18学年高二数学寒假作业第09天导数的几何意义的应用理新人教A版

第09天导数的几何意义的应用
高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆典例在线
设函数f(x)=
(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.
（1）求f(x)的解析式;
（2）证明：曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值.
【参考答案】（1）f(x)=
（2）见试题解析.
【试题解析】（1）求导可得f'(x)=
由题意,可得
2
1
23
2
1
(2)
a
b
a
b
⎧
+=
⎪+
⎪
⎨
⎪-=
+
⎪⎩
,
因为a,b∈Z,
故f(x)=
（2）在曲线上任取一点(x0,x0
由f'(x0)=1
知过此点的切线方程为
()
2
00
2
00
[
11
1
1(
]
1)
x x
y x x
x x
-+
-=--
--
.
令x=1,得y
所以切线与直线x=1的交点为
令y=x,得y=2x0-1,
所以切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1). 显然直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).
1||2x0-1-1|
2x0-2|=2,
所以所围成的三角形的面积为定值2.
【名师点睛】（1）求曲线在某点处的切线时，要注意切点既是曲线上的点也是切线上的点，即切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程，利用这个方法可以确定一些未知的常数．
（2）函数()
y f x
=在某点处的导数、曲线()
y f x
=在某点处切线的斜率和倾斜角，这三者是可以相互转化的．
（3）当曲线()
y f x
=在点
00
(()
,)
x
f x处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是
x x
=．
（4）注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线()
y f x
=在点
00
(()
,)
x f x处的切线方程是000
()()()
y
f x f x x x
-='-；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
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1
A
B
C D
2．已知曲线及曲线上一点P(1，－2)．
（1）求曲线在P点处的切线方程；
（2）求曲线过P点的切线方程．
1．【答案】C
【解析】设切点为（,则0
1
1
a
x
y
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
2．【解析】（1）由f(x)＝x3－3x得，f′(x)＝3x2－3.
过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，
∴所求切线方程为y＝－2.。