2021-2022学年-有答案-山东省德州市某校初二(下)期中考试数学试卷

2021-2022学年山东省德州市某校初二（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1. 下列各式：①3√2+2√3=5√5；②2+√2=2√2；③3√2−2√2=√2；④√18−√82=√9−√4=1，其中计算错误的有（ ）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
2. 使代数式
√x−3x−4有意义的自变量x 的取值范围是( ) A.x ≥3
B.x >3且x ≠4
C.x ≥3且x ≠4
D.x >3
3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A.√4a
B.√a 4
C.√a 4
D.√a 4
4. 下面四组数，其中是勾股数组的是( )
A.0.3，0.4，0.5
B.3，4，5
C.32，42，52
D.6，7，8
5. 已知y 与x +1成正比，当x =2时，y =9；那么当y =−15时，x 的值为（ ）
A.4
B.−4
C.6
D.−6
6. 已知一次函数y =mx −(m −2)与y 轴负半轴有交点，则m 的取值范围为（ ）
A.m >2且m ≠0
B.m <2且m ≠0
C.m >2
D.不能确定
7. 下列命题中，真命题是（ ）
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
8. 若直线y =3x +6与y =2x −4的交点坐标为(a, b)，则{x =a y =b 是方程组( )的解
A.{y −3x =62x +y =−4
B.{y −3x =62x −y =−4
C.{3x −y =62x −y =4
D.{3x −y =−62x −y =4
9. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80∘，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于（）
A.50∘
B.60∘
C.70∘
D.80∘
10. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC 的面积为()
A.12
B.10
C.8
D.6
11. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ的周长的最小值为( )
A.6
B.8
C.10
D.1+4√2
12. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是()
A. B.
C.
D.
二、填空题
矩形ABCD 与CEFG 如图放置，点B ，C ，E 在同一条直线上，点C ，D ，G 在同一条直线上，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ．若BC =EF =2，CD =CE =1，则GH 的值为________．
三、解答题
计算：
(1)(3√12−2√13+√48)÷2√3；
(2)√12+√13
+√(√3−2)2．
已知：x =√2+1，求1x+1−x−3
x 2−1的值．
小红同学要测量A 、C 两地的距离，但A 、C 之间有一水池，不能直接测量，于是她在A 、C 同一水平面上选取了一点B ，点B 可直接到达A 、C 两地．她测量得到AB =80米，BC =20米，∠ABC =120∘．请你帮助小红同学求出A 、C 两点之间的距离．（参考数据√21≈4.6）
如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A(−2, −1)，B(1, 3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．
(1)在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？
(2)分别求出菱形AQCP的周长、面积．
甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行．甲的速度大于乙的速度，甲到达B地后，乙继续前行．设出发xℎ后，两人相距ykm，图中折线表示从两人出发至乙到达A地的过程中y与x之间的函数关系．
根据图中信息，求：
(1)点Q的坐标，并说明它的实际意义；
(2)甲、乙两人的速度．
如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．
(1)求证：OE=OF；
(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
参考答案与试题解析
2021-2022学年山东省德州市某校初二（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
二次根式的化简求值
同类二次根式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①不是同类二次根式，不能合并，故错误；
②不是同类二次根式，不能合并，故错误；
③正确；
④√18−√8
2=3√2−2√2
2
=√2
2
，故错误.
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
分式有意义、无意义的条件
二次根式有意义的条件
【解析】
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，分式有意义，分母不为0．
【解答】
解：根据题意，得x−3≥0且x−4≠0，
解得x≥3且x≠4．
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
最简二次根式
【解析】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】
解：A、√4a=2√a，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
B、√a
4=√a
2
，被开方数含分母，不是最简二次根式；
D、√a4=a2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式.
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
勾股数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．由此判定即可．A，0.3，0.4，0.5，不是正整数，所以不是勾股数，故错误；
B，32+42=52，是勾股数，故正确；
C，(32)2+(42)2≠(52)2，不是勾股数，故错误；
D，62+72≠82，不是勾股数，故错误．
故选B．
5.
【答案】
D
【考点】
待定系数法求一次函数解析式
【解析】
根据正比例函数的定义，设y=k(x+1)，再把x=2，y=9代入可计算出k=3，从
而得到y与x的关系式，然后计算函数值为−15所对应的自变量的值．
【解答】
解：设y=k(x+1)，
把x=2，y=9代入得k=3，
所以y=3(x+1)=3x+3，
当y=−15时，3x+3=−15，解得x=−6．
故选D．
6.
【答案】
C
【考点】
一次函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：一次函数与y轴交点在负半轴，
故−(m−2)<0，且m≠0，
解得m>2.
故选C.
7.
【答案】
C
【考点】
正方形的判定
矩形的判定
菱形的判定
平行四边形的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A 、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故本选项错误；
B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
C 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；
D 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误.
故选C .
8.
【答案】
D
【考点】
一次函数与二元一次方程（组）
【解析】
由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．那么所求方程组的解即为两函数的交点坐标．
【解答】
解：∵ 直线y =3x +6与y =2x −4交点坐标为(a, b)，
∴ 解为{x =a y =b 的方程组是{y =3x +6，y =2x −4，
即{3x −y =−6，2x −y =4.
故选D ．
9.
【答案】
B
【考点】
菱形的性质
线段垂直平分线的性质
【解析】
根据菱形的性质求出∠ADC =100∘，再根据垂直平分线的性质得出AF =DF ，从而计算出∠CDF 的值．
【解答】
解：连结BD ，BF ，
∵ ∠BAD =80∘，
∴ ∠ADC =100∘.
又∵ EF 垂直平分AB ，AC 垂直平分BD ，
∴ AF =BF ，BF =DF ，
∴ AF =DF ，
∴ ∠FAD =∠FDA =40∘，
∴ ∠CDF =100∘−40∘=60∘．
故选B ．
10.
【答案】
B
【考点】
全等三角形的性质与判定
三角形的面积
翻折变换（折叠问题）
【解析】
因为BC 为AF 边上的高，要求△AFC 的面积，求得AF 即可，求证△AFD′≅△CFB ，得BF =D′F ，设D′F =x ，则在Rt △AFD′中，根据勾股定理求x ，于是得到AF =AB −BF ，即可得到结果．
【解答】
解：由于
{∠AFD ′=∠CFB ，
∠D ′=∠B ，
AD ′=BC ，
易证△AFD′≅△CFB(AAS)，
∴ D′F =BF .
设D′F =x ，则AF =8−x ，
在Rt △AFD′中，
(8−x)2=x 2+42，
解之得：x =3，
∴ AF =AB −FB =8−3=5，
∴ S △AFC =12⋅AF ⋅BC =10．
故选B ．
11.
【答案】
A
【考点】
正方形的性质
轴对称——最短路线问题
【解析】
连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论．
【解答】
解：连结BD，DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴DE的长即为BQ+QE的最小值，
∵DE=√AD2+AE2=√42+32=5，
∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6．
故选A.
12.
【答案】
A
【考点】
动点问题
【解析】
求出CE的长，然后分①点P在AD上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函数关系；②点P在CD上时，根据S△APE＝S
梯形AECD
−S△ADP−S△CEP列式整理得到y与x的关系式；③点P在CE上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式，然后选择答案即可．
【解答】
解：∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，
∴CD=AB=2，BC=AD=3，
∵点E是BC边上靠近点B的三等分点，
∴CE=2
3
×3=2.
①点P在AD上时，△APE的面积y=1
2
x⋅2=x(0≤x≤3)；
②点P在CD上时，S△APE=S梯形AECD−S△ADP−S△CEP
=1
2
×(2+3)×2−
1
2
×3×(x−3)−
1
2
×2×(3+2−x)
=5−32x +92
−5+x =−12x +92，
∴ y =−12x +92(3<x ≤5)； ③点P 在CE 上时，S △APE =12×(3+2+2−x)×2=−x +7，
∴ y =−x +7(5<x ≤7).
故选A .
二、填空题
【答案】
√22
【考点】
全等三角形的性质与判定
矩形的性质
勾股定理
【解析】
延长GH 交AM 于M 点，证明△AMH ≅△FGH ，得到GM ＝2GH ，在Rt △GDM 中利用勾股定理求出GM 长即可解决问题．
【解答】
解：延长GH 交AD 于M 点，
在△AMH 和△FGH 中，
{∠HAM =∠HFG ，
AH =FH ，∠AHM =∠FHG ，
∴ △AMH ≅△FGH(ASA)．
∴ AM =FG ，MH =GH ,
∴ MD =FG .
∵ 四边形CEFG 是矩形，
∴ FG =CE =1，GD =2−1=1，
在Rt △MDG 中，GM =√MD 2+DG 2=√2，
∴ GH =12GM =
√22
． √2
三、解答题
【答案】
解：(1)原式=(6√3−2
3
√3+4√3)÷2√3
=28
3
√3÷2√3
=14
3
．
(2)原式=2√3+√3
3
+2−√3
=4√3
3
+2．
【考点】
二次根式的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)原式=(6√3−2
3
√3+4√3)÷2√3
=28
3
√3÷2√3
=14
3
．
(2)原式=2√3+√3
3
+2−√3
=4√3
3
+2．
【答案】
解：x=
√2+1=√2−1
(√2+1)(√2−1)
=√2−1，
化简原式=x−1−x+3
x2−1=2
x2−1
，
当x=√2−1时，原式=2
(√2−1)2−1
=
2−2√2=
1−√2
=−1−√2．
【考点】
分母有理化
分式的化简求值
【解析】
此题暂无解析【解答】
解：x=
√2+1=√2−1
(√2+1)(√2−1)
=√2−1，
化简原式=x−1−x+3
x2−1=2
x2−1
，
当x=√2−1时，原式=2
(√2−1)2−1
=
2−2√2=
1−√2
=−1−√2．
【答案】
解：过C作CD⊥AB交AB延长线于点D，∵∠ABC=120∘，
∴∠CBD=60∘，
在Rt△BCD中，
∠BCD=90∘−∠CBD=30∘，
∴BD=1
2BC=1
2
×20=10（米），
∴CD=√202−102=10√3（米），
∴AD=AB+BD=80+10=90米，
在Rt△ACD中，
AC=√AD2+CD2=√902+(10√3)2≈92（米）.
【考点】
勾股定理的应用
勾股定理的综合与创新
【解析】
首先过C作CD⊥AB交AB延长线于点D，然后可得∠BCD=30∘，再根据直角三角形的性质可得BD=10米，然后利用勾股定理计算出CD长，再次利用勾股定理计算出AC长即可．
【解答】
解：过C作CD⊥AB交AB延长线于点D，
∵∠ABC=120∘，
∴∠CBD=60∘，
在Rt△BCD中，
∠BCD=90∘−∠CBD=30∘，
∴BD=1
2BC=1
2
×20=10（米），
∴ AD =AB +BD =80+10=90米，
在Rt △ACD 中，
AC =√AD 2+CD 2=√902+(10√3)2≈92（米）.
【答案】
解：(1)把A(−2, −1)，B(1, 3)代入y =kx +b 得：
{−2k +b =−1,k +b =3,
解得{k =43,b =53.
所以一次函数解析式为y =43x +53；
(2)把x =0代入y =43x +53, 得y =53， 所以D 点坐标为(0, 53)，
所以△AOB 的面积=S △AOD +S △BOD
=12×53×2+12×53
×1 =52．
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点
待定系数法求一次函数解析式
三角形的面积
【解析】
（1）先把A 点和B 点坐标代入y =kx +b 得到关于k 、b 的方程组，解方程组得到k 、b 的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）先确定D 点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB 的面积=S △AOD +S △BOD 进行计算．
【解答】
解：(1)把A(−2, −1)，B(1, 3)代入y =kx +b 得：
{−2k +b =−1,k +b =3,
解得{k =43,b =53.
所以一次函数解析式为y =43x +53；
(2)把x =0代入y =4x +5,
得y=5
3
，
所以D点坐标为(0, 5
3
)，
所以△AOB的面积=S△AOD+S△BOD
=1
2
×
5
3
×2+
1
2
×
5
3
×1
=5
2
．
【答案】
解：(1)假设经过x秒后，四边形AQCP是菱形，
∴DP=xcm，AP=CP=AD−DP=(8−x)cm.
∵DP2+CD2=PC2，
∴x2+16=(8−x)2，
解得x=3.
答：经过3秒后四边形AQCP是菱形．
(2)由(1)得菱形的边长为5cm，
∴菱形AQCP的周长=5×4=20(cm).
菱形AQCP的面积=5×4=20(cm2).
【考点】
菱形的面积
菱形的性质
勾股定理
【解析】
（1）设经过x秒后，四边形AQCP是菱形，根据菱形的四边相等列方程即可求得所需的时间．
（2）根据第一问可求得菱形的边长，从而不难求得其周长及面积．
【解答】
解：(1)假设经过x秒后，四边形AQCP是菱形，
∴DP=xcm，AP=CP=AD−DP=(8−x)cm.
∵DP2+CD2=PC2，
∴x2+16=(8−x)2，
解得x=3.
答：经过3秒后四边形AQCP是菱形．
(2)由(1)得菱形的边长为5cm，
∴菱形AQCP的周长=5×4=20(cm).
菱形AQCP的面积=5×4=20(cm2).
【答案】
解：(1)设PQ解析式为y=kx+b，
把已知点P(0, 10)，(1, 15)代入得
{152=14k +b ，b =10，
解得：{k =−10，b =10.
∴ y =−10x +10,
当y =0时，x =1,
∴ 点Q 的坐标为(1, 0).
点Q 的意义是：
甲、乙两人分别从A ，B 两地同时出发后，经过1个小时两人相遇．
(2)设甲的速度为akm/ℎ，乙的速度为bkm/ℎ.
由已知第53ℎ时，甲到B 地，则乙走1小时路程，甲走53−1=23小时.
∴ {a +b =10,b =23a, ∴ {a =6,b =4.
答：甲、乙的速度分别为6km/ℎ、4km/ℎ.
【考点】
一次函数的应用
【解析】
（1）两人相向而行，当相遇时y ＝0本题可解；
（2）分析图象，可知两人从出发到相遇用1小时，甲由相遇点到B 用23小时，乙走这段路程用1小时，依此可列方程．
【解答】
解：(1)设PQ 解析式为y =kx +b ，
把已知点P(0, 10)，(14, 152)代入得
{152=14k +b ，b =10，
解得：{k =−10，b =10.
∴ y =−10x +10,
当y =0时，x =1,
∴ 点Q 的坐标为(1, 0).
点Q 的意义是：
甲、乙两人分别从A ，B 两地同时出发后，经过1个小时两人相遇．
(2)设甲的速度为akm/ℎ，乙的速度为bkm/ℎ.
∴ {a +b =10,b =23a,
∴ {a =6,b =4.
答：甲、乙的速度分别为6km/ℎ、4km/ℎ.
【答案】
(1)证明：∵ 四边形ABCD 是正方形．
∴ ∠BOE =∠AOF =90∘，OB =OA ．
又∵ AM ⊥BE ，
∴ ∠MEA +∠MAE =90∘=∠AFO +∠MAE ，
∴ ∠MEA =∠AFO ．
∴ △BOE ≅△AOF ．
∴ OE =OF ．
(2)解：OE =OF 成立．
证明：∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ ∠BOE =∠AOF =90∘，OB =OA ．
又∵ AM ⊥BE ，
∴ ∠F +∠MBF =90∘，
∠E +∠OBE =90∘，
又∵ ∠MBF =∠OBE ，
∴ ∠F =∠E ．
∴ △BOE ≅△AOF ．
∴ OE =OF ．
【考点】
全等三角形的性质与判定
正方形的性质
【解析】
（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB =OA ，又因为AM ⊥BE ，所以∠MEA +∠MAE =90∘=∠AFO +∠MAE ，从而求证出Rt △BOE ≅Rt △AOF ，得到OE =OF ．
（2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB =OA ，再根据已知条件求证出Rt △BOE ≅Rt △AOF ，得到OE =OF ．
【解答】
(1)证明：∵ 四边形ABCD 是正方形．
∴ ∠BOE =∠AOF =90∘，OB =OA ．
又∵ AM ⊥BE ，
∴ ∠MEA +∠MAE =90∘=∠AFO +∠MAE ，
∴ ∠MEA =∠AFO ．
∴ △BOE ≅△AOF ．
∴ OE =OF ．
∴∠BOE=∠AOF=90∘，OB=OA．又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF=90∘，
∠E+∠OBE=90∘，
又∵∠MBF=∠OBE，
∴∠F=∠E．
∴△BOE≅△AOF．
∴OE=OF．。