浙教版八年级数学上册.3 等腰三角形的性质定理(二).docx

2．3等腰三角形的性质定理(二)
1．(1)在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝80°，则∠DAC＝40°；若BC＝6 cm，则CD ＝3cm；
(2)在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若BD＝2.5 cm，则BC＝5cm，∠ADB＝90°；
(3)在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若∠BAD＝50°，则∠BAC＝100°，∠ADC＝90°．
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，则BD＝__3__．
(第2题)
(第3题)
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，延长BA至点D.若∠CAE＝36°，则∠B＝54°，∠CAD ＝108°．
4. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，有下列结论：①AD⊥BC，②BD＝DC，③∠B＝∠C，
④∠BAD＝∠CAD.其中正确的是①②③④(填序号)．
5．等腰三角形的“三线合一”指的是(D)
A．中线、高线、角平分线互相重合
B．腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合
C．顶角的平分线、中线、高线互相重合
D．顶角的平分线，底边上的高线、底边上的中线互相重合
(第6题)
6．如图是人字形屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且AB＝AC，D为BC的中点．现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D.如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是(C)
A．AC和BC，焊接点C B．AB和AC，焊接点A
C．AD和BC，焊接点D D．AB和AD，焊接点A
(第7题)
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点(不与A重合)，且OB＝OC，试猜想AE与BC的关系，并说明理由．
【解】猜想：AE垂直平分BC，即AE⊥BC，BD＝CD.理由如下：
∵AB＝AC，OB＝OC，AO＝AO，
∴△ABO≌△ACO(SSS)，
∴∠BAO＝∠CAO.
∴AE⊥BC，BD＝CD(等腰三角形三线合一)．
(第8题)
8．如图，在△ABC中，PM，QN分别是AB，AC的垂直平分线，∠BAC＝110°，求∠P AQ的度数．【解】∵PM垂直平分AB，
∴P A＝PB，
∴∠P AB＝∠B.
同理，∠QAC＝∠C.
∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°，
∴∠P AB＋∠QAC＝70°.
∵∠P AQ＝110°－(∠P AB＋∠QAC)，
∴∠P AQ＝110°－70°＝40°.
(第9题)
9．如图，已知等腰△ABC 的周长为16 cm ，AD 是顶角∠BAC 的平分线，AB ∶AD ＝5∶4，且△ABD 的周长为12 cm.求△ABC 各边的长．
【解】 设AB ＝5x ，则AD ＝4x ，AC ＝5x ，BC ＝16－10x . ∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ， ∴BD ＝DC ＝1
2BC ＝8－5x ，
∴5x ＋4x ＋(8－5x )＝12，解得x ＝1.
∴AB ＝5x ＝5，AC ＝5x ＝5，BC ＝16－10x ＝6.
(第10题)
10．如图所示是一人字架设计图，已知AB ＝AC ，∠B ＝22°.为使中柱AH 垂直于横梁BC ，工人师傅取了BC 的中点H ，按图计算出AH 的长．装上后，那么AH ⊥BC ，你觉得这样的设计是否达到要求？理由是什么？如果要计算出∠BAH 和∠CAH 的度数，你会算吗？
【解】 这样的设计符合要求．理由如下： ∵AB ＝AC ，H 是BC 的中点， ∴AH ⊥BC (等腰三角形三线合一)． 故这样的设计符合要求． ∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ＝22°，
∴∠BAC ＝180°－22°－22°＝136°. ∵AB ＝AC ，H 是BC 的中点， ∴∠BAH ＝∠CAH ＝1
2
∠BAC ＝68°.
(第11题)
11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 在CA 的延长线上，∠E ＝∠AFE ，请判断EF 与BC 的位置关系，并说明理由．
【解】 EF ⊥BC.理由如下：
过点A 作AD ⊥BC 于点D ，延长EF 交BC 于点G. ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，
∴2∠CAD ＝∠BAC(等腰三角形三线合一)． 又∵∠BAC 是△AEF 的外角， ∴∠BAC ＝∠E ＋∠AFE. ∵∠E ＝∠AFE ， ∴∠BAC ＝2∠E. ∴∠CAD ＝∠E ， ∴AD ∥EF ，
∴∠EGC ＝∠ADC ＝90°， ∴EF ⊥BC .
(第12题)
12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC 的补角∠EAC ，AF 是BC 边上的中线．求证：AD ⊥AF. 【解】 ∵AB ＝AC ，AF 是BC 边上的中线， ∴∠FAC ＝1
2∠BAC.
∵AD 平分∠CAE ， ∴∠CAD ＝1
2
∠CAE.
又∵∠BAC ＋∠CAE ＝180°，
∴∠F AC ＋∠CAD ＝1
2
(∠BAC ＋∠CAE )＝90°，
即∠DAF ＝90°， ∴AD ⊥AF .
(第13题)
13．如图，在△ABC 中，∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，分别以AB ，AC 为边做等边△ABE 和△ACD ，连结ED 交AB 于点F .求证： (1)BC ＝1
2AB ；
(2)EF ＝FD .
【解】 (1)过点E 作EG ⊥AB 于点G . ∵△ABE 为等边三角形，
∴BG ＝12AB ，∠BEG ＝1
2∠AEB ＝30°，BA ＝BE .
∵∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，
∴∠BGE ＝∠BCA ＝90°，∠BAC ＝∠BEG . 在△ACB 和△EGB 中， ∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠BGE ＝∠BCA ，∠BEG ＝∠BAC ，BE ＝BA ， ∴△ACB ≌△EGB (AAS )， ∴BC ＝BG . ∴BC ＝12
AB .
(2)∵△ACB ≌△EGB ， ∴AC ＝EG .
∵△ACD 为等边三角形， ∴∠CAD ＝60°，AC ＝AD ， ∴EG ＝DA . ∵∠BAC ＝30°，
∴∠DAF ＝∠CAD ＋∠BAC ＝90°. ∴∠EGF ＝∠DAF . 在△EGF 和△DAF 中， ∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠EFG ＝∠DF A ，∠EGF ＝∠DAF ，EG ＝DA ， ∴△EGF ≌△DAF (AAS )， ∴EF ＝FD .
14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BA 的延长线上一，E 是AC 的中点．
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)． ①作∠DAC 的平分线AM ； ②连接BE 并延长交AM 于点F .
(2)猜想与证明：试猜想AF 与BC 的位置关系和数量关系，并说明理由．
(第14题)
【解】 (1)作图如图所示． (2)AF ∥BC ，且AF ＝BC.理由如下： ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ，
∴∠DAC ＝∠ABC ＋∠C ＝2∠C. 由作图可得∠DAC ＝2∠FAC. ∴∠C ＝∠FAC ， ∴AF ∥BC. ∵E 为AC 的中点， ∴AE ＝CE.
在△AEF 和△CEB 中， ∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠FAE ＝∠C ，AE ＝CE ，∠AEF ＝∠CEB ， ∴△AEF ≌△CEB(ASA)，
∴AF ＝BC.
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桑水。