南通海门诊断测试

海门市2008届高三第一次诊断性考试试卷
数 学(文)
注意事项：
1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目、试卷类型等写在答题纸上，并贴好条形码。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3．主观题请在规定区域答题。

请务必保持答题纸的整洁，不要折叠，考试结束，将答题纸交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只．有．一项．．是符合题目要求的． （1）“3a >”是“4a >”的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件 （2） 定义集合A 与B 的运算{
},A B x x A x B x A
B *=∈∈∉或且，则()A B B **等
于（ ）
（A ）A B （B ）A B （C ）A
（D ）B
（3）若均βα,为锐角，4
sin ,cos(),55
ααβ=
+= 则cos β=（ ） （A ） 552-
（B ）2552 （C ）2552552或 （D ） 5
5
2
（4）已知35a
b
A ==，则
12
2a b
+=，则A 等于 （ ）
（A ）15 （B （C ） （D ）75
（5）若函数3
43
y x bx =-
+有三个单调区间，则b 的取值范围是 （
）
（A ）0b > （B ）0b < （C ）0b ≤ （D ）0b ≥
（6）若0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间 （
）
（A ）(0,1) （B ）(1,2) （C ）(2,3) （D ）(3,4)
（7）下列命题中正确的是 ( ) （A ）x x y 1+=的最小值是2 （B ）1sin ((0,])sin 2
y x x x π
=+
∈的最小值是2 （C ）4
522++=
x x y 的最小值是2 （D ）x
x y 4
32-
-=的最大值是342-
（8）甲用1000元买入一种股票，后将其转卖给乙，获利10%，而后乙又将这些股票卖给
甲，乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将股票售出,甲在上述交易中( ) （A ）盈亏平衡 （B ）盈利1元 （C ）盈利9元
（D ）亏本109元
（9）在ABC ∆中，1660=︒=b A ，，面积3220=S ，则a 等于( )
（A ）49 （B ）75 （C ） （D ）51 （10）定义在(,)-∞+∞上的偶函数()f x ，满足(1)()f x f x -=-，且()f x 在[]0,1上是减
函数．下面五个关于()f x 的命题中，命题正确．．
的个数有( ) ①()f x 是周期函数；②()f x 的图像关于1x =对称；③()f x 在[]1,0-上是减函数；④()f x 在[]1,2上为增函数；⑤(2)(0)f f =．
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （11）命题“2
,10∃∈+<x R x ”的否定是 ▲ ． （12）如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的
距离S 厘米和时间t 秒的函数关系为：6sin(2)6
S t π
π=+
，
那么单摆来回摆动一次所需的时间为 ▲ 秒． （13）函数245
()a a f x x
--=（a 为常数）是偶函数，且在(0,)+∞上是
减函数，则整数a 的值是▲ ．
（14）已知集合{}
220A x x x a =-+≤，{}
2320B x x x =-+≤，若B A ⊂,则实数a 的
取值范围是 ▲ ．
（15）给出下列命题：①若函数3
()f x x =，则(0)0f '=；②若函数2
()21f x x =+，图像
上(1,3)P 及邻近点(1,3)Q x y +∆+∆， 则
42y
x x
∆=+∆∆；③加速度是动点位移函数()S t 对时间t 的导数；④2
lg 2
x x y x =+，则2222212x x x x x y x ⋅-⋅'=
-．其中正确的命题为 ▲ ．（写上序号）
（16）对,a b R ∈，记{}()min ,()
a a
b a b b a b <⎧=⎨≥⎩，函数1()min ,12()
2f x x x x R ⎧⎫
=--+∈⎨⎬⎩⎭的最大值为 ▲ ．
（17）在直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点坐标分别为(0,2),(1,0),(1,0)A B C -,动点
(,)P x y 是ABC ∆内的点（包括边界）
．若目标函数z ax by =+的最大值为2，且此时的最优解所确定的点(,)P x y 是线段AC 上的所有点，则目标函数z ax by =+的最小值为 ▲ ．
（18）三个同学对问题“关于x 的不等式232164x x x ax ++-≥在[]1,8上恒成立，求实
数a 的取值范围”提出了各自的解题思路．
甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”； 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”； 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （19）（本小题满分12分）
设命题:p 函数3()()2
x
f x a =-是R 上的减函数，命题:q 函数2
()43f x x x =-+ 在
[]0,a 的值域为[]1,3-．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围． （20）（本小题满分12分）设函数2
()2cos sin(2)6
f x x x a
π
ωω=+-
+（其中0,a R ω>∈），且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6
π
． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果()f x 在区间,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
a 的值． （21）（本小题满分14分）
烟囱向其周围地区散落烟尘而造成环境污染．已知A 、B 两座烟囱相距3km ，其中A 烟囱喷出的烟尘量是B 烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．（比例系数为k ）．若C 是连接两烟囱的线段AB 上的点（不包括端点），设AC xkm =，C 点的烟尘浓
度记为y ．
（Ⅰ）写出y 关于x 的函数表达式；
（Ⅱ）是否存在这样的点C ，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC 的距离；若不存在，说明理由． （22）（本小题满分16分）
设2
224()log log 1x f x a x b =++，(,a b 为常数）．当0x >时，()()F x f x =，且()F x 为R 上的奇函数．
（Ⅰ）若1
()02
f =，且()f x 的最小值为0，求()F x 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，2
()1
()log x
f x k
g x +-=在[]2,4上是单调函数，求k 的取值范围． （23）（本小题满分16分）
已知函数2
()(,,0)f x ax bx c a b c R a =++∈≠且．
（Ⅰ）当1x =时有最大值1，若[,](0)x m n m n ∈<<时,函数()f x 的值域为
11
[,]n m
．证明：
()()f m n f n m =； （Ⅱ）若4,2b c ==-时，对于给定正实数a ，有一个最小负数()a ϕ，使得
[](),0x a ϕ∈时，()4f x ≤恒成立，问a 为何值时，()a ϕ最小，并求出这个最小
值．
数学参考答案
选择题 BCDCA CBBAD
填空题11．2
,10x R x ∀∈+≥ 12．
（理）1±（文）2π 13．1或3 14．0a ≤
15．①② 16．1 17．（理）a -（文）2- 18．(],8-∞ 19.解：由3012a <-
<得35
22
a <<………………………………………………3分 2()(2)1f x x =--，在[0,]a 上的值域为[1,3]-得24a ≤≤ ……………7分
p 且q 为假，p 或q 为真 得p 、q 中一真一假． 若p 真q 假得， 3
22a << ……………………………9分
若p 假q 真得，5
42
a ≤≤． ………………………………………………11分
综上，3522a <<或3
42
a ≤≤． ………………………………………………12分
20.(理科)解：（1）1()10f x x
'=+>在2
[1,]e 恒成立.
∴()f x 在2[1,]e 为增函数. ………………………3分
∴min ()(1)2f x f ==， 22max ()()2f x f e e ==+ ……………………………6分
(2)2
()()ln g x f x x x x -=--
1
(()())210g x f x x x
'-=--
>在(1,)+∞恒成立. ()()g x f x -在(1,)+∞为增函数. ……………………………9分 ∴()()(1)(1)0g x f x g f ->-= 得证. ………………………………………12分
(文科)
(1)()1cos 2sin(2)6
f x x x a π
ωω=++-
+ ……………………………………1分
sin(2)16
x a π
ω=+++ ………………………………………………4分
由条件得26
6
2
π
π
π
ω⨯+
=
,得1ω=.……………………………………………6分
(2)
()sin(2)16f x x a π=+++ ， 63
x ππ
≤≤
∴52466
x πππ≤+≤ ………………………………………………8分
∴当5266x ππ+=时,min 1
()12
f x a =++=
解之得3
2
a =. ………………………………………………12分
21.解:（1）设B 处烟尘量为1,则A 处烟尘量为8,
∴C 在A 处的烟尘浓度为28k
x
…………………………………2分
C 在B 处的烟尘浓度为
2
(3)k
x -.其中03x <<. ……………………………………4分
从而C 处总的烟尘浓度为22
8(3)k k y x x =
+-.(03)x << ………………………6分 （2）由33
162(3)
k k y x x '=-+-23318(2)(612)0(3)k x x x x x --+==-,解得2x =.………10分 故当02x <<时,0y '=.当23x <<时0y '>.
∴2x =时,y 取得极小值,且是最小值. …………………………………………13分
答:在连结西烟囱的线段AB 上,距烟囱A 处2km 处的烟尘浓度最低. ……………14分
22.(1)解:2
22()log log 1f x a x b x =++
由1()02
f =得10a b -+=, ………………………………………………1分
∴222()log (1)log 1f x a x a x =+++
若0a =则2()log 1f x x =+无最小值.∴0a ≠. ………………………………………2分
欲使()f x 取最小值为0,只能使204(1)04a a a a >⎧⎪
⎨-+=⎪
⎩
,昨1a =,2b =.
∴222()log 2log 1f x x x =++ ………………………………………………4分
得0x <则0x ->,∴2
22()()log ()2log ()1F x f x x x =-=-+-+
又()()F x F x -=-,∴2
22()log ()2log ()1F x x x =----- ………………………7分
又(0)0F = ………………………………………………8分
∴222222log 2log 1(0)()0(0)log ()2log ()1(0)x x x F x x x x x ⎧++>⎪⎪
-==⎨⎪-----<⎪⎩………………………………9分
(2)2222log 2log 11
()log x x k g x x +++-=
22
log 2log k x x =++.[2,4]x ∈. 得2log x t =.则2k
y t t
=+
+,[1,2]t ∈.………………………………………………12分 ∴当0k ≤,
1≤
2≥时,y 为单调函数.
综上,1k ≤或4k ≥. ……………………………………………16分 23.(1)证明:由条件得0a <,
1
1m
≤,即1m ≥ ……………………………………2分 ∴[,][1,)m n ⊂+∞.∴1()1()f m m
f n n ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. …………………………………5分
∴
()()f m n
f n m
=. ………………………………………………6分 (2)解:
224()()2f x a x a a =+--,显然(0)2f =-,对称轴2
0x a
=-<.……………8分
①当224a --
<-即02a <<时,2
()(,0)a a
ϕ∈-且(())4f a ϕ=-.
令,解得2x
a -±=
.取()a ϕ==
. 02a <<,∴()1a ϕ>- ……………………………………………12分
②当424a --
≥-,即2a ≥时,2
()a a
ϕ<-.且(())4f a ϕ=.
令2
424ax x +-=,解得x
=
取()a ϕ==
. 2a ≥,()3a ϕ∴≥-.当且仅当2a =时,取等号.
综上:当2a =时,()a ϕ取最小值3-.………………………………………………16分。