湖南省株洲市2019-2020学年数学高二下期末考试试题含解析

湖南省株洲市2019-2020学年数学高二下期末考试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知双曲线
，则的渐近线方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知,αβ为两个不同平面，l 为直线且l β⊥，则“αβ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．方程22
123
x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）
A ．－3＜m ＜0
B ．－3＜m ＜2
C ．－3＜m ＜4
D ．－1＜m ＜3
4．已知tan 3α=，则sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫
-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值为（ ） A ．
3
10
B ．310
-
C ．
35
D ．35
-
5．观察下列各式：5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ，则20205的末四位数字为（ ） A ．3125
B ．5625
C ．0625
D ．8125
6．已知随机变量X 服从的分布列为
X
1 2 3 … n
P
k n k n k n …
k n
则k 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．
12
D ．3
7．ABC ∆中，2,6,3
a b B π
===，则sin A 的值是（ ）
A ．
12
B ．22
C 3
D ．
123z ()(2)5z i i ++=z =
9．已知函数π
sin 4f x ax =+（）（），若0f '（
A ．2a =-
B ．0a =
C ．1a =
D ．2a =
10．某地气象台预计，7月1日该地区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110
，设A 表示下雨，B 表示刮风，则()
P A B = A ．
1
2
B ．
34
C ．
25
D ．
38
11．有一个偶数组成的数阵排列如下： 2 4 8 14 22 32 … 6 10 16 24 34 … … 12 18 26 36 … … … 20 28 38 … … … … 30 40 … … … … … 42 … … … … … … … … … … … … …
则第20行第4列的数为 （ ） A ．546
B ．540
C ．592
D ．598
12．已知正项等差数列{}n a 满足：2
11(2)n n n a a a n +-+=≥，等比数列{}n b 满足：112(2)n n n b b b n +-⋅=≥，
则220182018log ()a b +=（ ） A ．-1或2
B ．0或2
C ．2
D ．1
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．在6
21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中,第4项的二项式系数是______（用数字作答）. 14．在西非“埃博拉病毒"的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
20()P K k ≥
0.100 0.050 0.025 0.010
0k
2.706
3.841 5.024 6.635
根据上表，有________的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.
15．一只蚂蚁位于数轴0x =处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为
2
3，向左移动的概率为13
，则3秒后，这只蚂蚁在x =1处的概率为________. 16．已知直线l 的极坐标方程为sin 2ρθ=，O 为极点，点A 在直线l 上，线段OA 上的点B 满足
8OA OB ⋅=，则点B 的轨迹的极坐标方程为_______________.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．某地区举办知识竞答比赛，比赛共有四道题，规则如下：答题过程中不论何时，若选手出现两题答错，则该选手被淘汰分数记为0，其它情况下，选手每答对一题得1分，此外若选手存在恰连续3次答对题目，则额外加1分，若4次全答对，则额外加2分.已知某选手每次答题的正确率都是2
3
，且每次答题结果互不影响.
()1求该选手恰答对3道题的概率；
()2记X 为该选手参加比赛的最终得分，求X 的分布列与数学期望.
18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，
1AB =，点E 为棱PC 的中点
（1）证明：BE DC ⊥；
（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值.
19．（6分）一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．
（Ⅰ）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是偶数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的分布列和数学期望．
（1）求M ；
（2）当,a b M ∈时，证明：2|||4|a b ab +<+.
21．（6分）如图，在空间四边形OABC 中，已知E 是线段BC 的中点，G 在AE 上，且2AG GE =．
()1试用向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 表示向量OG u u u r ；
()2若2OA =，3OB =，4OC =，60AOC BOC ∠=∠=o ，求OG AB ⋅u u u r u u u r
的值．
22．（8分）为了了解青少年的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名青少年进行调查，得到如下列联表：
常 喝 不常喝
总 计
肥 胖 2 不肥胖
18 总 计
30
已知从这30名青少年中随机抽取1名，抽到肥胖青少年的概率为
．
（1）请将列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关？ 独立性检验临界值表： P （K 2≥k 0） 0.15 0.10
0.05
0.025 0.010 0.005 0.001
k 0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：
，其中n=a+b+c+d ．
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】
根据双曲线的性质，即可求出。

【详解】 令
，即有
双曲线的渐近线方程为，故选C 。

【点睛】
本题主要考查双曲线渐近线方程的求法。

2．B 【解析】 【分析】
当αβ⊥时，若l α⊂，则推不出//l α；反之//l α可得αβ⊥，根据充分条件和必要条件的判断方法，判断即可得到答案． 【详解】
当αβ⊥时，若l α⊂且l β⊥，则推不出//l α，故充分性不成立； 当//l α时，可过直线l 作平面γ与平面α交于m ，
根据线面平行的性质定理可得//l m ，又l β⊥，所以m β⊥， 又m α⊂，所以αβ⊥，故必要性成立， 所以“αβ⊥”是“//l α”的必要不充分条件． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判定，关键是掌握充分条件和必要条件的定义，判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ． 3．A 【解析】
由题意知，23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A.
【解析】 【分析】
直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式转化求解即可. 【详解】
解：因为tan 3α=，则2
tan sin cos sin cos 221tan ππαααααα⎛⎫⎛⎫
-⋅+=-=-
⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
33
9110
=-
=-+. 故选：B. 【点睛】
本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】
根据5
6
7
8
9
53125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ，分析次数与末四位数字的关系，归纳其变化规律求解. 【详解】
因为5
6
7
8
9
53125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ， 观察可知415k +的末四位数字3125，
425k +的末四位数字5625， 435k +的末四位数字8125， 445k +的末四位数字0625，
又202045044=⨯+，则20205的末四位数字为0625. 故选：C 【点睛】
本题主要考查数列中的归纳推理，还考查了理解辨析推理的能力，属于中档题. 6．A 【解析】 【分析】
由概率之和为1，列出等式，即可求得k 值.
由概率和等于1可得：·
1k n n
=，即1k =. 故选A. 【点睛】
本题考查分布列中概率和为1，由知识点列式即可得出结论. 7．B 【解析】 【分析】
根据正弦定理求解. 【详解】
由正弦定理得sin sin sin
sin 3a A A b B π=∴==
B. 【点睛】
本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．C 【解析】 【分析】
利用复数的四则运算可得5
2z i i
=-+，再利用复数的除法与减法法则可求出复数z . 【详解】
()()25z i i ++=Q ，()()()
525
222222i z i i i i i i i i -∴=-=-=--=-++-，故选C. 【点睛】
本题考查复数的四则运算，考查复数的求解，考查计算能力，属于基础题． 9．D 【解析】
分析：求出函数π
sin 4f x ax =+（
）（）的导数，由0f '（可求得a .
详解：函数πsin 4f x ax =+（）（）的导数π
cos 4
f x a ax +'=（）（），由0f '（可得
π
cos 0, 2.4a a a =⨯+∴=（）
选D.
点睛：本题考查函数的导函数的概念及应用，属基础题. 10．B
解：因为5月1日浔阳区下雨的概率为
4
15
，刮风的概率为
2
15
，既刮风又下雨的概率为
1
10
，设A为下雨，B为刮风，则
1
()3
10
(|)
2
()4
15
P AB
P A B
P B
===
11．A
【解析】
分析：观察数字的分布情况，可知从右上角到左下角的一列数成公差为2的等差数列，想求第20行第4列的数，只需求得23行第一个数再减去23
⨯即可，进而归纳每一行第一个数的规律即可得出结论．
详解：
顺着图中直线的方向，从上到下依次成公差为2的等差数列，
要想求第20行第4列的数，只需求得23行第一个数再减去23
⨯即可.
观察可知第1行的第1个数为：12
⨯；
第2行第1个数为：23
⨯；
第3行第1个数为：34
⨯.
……
第23行第1个数为：2324
⨯.
所以第20行第4列的数为232423546
⨯-⨯=.
故选A.
点睛：此题考查归纳推理，解题的关键是通过观察得出数字的排列规律，是中档题．
12．C
【解析】
分析：根据数列的递推关系，结合等差和等比数列的定义和性质求出数列的通项公式即可得到结论．
详解：由()
2
11
2
n n n
a a a n
+-
+=≥，得2
11
n n n
a a a
+-
=+，
∵{}n a是正项等差数列，
22n a n ∴=≥，（） ，111120222n n n n n n b b b n b b b n +-+-⋅-=≥∴⋅=≥Q （），（），
∵{}n b 是等比数列，2
112222n n n n n b b b b n b n +-∴⋅==≥∴=≥（），
，（）， 则2222242n n log a b log log （）（）
+=+==，即()220182018log 4a b += 故选：D ．
点睛：本题主要考查对数的基本运算，根据等差数列和等比数列的性质，求出数列的通项公式是解决本题的关键．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．20 【解析】 【分析】
利用二项式的通项公式即可求出. 【详解】
二项式6
21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的通项公式为：6236
1661()()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=⋅⋅-=⋅-⋅.
令3r =, 所以第4项的二项式系数是3
620C =
故答案为：20 【点睛】
本题考查了二项式某项的二项式系数,解决本题要注意与二项式某项的展开式系数的不同. 14．95% 【解析】 【分析】
先由题中数据求出2K ，再由临界值表，即可得出结果. 【详解】
由题中数据可得：
222
()100(10304020)100
4.762 3.841()()()()5050307021
-⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯n ad bc K a b c d a c b d ，
根据临界值表可得：犯错误的概率不超过0.05. 即有95%的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”. 故答案为95% 【点睛】
15．
49
【解析】 【分析】
3秒后，这只蚂蚁在x =1处的概率即求蚂蚁三次移动中，向右移动两次，向左移动一次的概率，由n 次独立重复试验的概率计算即可。

【详解】
3秒后，这只蚂蚁在x =1处的概率即求蚂蚁三次移动中，向右移动两次，向左移动一次的概率，所以
2
23124
339
P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查独立重复试验概率的计算，属于基础题。

16．=4sin (0)ρθρ> 【解析】 【分析】
设B 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，A 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>，将点A 的坐标代入直线l 上得出
1sin 2ρθ=，由8OA OB ⋅=，得18ρρ=，得18
ρρ
=
，代入1sin 2ρθ=后化简看得出答案。

【详解】
设B 的极坐标为()ρθ，(0)ρ>，A 的极坐标为1()ρθ，1(0)ρ>. 所以OB ρ=,1OA ρ=,且1sin 2ρθ=. 由8OA OB ⋅=得2
=8sin ρθ
⋅，即=4sin (0)ρθρ>.故答案为：=4sin (0)ρθρ>。

【点睛】
本题考查动点的极坐标方程，考查相关点法求动点的轨迹方程，解本题的关键在于弄清楚主动点与从动点两点之间极径与极角之间的关系，并用这种相互关系进行替换，考查推理能力，属于中等题。

三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．()
132
81
；()220881. 【解析】 【分析】
(1)通过二项分布公式即可得到概率；
【详解】
()1Q 该选手每次答题的正确率都是23
，四道题答对3的情况有34C 种
∴恰答对3道题的概率3
34
21323381
P C ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭ ()2由题X 可能的取值为0,3,4,6
()3
2116323381P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()3
2116
423381P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()4
2166,381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
()()()()11
0134627
P X P X P X P X ==-=-=-==
X ∴的分布列如下
11161616208
03462781818181
EX =⋅
+⋅+⋅+⋅=
. 【点睛】
本题主要考查二项分布的运用，数学期望与分布列的相关计算，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度中等. 18．（1）证明见详解；（2310
【解析】 【分析】
（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥； （2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫
⎪
⎭
⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值. 【详解】
证明：（1）∵在四棱锥P−ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ， AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.
∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0），
(0,1,1)BE =u u u r
，(2,0,0)DC =u u u r ，
0BE DC ∴⋅=u u u r u u u r
，
∴BE DC ⊥；
（2）∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，
∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈u u u r u u u r
，
则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-， (21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=u u u r u u u r
，
∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=u u u r u u u r
，
解得1113,,,4222F λ⎛⎫=
∴ ⎪⎝⎭
， 113(1,0,0),,,222AB AF ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
u u u r u u u r ，
设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =r
，
则0
113
222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪
⎨⋅=++=⎪⎩
u u u v v u u u v v ，取1z =，得(0,3,1)n =-r ， 平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =u r
，
设二面角F AB P --的平面角为θ，
则||cos ||||m n m n θ⋅===⋅u r r u r r ，
∴二面角F AB P --
. 【点睛】
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 19．（1）1328；（2）32
. 【解析】 【分析】 【详解】
（1）记 “任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是偶数”为事件A ,
事件总数为2
828C =，
因为偶数加偶数，奇数加奇数，都是偶数，则事件A 种数为22
3513C C +=，
得()13
28
P A =
. 所得新数是偶数的概率 1328 .
(2)ξ所有可能的取值为1,2,3,4,
根据题意得()151851,8C P C ξ===()11
3511
8715
2,56C C P C C ξ==⋅= ()11135211187653,56C C C P C C C ξ==⋅⋅=()1111
3521111187651
4.56
C C C C P C C C C ξ==⋅⋅⋅=
故ξ的分布列为
ξ
1 2 3 4
5
8 1556 556 156
123485656562
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．
点睛：本题主要考查概率与统计，涉及的知识点有组合数的计算，古典概型，分布列和数学期望等，属于中档题．本题关键是弄清楚ξ为1,2,3,4所表示的意义及分别求出概率． 20．（I ） M ＝(－2，2)．（Ⅱ）见解析 【解析】
试题分析：（1）将函数写成分段函数，再利用()4f x <，即可求得M ；
（2）利用作差法，证明2222
4(2)168a ab b ab a b ++<++，即可得到结论．
试题解析：（1）2,1
()11{2,12,11
x x f x x x x x x >=++-=-<--≤≤，
当1x >时，24x <，解得12x <<； 当1x <-时，24x -<，解得21x -<<-； 当11x -≤≤时，24<恒成立； 综合以上：{}|22x x -<< （2）证明24a b ab +<+，
只需2
2
22
4(2)168a ab b ab a b ++<++， 只需22224416a b a b +<+
∵2222224416(4)(4)a b a b a b --+=--
又∵22
(0,4),(0,4)a b ∈∈， ∴222244160a b a b --+> 因此结果成立.
考点：不等式证明；绝对值函数
21．（1）111333OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ；（2）7
3
.
【解析】 【分析】
()
()
12232AG GE OG OA OE OG OG OE OA =∴-=-∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q u u u r 又2OE OB OC =+u u u r u u u r u u u r
，由此即可求出结果；
（2）利用111333OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r 和数量及的定义1242
OA OC ⋅=⨯⨯u u u r u u u r ，
1
342
OC OB ⋅=⨯⨯u u u r u u u r 代入得结果．
【详解】
解：()()
12232AG GE OG OA OE OG OG OE OA =∴-=-∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q u u u r 又2OE OB OC =+u u u r u u u r u u u r
111333
OG OA OB OC ∴=++u u u r u u u r u u u r u u u r
()2由()1问知23,23⎡⎤-+
+⎣⎦．
【点睛】
本题考查平面向量的基本定理，和平面向量的数量积的运算公式及平面向量基本定理的应用． 22．（1）见解析（2）有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关 【解析】
试题分析：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人，求出x 的值，填表即可； （2）计算观测值K 2
，对照数表得出结论；
试题解析：解：（1）设常喝碳酸饮料且肥胖的青少年人数为x ，则=
解得x=6
列联表如下：
常 喝 不常喝 总 计 肥 胖 6 2 8 不肥胖 4 18 22 总 计
10
20
30 （2）由（1）中列联表中的数据可求得随机变量k 2的观测值：
k=≈8.523＞7.789
因此有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关．。