大学物理练习及答案

习题十一稳恒磁场中的毕奥——萨伐尔定律
一、选择题
1、半径为1a 的载流圆形线圈与边长为2a 的正方形载流线圈中通有相同大小的电流，若两线圈中心的磁感应强度大小相同，则21:a a 为（ D ） A 、1:1
B 、1:2π
C 、4:2π
D 、8:2π
提示：圆电流中心的磁场：001
22I
I
B R
a μμ==
正方形中心的磁场为4段有限长直电流的磁场之和：
(
)0001222
4cos cos 4(/2)22I I I
B r a a μμθθπππ⎛=⋅
+=+= ⎝⎭
2、真空中作匀速直线运动的点电荷，在其周围空间产生的磁场随时间的变化为（ C ）
A 、B
的大小和方向都不变
B 、B
的大小和方向都在变
C 、B
的大小在变，方向不变 D 、B
的大小不变，方向在变
提示：由公式02
4r qv e B r
μπ⨯=
可知磁场的方向不变。

大小()3000222sin sin sin 444/sin qv qv qv B r d
d μμμθθθπππθ=⋅=⋅=⋅， 其中 d 为考察点到速度所在直线的距离，不变，
θ为速度和位置矢量的夹角，改变。

3、若将某载流线圈中的电流增加一倍，则由该线圈在空间任一点产生的磁场将
（ C ）
A 、
B 的大小和方向都不变
B 、B
的大小和方向都在变
C 、B
的大小增加一倍，方向不变 D 、以上说法都不对，要视具体情形而定
提示：由公式02
4r
Idl e dB r
μπ⨯=
可知
4、在毕奥——萨伐尔定律中，B d r l d
、、三者的关系为（ D ）
A 、
B d r l d
、、一定相互垂直 B 、l d 与B d r
、垂直 C 、r
与B d l d 、垂直
D 、B d 与l d r
、垂直
提示：由公式02
4r
Idl e dB r
μπ⨯=
可知
二、填空题
1、 边长为a 的正三角形线圈上通有I 的电流，则在线圈的中心的B =a
I
πμ290
线圈中心的磁场为3段有限长直电流的磁场之和：
(
)001293cos cos 342I I
B r a μμθθππ=⋅
+==⎭
2、 带电量为q 的粒子在一半径为R 的圆形轨道上以0v 的速率匀速运动，则在圆周
的垂直中心线上与圆心相距为d 处的B
=
)
(4220
0d R v q +πμ
提示：不可等效为圆电流，因要求的是瞬时值，而用等效圆电流算出的是在一个周
期内的平均值。

（参考课件有关例题）
3、 由半径为R
平行导线组成图示形状，当导线中通有电流时，线圈中心O 处的B =R
I πμ40
提示：O 点磁场为四部分电流的磁场的合磁场。

其中从左边来的半无限长直电
流在O 点的磁场为 0 。

（02
4r
I d l e dB r μπ⨯=
，Idl 和r e 的夹角为0）
顺时针的1/4电流和逆时针的3/4电流的磁场反向，两部分电流的合磁场（设顺时针电流的磁场为正）：
()00001333424288I I I I R R R R R R μμμμϕϕ⎛⎫
∆∆⋅-⋅=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
顺逆顺逆顺逆 0030838R R R R R R μμϕ
ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫
∆∆∆∆=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭顺顺顺
顺 向右边去的半无限长直电流在O 点的磁场可用有限长直电流的磁场公式算出。

()()00012cos cos cos90cos 0444I I I
B R R R
μμμθθπππ=
+=+=
三、计算题
1、 一半径为R 的圆盘面上均匀分布有Q 的电量，若圆盘以ω的角速度绕圆盘面的垂直中心线作定轴转动，求在圆盘中心处产生的磁感应强度大小。

解：在圆盘面上取半径为 r , 宽度为 dr 的圆环微元，转动时形成等效圆电流。

由圆电流在其中心的磁场公式：
200002
(/)(2)2222/2u u u u Q dq Q R rdr dB dI dr r r T r R
ωπππωπ==⋅=⋅=
0020
22R
u Q u Q
B dr R R
ωωππ==⎰
2、 边长为a 的正方形线圈上通有I 的电流，求在其垂直中心线上，与中心相距为a 处的磁感应强度大小。

解：该磁场为4段有限长直电流的磁场之和。

单根导线形成的磁场：
)12cos cos B θθ=
+
在与中垂轴垂直方向上的分量叠加抵消。

平行于中垂轴的分量叠加为
4B ⎛⎫
⎪=
a
=
提示：本题够不上难题，但计算时须特别小心，否则极易出错！！！
3、 将一根无限长直导线弯成如图形状，导线中通有I 的电流，计算圆心处的磁感
应强度大小。

解：B B B B =++环直线1直线2
()
0001cos0
cos150234422
u I u I
r r r ππ=
⋅++⋅⋅
(00262u I u
I
r r
π-=+ （可参考课件有关例题）
习题二十三稳恒磁场中的安培环路定理
一、选择题
1、内外半径分别为1R 和2R 的空心无限长圆柱形导体，通有电流I ，且在导体的横
截面上均匀分布，则空间各处的B
的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系，
定性分析如图（ B ）
提示：1）
12121
21
2A B C
D
0cos cos0(2)l
l
l
l
l
B dl Bdl Bdl Bdl B dl B r I θπμ⋅======⎰⎰⎰⎰⎰
内01022
011222
21
020
,()2(),()22,()2r R r I I B r R R r R r r R R I
r R r
μπμμππππππμπ⎧⋅<⎪⎪
⎪==⋅⋅-<<⎨-⎪⎪>⎪⎩内 12201
1222
21020,(),()2,()2r R u I r R R r R r R R u I
r R r
ππ⎧
⎪<⎪-⎪=⋅<<⎨-⎪⎪>⎪⎩；（参考课件有关例题） 2）当1r R <时，0B =，可排除 C ；
3）当12R r R <<时，令1r R →，则0B →，可排除 A 和 D 。

2、一截面是边长为a 2的正方形的无限长柱体的四条棱上都分别有相同大小的四个线电流I ，方向如图，则在柱体中心轴线处的磁感应强度大小为（ C ）
A 、a
I
u B π02=
B 、a
I
u B π220=
C 、0=B
D 、a
I
u B π0=
提示：该磁场为4段无限长直电流的磁场之和，但方向相同的一对电流的磁场完全抵消。

3、在无限长载流直导线附近有一球面，当球面向长直导线靠近时，球面上各点的磁感应强度B 和球面的磁通量Φ为（ D ） A 、Φ增大，B 也增大 B 、Φ不变，B 也不变
C 、Φ增大，B 不变
D 、Φ不变，B 增大
提示：1）0S
B dS Φ=⋅=⎰
（磁场的高斯定理）
2）02I
B r
μπ=
4、如图，两无限长平行放置的直导线A 、B 上分别载有电流I 1和I 2，电流方向相反，L 为绕导线B 的闭合回路，c B
为环路上C 点的磁感应强度，当导线A 向左平行于导线B 远离时（ D ）
A 、c
B 减小，⎰⋅L l d B 减小 B 、c B
不变，⎰⋅L l d B 不变 C 、c B 不变，⎰⋅L l d B 减小 D 、c B
减小，⎰⋅L
l d B 不变
提示：1）0l B dl I μ⋅=⎰ 内, I 内不变，l B dl ⋅⎰
也不变；
2）两电流在C 点的磁场同方向，相互加强。

电流I 1远离后，C 点磁场变小。

5、三个电流强度不同的电流I 1、I 2和I 3均穿过闭合环路L 所包围的面，当三个电流中的任意两个在环路内的位置互换，环路不变，则安培环路定理的表达式中（A ）
A 、B
变化，
∑i I 不变
B 、B
变化，
∑i
I
变化
C 、B
不变，∑i I 变化
D 、B
不变，∑i I 不变
提示：1）B
为三电流的磁场之和。

两电流位置互换后，B
一般要改变。

二、填空题
1、一段长为a 的直导线中载有电流I ，在该导线的垂直平分面上，有一个以导线为
中心、以a 为半径的圆形环路L ，则对该环路而言，⎰⋅L
l d B
特别提示：安培环路定理要求电流必须闭合！！！“无限长直线电流”可看成闭合电流，但本题电流为有限长，故不可用安培环路定理，而只能先用有限长直电流公式计算环路上的磁场，然后再作曲线积分。

(
)0012cos cos 44I I B r a μμθθππ=
+==
(2)2L
B dl B a a ππ⋅==
=⎰
2、在一无限长载有电流I 的直导线旁有一边长为a 的正方形线圈，线圈与直导线共面，且有一边与直导线平行。

直导线到线圈的近侧距离为a ，则通过该线圈平面的磁通量为
π
22
ln 0Ia u 。

提示：1）磁场不均匀，不可用正方形中心的磁感应强度乘正方形的面积即BS Φ=计算（这其实是一种等效法，可以证明这一等效法是错误的）。

2）20
0ln 2cos 0()22a S S S a I u Ia B dS BdS BdS adr r μππ
Φ=⋅====⎰⎰⎰⎰
（参考课件有关例题）
3、在半径为R 、无限长载有电流I 的圆柱形导体内，电流均匀分布于导体的横截面上，在导体内取一矩形截面，矩形的一边为半径，一边沿中心轴线，如图；则通过该矩形截面的磁通量为
π
40IL
u 。

提示：1）磁场不均匀，不可用正方形中心的磁感应强度乘正方形的面积即BS Φ=计算（这其实是一种等效法，可以证明这一等效法是错误的）。

2）2
00022
()222Ir I B I r r r R R
μμμπππππ=
=⋅=内 3）0
020cos 0()24R S S S Ir u IL B dS BdS BdS Ldr R μππ
Φ=⋅====⎰⎰⎰⎰
三、计算题
1、 半径为R 1的圆柱形导体和内外半径分别为R 2和R 3的同轴圆筒形导体构成的同
轴电缆，电流I 从柱形导体中流进，从圆筒形导体中流出，若电流是均匀地分布在导体的横截面上，计算空间各处的磁感应强度。

解：由安培环路定理：
0cos cos0(2)l
l
l
l
l
B dl Bdl Bdl Bdl B dl B r I θπμ⋅======⎰⎰⎰⎰⎰ 内
2012
1
1202202232232
3,()2,()
22(),()2(),()2I r r R r R I R r R I r B r I I r R R r R r R R I I r R r μπππμμππμπππμπ⎧⋅<⎪⎪⎪⋅<<⎪⎪==⎨
⎡⎤⎪⋅--<<⎢⎥⎪-⎣⎦
⎪⎪⋅->⎪⎩内0121
01222
03
232
2
323,()
2,()2,()20,()
u I
r r R R u I
R r R r u I R r R r R r R R r R πππ⎧<⎪⎪⎪<<⎪
=⎨⎪-⋅<<⎪-⎪⎪>⎩
（参考课件有关例题）
2、截面是正方形的螺绕环上均匀密绕N
和R 2，线圈中通有电流I 时，求螺绕环截面上的磁通量。

解：由安培环路定理，可得环中的磁感应强度为：
r
NI
u B π20=
（参考课件有关例题） 则截面上的磁通量为：
()21021cos 02R S S S R u NI B dS BdS BdS R R dr r πΦ=⋅===-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰
0212
1
()ln 2u NI R R R R π-=
习题十三磁场对电流和带电粒子的作用
一、选择题
1A
1、如图所示，三条长度相同的长直导线共面平行放置，依次载有电流为1A 、2A 、3A ，由于磁力相互作用，分别受力
为1F 、2F 、3F。

则321::F F F 为（ D ）
A 、５∶４∶６
B 、５∶８∶６
C 、７∶６∶１３
D 、７∶８∶１５
提示：两平行长直电流之一单位长度的受力：012
2I I F a
μπ=。

同向吸引，反向排斥。

（见课件有关内容）
000
1(12)(13)722(2)4F d d d
μμμπππ⋅⋅=+=
000
2(23)(12)222F d d d
μμμπππ⋅⋅=
-=（注意此处二力方向相反！）
000
3(23)(13)1522(2)4F d d d
μμμπππ⋅⋅=
+=
２、同一平面内有两条相互垂直的导线1L 和2L ，1L 为无限长直导线，2L 为长为a 2的直导线，两者位置如图，当1L 和2L 同时通以电流I ，则作用在2L 上对于O 点的磁力矩为（D ）
A 、πμa I 20
B 、
3ln 20π
μa
I C 、
)12ln 4(220-πμa I D 、)13ln 2(20-π
μa I 提示：磁场非均匀磁场，故不可用中学的安培力公式计算安培力。

力矩也不可用2L 所受的总安培力乘2L 的中点到O 的距离计算（这其实是一种等效法，可以证明这一等效法是错误的）。

用微元法：无限长直电流在2L 处的磁场垂直纸面向里：02u I
B r
π=。

在2L 上取一电流元Idl
，其受到的安培力竖直向上：
200sin 9022u I u I dF Idl B IdlB IdlB Idl dr r r
ππ=⨯====
该力对过O 的水平轴的力矩：2
0()(4)(4)2u I dM dF a r a r dr r
π=-=- 总力矩：22300(4)(2ln 31)2a
a
u I I a
M dM a r dr r μππ
==-=-⎰⎰
二、填空题：
１、一质量为m ,带电量为q 的粒子以速度0v
射入匀强磁场B
中，若0v
与B
的夹角
为 θ
，则
Bq
mv θsin 0，周期为Bq m
π2，螺
矩为
Bq
m v θ
πcos 20。

提示：02sin R
T v πθ
=。

其它见课件有关例题。

2、质量为m ，带电量为q 的粒子在半径为r 的电子回旋加速器中所能获得的最大动
能为m
r q B 22
22（回旋加速器中的磁感应强度为B ）
提示：粒子在加速器中每被加速一次，运动半径便增大一次，运动半径最大时（等于加速器的半径），动能最大。

2sin 90mv F qv B qvB qvB r
=⨯===
qBr v m ⇒=
2
222
211222k qBr B q r E mv m m m
⎛⎫⇒===
⎪⎝⎭
3、两根相距为a 的无限长平行直导线中分别通以电流1I 和2I ，则这两根导线单位
长度上的作用力为
a
I I u π22
10 。

提示：两平行长直电流之一单位长度的受力：012
2I I F a
μπ=。

同向吸引，反向排斥。

（见课件有关例题）
4、一半径为R ，均匀带有电量Q 的圆盘面绕其中心垂直轴以ω的角速度转动时，
产生的磁矩为
2
4
QR ω，若将该圆盘面放在与盘面成θ角的匀将磁场B
中时，圆
盘面所受到的磁力矩为
2cos 4
QR B ωθ。

提示：把圆盘剖分成无数细圆环，每一细圆环转动时可等效为一圆电流。

22
2(/)(2)()2/dq Q R rdr dm dI S r r T πππππω==⋅=⋅
222
(/)(2)2/4
R
Q R rdr QR m dm r ππωππω==⋅=⎰⎰
2
2cos sin cos cos 4
4
QR QR B M mB mB B ωωθ
αθθ===
=
注意题中的θ并非磁矩和磁场的夹角！
三、计算题：
1、 载有电流1I 的无限长直导线旁边有一共面的、载有电流2I 的圆形线圈，线圈半
径为R ，圆心与直导线相距d （R d >），求两者的相互作用力。

解：在圆环上取Rd θ长度为微元，受力大小为
θθπRd R d I u I dl B I dF ⋅-⋅
==)
sin (21
0212
整个圆环受力在竖直方向上相互抵消，在水平方向上受力向右，大小：
B
B
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+-=⋅-⋅
=⋅=⎰⎰2221020
1021)sin (2sin sin R d d
I I u Rd R d I u I dF F π
θ
θπθ
θ
2、如图所示，一无限长载流直导线1L 中有电流1I ，另有一根与1L 垂直且共面的导
体棒2L ，其长为a ，质量为M ，若2L 的A 端固定，导体棒可在该平面内自由转动，则要使导体棒在该位置稳定放置，则导体棒中应通以多大的电流2I ？
解：导体棒相对于过A 端的水平轴，磁力矩 = 重
力矩。

建立ox 坐标轴，原点在A 点，方向向右。

M dM x dF ==⋅⎰⎰磁磁磁
01
2sin 902(2)u I x I dx a x π⎛⎫=⋅ ⎪
+⎝⎭
⎰ 012012022ln 2(2)23a
u I I u I I x dx a a a x ππ⎛⎫
=⋅
⋅=+ ⎪+⎝⎭
⎰
2
a Mg =⋅
201212ln 3Mg I u I π
⇒=
⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭ 注意：重力的力矩可用2L 所受的总重力乘2L 的中点到A 的距离计算（这其实是一种等效法，可以证明这一等效法是正确的）。

习题十四有介质存在时的稳恒磁场
一、选择题
I
1、磁介质的三种，用相对磁导率μr 表征它们各自的特性时（ C ） (A) 顺磁质μr > 0 ，抗磁质μr < 0 ，铁磁质μr >> 1. (B) 顺磁质μr > 1 ，抗磁质μr =1 ，铁磁质μr >> 1. (C) 顺磁质μr > 1 ，抗磁质μr < 1 ，铁磁质μr >> 1. (D) 顺磁质μr > 0 ，抗磁质μr < 0 ，铁磁质μr > 1.
2、公式（1）H = B /μ0－M ，（2）M =χm H 和（3）B = μ H 的运用范围是（ C ） (A) 它们都适用于任何磁介质.
(B) 它们都只适用于各向同性磁介质. (C)（1）式适用于任何介质，（2）式和（3）式只适用于各向同性介质. (D) 它们都只适用于各向异性介质.
提示：本题超纲！！
3、关于环路l 上的H 及对环路l 的积分⎰
⋅l
l H d ，以下说法正确的是（ A ）
(A) H 与整个磁场空间的所有传导电流，磁化电流有关，而⎰
⋅l
l H d 只与环路l 内的
传导电流有关；
(B) H 与⎰
⋅l l H d 都只与环路内的传导电流有关；
(C) H 与⎰⋅l l H d 都与整个磁场空间内的所有传导电流有关； (D)H 与⎰⋅l
l H d 都与空间内的传导电流和磁化电流有关.
提示：B H μ=
，B 与整个空间的所有传导电流，磁化电流有关，H 自然也与整
个空间的所有传导电流，磁化电流有关。

4、磁化强度M （ B ）
(A) 只与磁化电流产生的磁场有关. (B) 与外磁场和磁化电流产生的场有关. (C) 只与外磁场有关.
(D)只与介质本身的性质有关，与磁场无关.
提示：本题超纲！！
5、以下说法中正确的是（ D ）
(A) 若闭曲线L 内没有包围传导电流，则曲线L 上各点的H 必等于零； (B) 对于抗磁质，B 与H 一定同向； (C) H 仅与传导电流有关；
(D) 闭曲线L 上各点H 为零，则该曲线所包围的传导电流的代数和必为零. 二、填空题
1、如图所示的两种不同铁磁质的磁滞回线中，适合制 造永久磁铁的是磁介质 2 ，适合制造变压器铁 芯的是磁介质 1 .
提示：本题超纲！！
2、一个绕有500匝导线的平均周长50cm 的细环,载有 0.3A 电流时，铁芯的相对磁导率为600
(1) 铁芯中的磁感应强度B 为 0.226 T ； (2) 铁芯中的磁场强度H 为 300 A /m .
提示：参考课件有关例题。

当积分曲线位于细环内部时，其周长随半径的改变而改变，但本题环的直径很小，可近似认为所有积分曲线的周长都等于环的平均周长50cm 。

3、图15.2中为三种不同的磁介质的B ～H 关系曲线，其中虚线表示的是B =μ0H 的关系，说明a 、b 、c 各代表哪一类磁介质的B ～H 关系曲线：
a 代表铁磁质的B ～H 关系曲线；
b 代表顺磁质的B ～H 关系曲线；
c 代表抗磁质的B ～H 关系曲线.
提示：B H μ=，B
H
μ=
，各直线的斜率即为介质的磁导率。

虚线的斜率为真空的磁导率μ0。

C 线的斜率小于虚线的，b 线的斜率大于虚线的，a 线前半段的斜率远大于虚线的。

三、计算题
1、一铁环中心线周长L = 30cm ，横截面S =1.0cm 2, 环上紧密地绕有N = 300匝的线圈,当导线中电流I =32mA 时,通过环截面的磁通量Φ= 2.0×10-6Wb ，试求铁芯的相对磁导率.
解：环的截面积较小，其上磁场可认为是均匀的。

图15.2
BS Φ=0r B H S μμΦ⇒=
=0
r H S μμΦ⇒= l
H dl HL NI ⋅==⎰ NI
H L ⇒= 0497.4r L
S NI
μμΦ⇒=
=
2、一根无限长同轴电缆由半径为R 1的长导线和套在它外面的内半径为R 2、外半径为R 3的同轴导体圆筒组成，中间充满磁导率为μ的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图15.3，传导电流I 沿导线向右流去，由圆筒向左流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的，求同轴线内外的磁感应强度大小的分布.
解：取圆形闭曲线，设其方向从电缆的右端看为逆时针，则其包围的圆板方向向右。

2l
H dl H r I π⋅=⋅=⎰ 内
2I H r
π⇒=
内
2I B H r
μμπ⇒==内
212
1
122222322
323,()2,()2(),()2(),()2I r r R r R I R r R r I I r R R r R r R R I I I r R r
μπππμ
πμπππππμπ⎧⋅<⎪⎪⎪⋅<<⎪⎪=⎨
⎡⎤⎪⋅--<<⎢⎥⎪-⎣⎦⎪⎪⋅->⎪⎩内
图15.3
0121
12220
22322323,()
2,()21,()20,()
Ir
r R R I
R r R r I r R R r R r R R r R μπμπμπ⎧<⎪⎪⎪<<⎪=⎨⎪⎛⎫--<<⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎪>⎩
习题十五电磁感应（感应电动势）
一、选择题
1、一闭合正方形线圈由电阻率为ρ的导线构成，在匀强磁场中绕通过其中心且与其一边平行的轴线以ω的角速度转动，且该轴线与磁感应强度方向垂直，则采用何种方法可以使线圈中的感应电流的幅值增加为原来的两倍。

（ C ） A 、将线圈的匝数增加一倍 B 、保持形状不变，将线圈的面积增加一倍 C 、把线圈的角速度增加一倍 D 、将线圈的切割磁力线的边长增加一倍
提示：（1）电阻率：单位长度导线的电阻；
（2）设线圈切割磁力线的边长度为a ，不切割磁力线的边长度为b ，则
cos NBab θΦ=sin sin d d NBab NBab dt dt
θ
θωθΦ=-
==ε 2()
I R
N a b ρ=
=
⋅⋅⋅+ε
εsin 2()
Bab
a b ωθρ=
+
电流幅值：2()
m Bab
I a b ωρ=
+，
当线圈为正方形时，a b =，22(2)4m Ba Ba
I a ωωρρ
==
2、一矩形线圈沿其一边的方向以恒定的速度从无场空间插入到均匀磁场中，且这运
动方向与分界面垂直，则在插入过程中（ C ）。

A 、线圈中感应电动势线性增加 B 、线圈中感应电动势线性减小 C 、线圈中感应电动势保持不变 D 、以上说法都不对
提示：通过线圈的磁通量随时间均匀增加，d C dt
Φ
=-
=ε 3、在同一平面内有一无限长载流直导线和一段导体棒，导体棒绕其一端点在该平面内以ω的角速度转动，转动时导体棒整体保持在载流导线一侧，则有（ D ） A 、导体棒两端的电动势为0 B 、导体棒两端有恒定电动势
C 、导体棒两端有变化的电动势，且电动势方向随转过的角度而变
D 、导体棒两端有变化的电动势，但电动势方向恒定不变
提示：1）参考课件有关例题。

2）无限长直电流的磁场不均匀。

3）电动势的方向变和不变指的是导体棒两端分别作为电源的正负极有无改变。

4、圆铜盘放置在匀强磁场中，磁场强度的方向与盘面垂直，当铜盘绕通过其中心垂直于盘面的轴转动时（ D ）。

A 、盘上有感应电流，且电流方向与转动方向相反
B 、盘上产生涡流
C 、盘上有感应电流，且电流方向与转动方向相同
D 、盘上无感应电流，只有感应电动势
提示：把每一条半径铜线等效为一电源，所有电源的电动势大小相等，方向相同。

且各电源并联，未形成闭合回路。

5、如图所示，直角三角形线圈ABC 在匀强磁场中B
中，绕其一直角边AB 以角速
度ω转动，另一直角边BC 长为l ，AB 方向与B
平行。

转动方向如图所示，则（ B ）
A 、回路中0=ε，221
l B V V C A ω=
- B 、回路中0=ε，22
1
l B V V C A ω-=- C 、回路中2
l B ωε=，221l B V V C A ω=-
D 、回路中2
l B ωε=，22
1l B V V C A ω-=-
B
提示：1）通过三角形线圈的磁通量为0，0
0d d dt dt
Φ=-
=-=ε； 2）()v B ⨯
和dl 的夹角小于90度，故()0C A
v B dl =⨯⋅>⎰ AC ε，即AC
段上动生电动势的方向为从A 到C ，C 端为电源的正极，C 端电势高于A 端。

二、填空题
1、感应电场是由变化的磁场产生的，它的电场线的特点是闭合曲线。

2、如图所示，一无限长直截流导线与一矩形线圈共面放置， 矩形线圈的高为h ，宽为a ，靠近无限长导线的一边与长直
导线相距为d ，当长直导线中的电流随时间变化规律为I (t)
时，线圈中感应电动势为0ln ()2u h d a d
I t d dt
π+-
⋅⋅，方向 为顺时针。

（或数值加一负号，但方向取逆时针）
提示：选矩形板的方向垂直纸面向里，则其周长的方向为顺时针。

0cos 0()ln 22d a S S S d I u Ih d a B dS BdS BdS hdr r d
μππ++Φ=⋅====⎰⎰⎰⎰
0ln ()2u h d d a d
I t dt d dt
πΦ+=-=-⋅⋅ε
3、在上图中，当线圈以υ0的恒定速度向上运动时，在图示时刻线圈中的感应电动
势为 0 ；当线圈以υ0的恒定速度向右运动时，在图示时刻线圈中的感应电动势为()
00
2u hIav d d a π+，方向为顺时针。

（或数值加一负号，但方向取逆时针）
提示：1）当线圈以υ
的恒定速度向上运动时，通过线圈的磁通量为常数，
h
0d dt
Φ
=-
=ε。

2）当线圈以υ0的恒定速度向右运动时，选矩形板的方向垂直纸面向里，则其周长的方向为顺时针。

设 t 时刻靠近无限长导线的一边与长直导线相距为x ，
0cos 0()ln 22x a S S S x I u Ih x a B dS BdS BdS hdr r x
μππ++Φ=⋅====⎰⎰⎰⎰
()()
0000ln 222u Ih u hIa u hIa d d x a dx
v dt dt x x x a dt x x a πππΦ+⎛⎫=-
=-=⋅=⋅ ⎪++⎝⎭ε 在图示时刻，x = d ，()
00
2u hIav d d a π=+ε
4、如图所示，与匀强磁场B
垂直的平面内有一导轨和在导轨上 移动的导线ab ，导线和导轨构成的回路电阻恒为R 0，ab 以
速率υ向右匀速运动时，作用在ab 上的外力为22
vB l R 。

提
示
：
vBl
=ba ε,
vBl
I R R =
=
ba
ε，
22
00
vBl vB l F BIl B l R R ===
安 导线做匀速运动，外力等于安培力。

三、计算题
1、如图，在一与地面倾角为θ的光滑轨道上有一导体棒ab ，若导体棒ab 与轨道构
成的回路电阻恒为R ，当该系统置于垂直向上的匀强磁场B
中时，求导体棒在光滑轨道上向下滑动所能达到的最大速率。

解：导体棒达最大速率时，重力在斜面方向上的分力等于安
培力在斜面方向上的分力。

θ
θθθ
θθθ222cos sin cos cos cos cos sin l B m gR v l R
Blv B
BIl F m g =
===安培
B
2、一半径为R 的空心无限长密绕螺线管，单位长度上的匝数为n ，通入dI dt
=常数的
电流，将导线oab 和bc 垂直于磁场放在管内外，oa =ab =bc =R ，求oa 、ab 、bc 各段导线上感生电动势。

解：无限长密绕螺线管内部磁场是均匀的，大小为0B nI μ=，
外部磁场为 0 。

感生电场的电场线为环绕螺线管的同心圆。

0a
oa o
E dl =⋅=⎰ ε
2
0oabo
ab oabo d dI
nR dt
dt
∆∆Φ==-=
εε，方向从 a 到 b 。

obco bc obco d dt ∆∆Φ==-
εε2012dI u nR dt
π=，方向从 b 到 c 。

（参考课件有关例题）
习题十六
自感、互感，磁能
一、选择题
1、一个电阻为R ，自感系数为L 的线圈，将它接在一个电动势为)(t ε的交变电源上，设线圈的自感电动势为1ε，则通过线圈的电流为（ C ）
A 、
R
t )(ε
B 、
[]
R
t 1)(εε- C 、
[]
R
t 1)(εε+ D 、
R
1
ε
提示：先把两个电动势都看成算术量（只取正数或 0 ），考虑两种特殊情形： 1）当()t ε增大从而电流也增大时，1ε要阻碍电流的继续增大，故通过线圈的电流为
1
()t R
-εε；
2）当()t ε减小从而电流也减小时，1ε要阻碍电流的继续减小，故通过线圈的电流
为
1
()t R
+εε。

可知没有一个选项能把两种情形都包括进去。

事实上本题应把二电动势均看成代数量（可以取负值），且易知二电动势有时同号，有时异号。

计算回路中的总电动势时只需把二者相加即可。

2、面积为S 和2S 的两个线圈A 和B 的中心垂直轴相同，通有相同的电流I ，由线圈A 中电流产生通过线圈B 的磁通量为BA Φ，由线圈B 中电流产生通过线圈A 的磁通量为AB Φ，则二者的关系为（ C ） A 、BA Φ=2AB Φ
B 、BA Φ=AB Φ/2
C 、BA Φ=AB Φ
D 、BA Φ>AB Φ
提示：BA A MI MI Φ==AB B MI MI Φ==
3、下列那种情况下，不会出现位移电流（ A ）
A 、电场不随时间变化
B 、电场随时间变化
C 、交流回路
D 、在接通直流电路的瞬时 提示：位移电流的实质是变化的电场。

4、一长为l 的螺线管，原来用细导线单层密绕而成，如换用直径比原来的大一倍的导线绕制，则螺线管的自感系数为（ C ） A 、增加到原来的两倍 B 、减少为原来的二分之一 C 、减少为原来的四分之一 D 、增加到原来的四倍
提示：20L n V μ=（见课件有关例题）。

换用直径比原来的大一倍的导线绕制，
n 将减小为原来的一半，但螺线管的体积不变。

二、填空题
1、边长为a 的正方形线圈放在一根长直导线旁，线圈与直导线共面，其中心距长直导线为3a /2，线圈的一组边与直导线平行，此时，正方形线圈与长直导线的互感
系数为
2ln 20π
a
u ，若将线圈垂直于长直导线方向的两条边向外侧延长一倍而成矩
形，此时的互感系数为
3ln 20π
a
u 。

提示：02I
B r
μπ=
， 20
0cos 0()ln 222a S S S a I Ia B dS BdS BdS adr r μμππΦ=⋅===⋅=⎰⎰⎰⎰
0ln 22a
M I μπ
Φ==
后一种情况：30
0()ln 322a a I Ia adr r μμππΦ=⋅=⎰0ln 32a M I μπ
Φ== 参考课件有关例题。

2、两根直径为d 的平行长直导线的中心轴线相距为l （l>>d ）,此时这两根长直导线单位长度上的自感系数为
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-d d l u 2ln 0
π。

提示：参考课件有关例题。

3、有两个自感线圈，线圈Ⅰ的自感系数为L 1，电阻为R 1，线圈Ⅱ的自感系数为L 2，电阻为R 2，且L 2=2L 1，R 2=2R 1。

若把两线圈串联后接在电源上，两自感线圈中储存的磁能W 1:W 2= 1:2 ，若把两线圈并联后接在电源上，两自感线圈中储存的磁能W 1:W 2= 2:1 ，
提示：串联电流相等，并联电压相等。

2
21122V W LI L R ∆⎛⎫
== ⎪⎝⎭
4、一长为l ，总匝数为N 的细长密绕螺线管内，通有变化的电流at e I I -=0（a 、I 0都为常数），则螺线管内距螺线管的轴线为r 处一点的磁感应强度的大小为
at e L NI u -00，电场强度的大小为at e L
ra
NI u -200。

提示：本题超纲！
5、有两个线圈，自感系数分别为L 1=3mH 、L 2=5mH ，串联成一个线圈后测得自感系数L =11mH ，则两线圈的互感系数M = 1.5 mH 。

提示：122L L L M =++（参考课件有关例题） 1.5()M mH ⇒=
三、计算题
1、 如图所示，两条长直平行输电导线和一矩形线圈共
面，长直导线在无限远处相接，求线圈和两条导线的互感系数。

解：建立坐标原点在右导线、方向向右的坐标轴。

设输电导线中的电流为I ，则在矩形线圈中的磁通为：
B dS BdS
Φ=⋅=⎰⎰
11
0021()22()l b
l u I u I
adx x x l l ππ+⎛⎫=-⋅ ⎪+-⎝⎭
⎰
01212ln ln 2u Ia l b l b l l π⎛⎫++=- ⎪⎝⎭ 01212ln ln 2u a l b
l b M I l l π⎛⎫++Φ=
=- ⎪⎝⎭
2、 一截面为矩形的螺绕环，内外半径分别为R 1和R 2，高为h ，绕有N 匝线圈。

在螺绕环的中心轴线处置一无限长直导线。

求： （1）螺绕环的自感系数；
（2）长直导线与螺绕环的互感系数； （3）当螺绕环中通以t I I ωsin 0=的交变电流时，长直导线中的感应电动势。

解：（1）
2120
021
()ln 22R R u NI u N Ih R N B dS N hdx x R ππΦ=⋅==⎰⎰
202
1
ln 2u N h R L I R πΦ==
（2）
210
021
()ln
22R R u I u NIh R N B dS N hdx x R ππΦ=⋅==⎰⎰
02
1
ln 2u Nh R M I R πΦ=
=（参考课件有关例题） （3）设螺绕环中电流方向如图所示，
0021
()ln cos 2u NI h R d d MI dI
M t dt dt dt R ωωπΦ=-
=-=-=-ε，方向：向下。

提示：判断电动势方向时须增加一些辅助线，从而把直导线连接为闭合导线！此外应使
以闭合导线为边界的曲面的方向与该曲面所在处的磁场同方向。

习题十七电磁波
四、选择题
1、设位移电流激发的磁场为B 1，传导电流激发的磁场为B 2，则有（ B ） (A) B 1、 B 2都是保守场． (B) B 1、 B 2都是涡旋场． (C) B 1是保守场，B 2是涡旋场． (D) B 1是涡旋场，B 2是保守场．
2、设位移电流与传导电流激发的磁场分别为B d 和B 0，则有（ A ）
(A)
⎰⎰⎰⎰=⋅=⋅S
S
0d ,0d d
S B S B ． (B) ⎰⎰⎰⎰≠⋅≠⋅S
S 0d ,0d d
0S B S B ． (C) ⎰⎰⎰⎰≠⋅=⋅S
S
0d ,0d d
S B S B ． (D)⎰⎰⎰⎰=⋅≠⋅S
S
0d ,0d d
S B S B ．
3、在某空间，有电荷激发的电场E 0，又有变化磁场激发的电场E i ，选一闭合回路l ，则（ D ）
(A) 一定有0d ,0d i 0≠⋅=⋅⎰
⎰l E l E l
l
．
(B) 一定有0d ,0d i
=⋅≠⋅⎰⎰l E l E l
l
．
(C) 可能有,0d 0
≠⋅⎰l
l E 一定有0d i
≠⋅⎰l E l
． (D)一定有0d 0
=⋅⎰l
l E ，可能有0d i
=⋅⎰l E l
．
提示：i d l d dt Φ
⋅=-⎰ E l ，可设想出一种情形，使得C Φ≡，则i d 0l ⋅=⎰ E l 。

例如积分曲线为一圆周，处在一变化的匀强磁场中，圆周所在平面与磁场平行，此时0Φ≡。

4、电荷激发的电场为E 1，变化磁场激发的电场为E 2，则有（ C ） (A)E 1、E 2同是保守场． (B) E 1、E 2同是涡旋场．
(C) E 1是保守场， E 2是涡旋场． (D)E 1是涡旋场， E 2是保守场．
5、位移电流的实质是（ D ）
(A)电场． (B)磁场．
(C)变化的磁场． (D)变化的电场．
二、填空题
1、在没有自由电荷与传导电流的变化电磁场中
d l ⋅=⎰ H l 0S E dS t ε∂⋅∂⎰
；
d l ⋅=⎰ E l S B dS t ∂-⋅∂⎰
．
2、写出包含以下意义的麦克斯韦方程：
(1)电力线起始于正电荷，止于负电荷0
S
q E dS ε⋅=⎰ 内；
(2)变化的磁场一定伴随有电场l S B E dl dS t ∂⋅=-⋅∂⎰⎰
；
(3)磁力线无头无尾0S
B dS ⋅=⎰
；
(4)静电场是保守场
0l
E dl ⋅=⎰
静；
3、反映电磁场基本性质和规律的麦克斯韦方程组的积分形式为
∑⎰==⋅n
i i
S
q
1
d S D ①
⎰⋅l
l E d =-d Φm
/d t ② 0d =⋅⎰S
S B ③
⎰∑+=⋅=l
n
i i
I
1
d l H d Φd /d t ④
试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的，将你确定的方程式用。