()21
126P A B ⋅==，故()()()P A P B P A B ⋅=⋅成立，所以A 与B 相互独立，故A 正确；
B ．由于A D ⋂=∅，A D =Ω，故A 与D 是对立事件，故B 正确；
C ．由于B C ≠∅，故B 与C 不互斥，故C 不正确；
D ．由于()82123
P D =
=，()1
2P B =，()41123P B D ⋅==，故()()()P B P D P B D ⋅=⋅成立，
所以B 与D 相互独立，故D 正确. 故选：ABD.
12．已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则（ ） A
．棱台的高为B
．棱台的表面积为
C
D ．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦
值为
3
【答案】BD
【分析】由题意，在正三棱台111ABC A B C -中，在平面11ABB A 中，由点1A 向AB 作垂线，垂足为D ，取线段BC 的中点E ，连接AE ，在平面1AEA 中，由点1A 向AE 作垂线，垂足为F ，连接DF ，根据正三棱台的性质求出侧面的高与棱台的高，再根据线面角与二面角的定义即可求解．
【详解】解：由题意，在正三棱台111ABC A B C -中，116A B =，12AB =，16AA =，在平面11ABB A 中，由点1A 向AB 作垂线，垂足为D ，取线段BC 的中点E ，连接AE ，在平面1AEA 中，由点1A 向AE 作垂线，垂足为F ，连接DF ， 在等腰梯形11ABB A 中，12AB =，
116B A =，16AA =，则126
32
AD -==
，1A D
所以棱台的表面积为2213(612)6122⨯+⨯=选项B 正确； 又三棱台为正三棱台，所以1A F 为正三棱台111ABC A B C -的高， 所以1A F AB ⊥，由111A F A D A ⋂=，所以AB ⊥平面1A DF ，AB DF ⊥，
在Rt ADF
中，cos
6
AD AF π
=
=
在1Rt A AF 中，()2
2221162326A F AA AF =-=-=，
所以棱台的高为26，故选项A 错误；
棱台的侧棱与底面所成角为1A AE ∠，11233
cos AF A AE AA ∠=
=选项C 错误； 棱台的侧面与底面所成二面角为1A DF ∠，11126sin 32
32A F A DF A D ∠=，故选项D 正确. 故选：BD ．
三、填空题
13．甲、乙两人打把，已知甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.7，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为______. 【答案】0.88
【分析】由题意，该靶子被击中有三种情况：甲击中而乙没有击中；乙击中而甲没有击中；甲乙都击中，从而由相互独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率加法公式即可求解.
【详解】解：因为甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.7， 所以甲、乙分别向同一靶子射击一次，该靶子被击中的概率
()()0.610.70.710.60.60.70.88P =⨯-+⨯-+⨯=，
故答案为：0.88.
14．如图，正方形1111D C B A 是一水平放置的平面图形ABCD 在斜二测画法下的直观图.若113A B =，则平面图形ABCD 的面积是______.
【答案】182
【分析】根据斜二测画法的特点即可得出结论.
【详解】由斜二测画法的规则知与1x 轴平行或重合的线段与x 轴平行或重合，其长度不变，所以3AB =,
与1y 轴平行或重合的线段与y 轴平行或重合，其长度变成原来的一半. 正方形的对角线在1y 轴上，可求得其长度为223332+=，
如图所示：平面图中，AC 在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，即62AC =.
则平面图形ABCD 的面积362182S =⨯=故答案为：18215．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒.若24m n +=，则m n
+=______.
【答案】22【分析】根据2sin18m =︒，24m n +=2cos18n =︒m n
+.
【详解】解：因为2sin18m =︒，24m n +=，
所以222444sin 184cos 18n m =-=-︒=︒2cos18n =︒， 2sin18132cos 8sin 6m n ︒+︒+=︒()22451822sin 63︒+︒==︒
故答案为：2216．如图，四个边长为1的等边三角形有一条边在同一条直线上，边44B C 上有10个不
同的点1P ，2P ，…，10P ，记()21
,2,3,,10i i m AB AP i =⋅=⋅⋅⋅，则1210m m m ++⋅⋅⋅+=______.
【答案】60
【分析】建立坐标系，求出直线44B C 的方程，利用坐标法表示数量积即可求解. 【详解】以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建系，如图所示：
可得：233(2B ，353()2B ，473
(2B ，4(4,0)C ，
直线44B C 的方程为：3(4)y x =-， 可设：(,)i i i P x y 343i i x y += 即有：26333
(23)i i i i i i m AB AP x y x y =⋅=
+==， 121061060m m m ∴++⋅⋅⋅+=⨯=.
故答案为：60
四、解答题
17．某数学学习小组有男同学3名（记为1a ，2a ，3a ），女同学2名（记为1b ，2b ）、现从中随机选出2名同学去参加学校组织的数学竞赛（每人被选到的可能性相同）. (1)求参赛学生中恰为1名男同学和1名女同学的概率； (2)求参赛学生中至少有1名女同学的概率.
【答案】(1)3
5
(2)710
【分析】（1）（2）利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得； 【详解】(1)解：从5名同学中选取2名同学参赛可能的结果有：()12,a a ，()13,a a ，
()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()12,b b ，共10种.
设A =“参赛学生中恰为1名男同学和1名女同学”，
则事件A 包含的基本事件有：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，共6种， 所以()63
105
P A =
=. (2)解：设B = “参赛学生中至少有1名女同学”，
则事件B 包含的基本事件有：
()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()12,b b ，共7种. 所以()7
10
P B =
.
18．已知函数()8cos sin 236f x x x x π⎛
⎫=+-- ⎪⎝
⎭.
(1)求()f x 的周期；
(2)将函数()f x 的图象向右平移
12
π
个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求()g x 在[]0,π上的值域. 【答案】(1)π
(2)1,1⎡⎤⎣⎦
【分析】（1）由三角恒等变换化简函数()f x 的表达式，可得()2cos21f x x =-，从而根据周期公式即可求解；
（2）根据图象变换求出函数()g x 的解析式，然后由三角函数的图象与性质即可求解
()g x 在[]0,π上的值域.
【详解】(1)解：
()
8cos sin 236f x x x x π⎛
⎫=+-- ⎪⎝⎭18cos cos 232x x x x =⎫-⎪⎝+⎪-⎭
2cos 4cos 23x x x x =+--224cos 23
x x x =+--2cos21x =-，
所以()f x 的周期22
T π
π=
=； (2)解：将函数()f x 的图象向右平移
12
π
个单位，可得2cos 212cos 21126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得2cos 16y x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭， 所以()2cos 16g x x π⎛
⎫ ⎝
-⎪⎭=-，
因为0x π≤≤，所以56
6
6
x πππ
-
≤-
≤
，
所以cos 16x π⎛
⎫≤-≤ ⎪⎝
⎭，
所以2cos 26x π⎛
⎫-≤ ⎪⎝
⎭，
所以()11g x ≤≤，
所以()g x 在[]0,π上的值域为1,1⎡⎤⎣⎦.
19．已知向量()0,1a =，()1,1b =. (1)若()
a m
b b -⊥，求实数m 的值；
(2)若非零向量(),c x y =满足()
2c a b -∥，求a 与c 的夹角. 【答案】(1)12
m = (2)4
π或34π
【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示即可求解；
（2）由()
2c a b -∥，得x y =-，又0c ≠，得0y ≠，设向量a 与c 的夹角为θ，
[]0,θπ∈，则cos 2a c y
y
a c
θ⋅=
=
，然后分0y >和0y <讨论即可得答案. 【详解】(1)解：∵()0,1a =，()1,1b =，∴(),1a mb m m -=--， 又()a mb b -⊥，∴()
0a mb b -⋅=，即()10m m -+-=，
∴12
m =
； (2)解：()()()220,11,11,1a b -=-=-， 由()
2c a b -∥，得x y =-， ∵0c ≠，∴0y ≠，
设向量a 与c 的夹角为θ，[]0,θπ∈， 则
20cos 0a c a c
θ⋅=
=
=
=
+，
当0y >时，cos θ=
，4πθ=，
当0y <时，cos θ=34πθ=，
∴a 与c 的夹角为4
π或34π
.
20．已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos c B a B b =-. (1)求A ；
(2)若1
4
b c =
，且BC 边上的高为a . 【答案】(1)π3
A = (2)13a =
【分析】（1）根据正弦定理边化角，将原式化简即可求得结果. （2）由面积公式可得4bc a =，再由条件结合余弦定理即可求得结果.
【详解】(1)由正弦定理，原式可化为sin sin sin cos sin C A B A B B =-， 由于()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，
整理得cos sin sin sin A B A B B =-.
又∵sin 0B ≠，∴cos 1A A =-， ∴π1sin 62A ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
∵()0,πA ∈，∴ππ5π,666A ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭
，
∴ππ66A -=，即π3
A =.
(2)由题意可知，由11π
sin 223
ABC S a bc =⨯⨯=△，得4bc a =，
又1
4
b c =
，∴216c a =，2b a =， 由余弦定理知2222cos 16413a b c bc A a a a a =+-=+-=， 解得13a =.
21．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)40,50[)50,60，…，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a 的值； (2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在[)50,60的平均成绩是54，方差是7，落在[)60,70的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s . 【答案】(1)0.030a = (2)84
(3)62z =，237s =
【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解； （2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解； （3）根据平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】(1)解：∵每组小矩形的面积之和为1， ∴0.0050.0100.0200.0250.010101a ，
∴0.030a =.
(2)解：成绩落在[)40,80内的频率为()0.0050.0100.0200.030100.65+++⨯=， 落在[)40,90内的频率为()0.0050.0100.0200.0300.025100.9++++⨯=， 设第75百分位数为m ，
由()0.65800.0250.75m +-⨯=，得84m =，故第75百分位数为84； (3)解：由图可知，成绩在[)50,60的市民人数为1000.110⨯=， 成绩在[)60,70的市民人数为1000.220⨯=， 故10546620
621020
z ⨯+⨯=
=+.
设成绩在[)50,60中10人的分数分别为1x ，2x ，3x ，…，10x ；成绩在[)60,70中20人的分数分别为1y ，2y ，3y ，…，20y ，
则由题意可得
2222
121054710x x x ++⋅⋅⋅+-=，222
2122066420
y y y ++⋅⋅⋅+-=， 所以222121029230x x x ++⋅⋅⋅+=，222
122087200y y y ++⋅⋅⋅+=，
所以
()()22222222
2121012201129230872006237102030
s x x x y y y z =
++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-=+-=+， 所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37.
22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，13AA AC ==.
(1)设平面11A BC 与平面ABC 的交线为l ，判断l 与AC 的位置关系，并证明； (2)求证：11A C BC ⊥；
(3)若1A C 与平面11BCC B 所成的角为30°，求三棱锥1A ABC -内切球的表面积S . 【答案】(1)//l AC ，证明见解析
(2)证明见解析 (3)()
1263π-
【分析】（1）由平面111A B C ∥平面ABC 可得11A C ∥平面ABC ，从而根据线面平行的性质定理即可得证；
（2）连接1AC ，根据已知可得1A C ⊥平面1ABC ，从而即可证明11A C BC ⊥；
（3）由题意，首先求出棱锥中各条棱的长度，然后利用等体积法计算三棱锥内切球的半径，最后计算其表面积即可得答案． 【详解】(1)解：判断l AC ∥. 证明如下：
∵111ABC A B C -为直三棱柱， ∴平面111A B C ∥平面ABC ， ∵11A C ⊂平面111A B C ， ∴11A C ∥平面ABC ，
又平面11A BC ⋂平面=ABC l ，11A C ⊂平面11A BC ， ∴11A C l ∥， 又∵11AC AC ∥， ∴l AC ∥； (2)证明：连接1AC ，
∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴1A A ⊥平面ABC ，
∴1A A AB ⊥， 又90BAC ∠=︒，1A A
AC A =，
∴AB ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ， ∴1AB A C ⊥，
又∵直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =， ∴四边形11ACC A 为正方形，∴11AC AC ⊥， ∵1
AC AB A =，1AC ⊂平面1ABC ，AB
平面1ABC ，
∴1A C ⊥平面1ABC ，
又∵1BC ⊂平面1ABC ，∴11A C BC ⊥；
(3)解：过1A 作111A D B C ⊥，垂足为D ，连接CD ，如图所示， ∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴1BB ⊥平面111A B C ，又1A D ⊂平面111A B C ， ∴11BB A D ⊥， ∵111B C A D ⊥，1
111BB B C B =，
∴1A D ⊥平面11BCC B ，
∴1A CD ∠为直线1A C 与平面11BCC B 所成的角，即130A CD ∠=︒， ∵13AA AC ==，∴132AC = ∴11111
sin sin 302
32A D A CD A C ∠=︒===， ∴132
A D =
，
∴在11Rt AC D △
中，11111
2sin 3A D AC D AC ∠===， ∴1145AC D ∠=︒，又1190BAC ∠=︒，∴11113A
B A
C ==. 设三棱锥1A ABC -内切球的半径为r ，球心为O ，连接OA ，OB ，OC ，1OA ， 则由1111A ABC O ABC O ABA O ACA O A BC V V V V V -----=+++三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥
得
(211113333333232r ⎡⎤⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦
，即(
336r ===， ∴三棱锥1A ABC -
内切球的表面积(
(2
24312S r πππ===-.。