罗必达法则

ln sin 3 x . 例 3 求极限 xlim0 → + ln sin x ∞ 型的不定式,且满足罗必达法则的条件, 解:这是一个 型的不定式,且满足罗必达法则的条件,所
以有
cos 3 x 3 ln sin 3 x sin 3 x = 3 lim sin x = 1. lim = lim x → +0 ln sin x x → +0 x → +0 sin 3 x cos x sin x
�
lim
x→ a
f ' ( x ) 存在(或者为无穷大); 存在(或者为无穷大); g '( x)
f (x) 存在(或者为无穷大), 且 存在(或者为无穷大) g (x)
f (x) f '( x) = lim x→ a g '( x ) g (x)
x→ a
证明:(从略) 证明:(从略) :(从略
如果极限 lim
( n为正整数 , λ > 0)
∞
xn 例 4 求极限 xlim e λx → +∞
∞ 解:这是一个 ∞
型的不定式,且满足罗必达法则的条件, 型的不定式,且满足罗必达法则的条件,相
继应用罗必达法则 n次,即有 次
xn nx n 1 n ( n 1) x n 2 lim = lim = lim λx λx x → +∞ e x → +∞ λ e x → +∞ λ 2 e λx n! = = lim = 0 n λx x → +∞ λ e
解:容易验证,该极限满足罗必达法则的要求,所以 容易验证,该极限满足罗必达法则的要求,
x sin x 1 cos x sin x 1 = lim = lim = . lim 3 2 x→ 0 x→ 0 x→ 0 x 3x 6x 6 ( x sin x ) sin x . 例 2 求极限 lim 0 2 x 3 x→ e x tg 4 x
f '( x ) ∞ 型的不定式, 仍属于 型的不定式,且满足定理 g '( x) ∞
的条件,则可以继续使用上述定理, 的条件,则可以继续使用上述定理,即
lim
x→ ∞
f (x) f '( x ) f '' ( x ) = lim = lim x→ ∞ g '( x ) x → ∞ g '' ( x ) g (x)
x→ ∞
f '( x ) 存在(或者为无穷大); 存在(或者为无穷大); :(从略 如果极限 lim
x→ ∞
f (x) 存在(或者为无穷大) 存在(或者为无穷大), 且 g (x) f (x) f '( x) lim = lim x→ ∞ g ( x ) x→ ∞ g '( x )
时有定义, 定理 4 设函数 f(x), g(x)在| x| >N 时有定义,如果 在 都趋于无穷大; (1)当 x→ ∞ 时,函数 f(x)及g(x)都趋于无穷大; ) → 及 都趋于无穷大 时可导, (2)函数 f(x),g(x)在 | x| >N 时可导,且g′(x) ≠ 0 ; ) , 在 ′ (3)极限 lim ) 则极限 lim∞ x→
当分子,分母都趋于无穷大时,也有类似的结果. 当分子,分母都趋于无穷大时,也有类似的结果.即 定理3 定理 设函数 f(x), g(x)在点 a 的某个空心邻域上有定义,如果 在点 的某个空心邻域上有定义, (1)当 x→ a 时,函数 f(x)及g(x)都趋于无穷大; ) → 及 都趋于无穷大; 都趋于无穷大 (2)函数 f(x),g(x)在 a 的某个空心邻域内可导,且g′(x) ≠ 0 ; ) , 在 的某个空心邻域内可导, ′ (3)极限 lim )
x→ ∞
f '( x ) 存在(或者为无穷大); 存在(或者为无穷大); ' g (x)
证明:(从略) 证明:(从略) :(从略 如果极限 lim∞ x→
f (x) 存在(或者为无穷大) 存在(或者为无穷大), 且 g (x) f (x) f '( x) lim = lim x→ ∞ g ( x ) x→ ∞ g '( x )
4.2.2 罗必达法则
本段将要给出一种专门解决不定式极限的方法, 本段将要给出一种专门解决不定式极限的方法,这是一种非常 重要的求极限方法,称为罗必达法则.注意掌握. 重要的求极限方法,称为罗必达法则.注意掌握. 定理1 定理 设函数 f(x), g(x)在点 a 的某个空心邻域上有定义,如果 在点 的某个空心邻域上有定义, 都趋于0; (1)当 x→ a 时,函数 f(x)及g(x)都趋于 ; ) → 及 都趋于 (2)函数 f(x),g(x)在 a 的某个空心邻域内可导,且g′(x) ≠ 0 ; ) , 在 的某个空心邻域内可导, ′ (3)极限 lim ) 则极限 lim a x→
x→ a
f '( x) 存在(或者为无穷大); 存在(或者为无穷大); ' g (x)
f (x) lim 存在(或者为无穷大) 则极限 x → a g ( x ) 存在(或者为无穷大), 且
lim
x→ a
f (x) f '( x) = lim x→ a g '( x ) g (x)
证明:(从略) 证明:(从略) :(从略 当 x→ ∞ 时,上述定理即为 →
0 f '( x ) 型的不定式, 仍属于 型的不定式,且满足定理的条 ' 0 g (x)
件,则可以继续使用上述定理,即 则可以继续使用上述定理,
lim
x→ ∞
f (x) f '( x ) f '' ( x ) = lim = lim x→ ∞ g '( x ) x → ∞ g '' ( x ) g (x)
的结果, 解:利用例1的结果,可得 利用例 的结果
lim
x→ 0
( x sin x ) sin x ( x sin x ) 1 = lim = . 2 x 3 3 x→ 0 e x tg 4 x 4x 24
时有定义, 定理 2 设函数 f(x), g(x)在| x| >N 时有定义,如果 在 都趋于0; (1)当 x→ ∞ 时,函数 f(x)及g(x)都趋于 ; ) → 及 都趋于 时可导, (2)函数 f(x),g(x)在 | x| >N 时可导,且g′(x) ≠ 0 ; ) , 在 ′ (3)极限 lim ) 则极限 lim∞ x→
x→ a
0 f '( x) 型的不定式, 仍属于 型的不定式,且满足定理 ' 0 g (x)
的条件,则可以继续使用上述定理, 的条件,则可以继续使用上述定理,即
f (x) f '( x) f '' ( x ) lim = lim = lim x→ a g ( x ) x→ a g '( x ) x → a g '' ( x ) x sin x lim . 例 1 求极限 x → 0 3 x