【苏教版】高中数学同步辅导与检测必修5第2章章末知识整合

章末知识整合
[整合·网络构建]
专题1 求数列的通项公式 一、观察法
[典例1] 写出以下数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
(1)－1，12，－13，1
4；
(2)112，245，3910，416
17
；
(3)－3，7，－15，31，…； (4)2，6，2，6，….
分析：观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系，每一项分子与分母的关系，前后项间的关系归纳通项．
解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，故有：
a n ＝(－1)n ·1n .
(2)112＝1＋112＋1，
245＝2＋22
22＋1， 3910＝3＋32
32＋1， 41617＝4＋42
42＋1， …，
故a n ＝n ＋n 2
n 2＋1
(n ∈N *)．
(3)正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n 来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，所以a n ＝(－1)n ·(2n ＋1－1)．
(4)这样的摆动数列，一般求两数的平均数
2＋6
2
＝4， 而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示．
a n ＝4＋(－1)n
·2或a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧2 （n 是奇数），
6 （n 是偶数）.
归纳拓展
(1)观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键．
(2)由数列的前n 项归纳出的通项公式不一定唯一．如数列5，0，－5，0，5，…的通项公式可为5cos （n －1）π2(n ∈N *)，也可为a n ＝
5sin n π
2
(n ∈N *)．
(3)已知数列的前n 项，写出数列的通项公式时，要熟记一些特殊数列．如{(－1)n
}，{n }，{2n －1}，{2n }，{2
n －1
}，{n 2
}，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1n 等，观
察所给数列与这些特殊数列的关系，从而写出数列的通项公式．
[变式训练]
1．写出下列数列的一个通项公式． (1)1，－14，19，－1
16，…；
(2)2，6，23，25，…； (3)1，3，6，10，15，…； (4)1，－4，7，－10，13，….
解：(1)a n ＝(－1)n ＋11n
2(n ∈N *
)．
(2)原数列可写成2， 6，12，20，…， 易得a n ＝n （n ＋1）(n ∈N *)．
(3)因为3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，15＝1＋2＋3＋4＋5，…，所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2
(n ∈N *)．
(4)因为1，4，7，10，13，…组成1为首项，3为公差的等差数列，易得a n ＝(－1)n ＋1(3n －2)(n ∈N *)．
二、利用a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2求a n
[典例2] 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N ＋)，
求a n 的通项公式．
分析：利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），
S n －S n －1
（n ≥2），将式中的S n 去掉求解．
解：当n ＝1时，a 1＝5S 1－3＝5a 1－3， 得：a 1＝3
4
，
当n ≥2时，由已知a n ＝5S n －3， 得：a n －1＝5S n －1－3，
两式作差得a n －a n －1＝5(S n －S n －1)＝5a n ， 所以a n ＝－1
4
a n －1.
所以数列{a n }是首项a 1＝34，公比q ＝－1
4的等比数列．
所以a n ＝a 1·q n －1＝34·⎝ ⎛⎭⎪
⎫
－14n －1
.
归纳拓展
已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是a n
＝S n －S n －1(n ≥2)．这里常常因为忽略了n ≥2的条件而出错，即由a n ＝S n －S n －1求得a n 时的n 是从2开始的自然数，否则会出现当n ＝1时S n －1＝S 0，而与前n 项和定义矛盾．可见由a n ＝S n －S n －1所确定的a n ，当n ＝1时的a 1与S 1相等时，a n 才是通项公式，否则要用分
段函数表示为a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2.
[变式训练]
2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.
(1)求a 1的值；
(2)求{a n }的通项公式．
解：(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1，而T 1＝S 1＝a 1， 所以a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1.
(2)n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n
－1
－2n ＋1.
所以S n ＝2S n －1＋2n －1，① S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1.② ②－①得a n ＋1＝2a n ＋2，
即a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，亦即a n ＋1＋2a n ＋2＝2.
a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，a 2＋2
a 1＋2
＝2，
所以{a n ＋2}是首项为3，公比为2的等比数列． 所以a n ＋2＝3·2n －1，故a n ＝3·2n －1－2(n ∈N *)． 三、叠加法
[典例3] 已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n －n . (1)求a 2，a 3；
(2)求证：a n ＝2n
－n （n －1）2
－1.
分析：由数列{a n }的递推公式，令n ＝1，2逐项求出a 2，a 3；由递推公式的特点，可采用叠加法求通项．
(1)解：因为a 1＝1， 所以a 2＝a 1＋2－1＝2， a 3＝a 2＋22－2＝4.
(2)证明：因为a n ＋1－a n ＝2n －n ，
所以a 2－a 1＝21－1，a 3－a 2＝22－2，a 4－a 3＝23－3，…，
当n≥2时，a n－a n－1＝2n－1－(n－1)．
所以n≥2时，将以上(n－1)个式子相加，得
a n－a1＝(21＋22＋…＋2n－1)－[1＋2＋…＋(n－1)]，
所以a n＝2n－n（n－1）
2－1.
而n＝1时，a1＝1也适合上式．
所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－n（n－1）
2－
1.
归纳拓展
(1)对n＝1时，检验a1＝1是否满足a n＝
3n－1
2是必要的，否则就要写成分段函数的形式．
(2)如果给出数列{a n}的递推公式为a n＝a n－1＋f(n)型，并且{f(n)}容易求和，这时可采用叠加法．
对n＝1检验是必要的，否则就要写成分段函数的形式，这里说的f(n)易求和，指的是f(n)的形式为等差数列前n项和、等比数列前n项和，或是常见的特殊公式，如12＋22＋32＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）
6等．
[变式训练]
3．已知数列{a n}满足a n＋1＝a n＋n2，且a1＝1，求{a n}的通项公式．解：因为a n＋1＝a n＋n2，所以a n＋1－a n＝n2.
所以
⎩⎪
⎨
⎪⎧a2－a1＝1
2，
a3－a2＝22，
…
a n－a n－1＝（n－1）2.
叠加即得
a n－a1＝12＋22＋…＋(n－1)2＝
（n－1）n（2n－1）
6，
所以a n ＝1
6n (n －1)(2n －1)＋1(n ∈N *)．
四、叠乘法
[典例4] 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋2)a n ，求a n . 分析：数列{a n }中的递推公式可化为a n ＋1a n ＝n ＋2
n 可采用叠乘法求
通项．
解：因为a n ＋1a n ＝n ＋2
n
，
所以n ≥2时，a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝31×42×53×64×7
5×…×
n
n －2·n ＋1n －1
＝n （n ＋1）2，
即a n a 1＝n （n ＋1）
2. 又因为a 1＝1， 所以a n ＝n （n ＋1）2.
而a 1＝1也适合上式，
所以{a n }的通项公式为a n ＝1
2n (n ＋1)．
归纳拓展
如果数列{a n }的递推公式为a n ＋1
a n
＝f (n )型时，并且{f (n )}容易求前n
项的积，这时可采用叠乘法．叠乘的目的是使分子、分母相抵消．
[变式训练]
4．在数列{a n }中，已知a 1＝1
4，a n ＋1＝2n a n ，求a n .
解：由a n ＋1＝2n
a n 得a n ＋1a n
＝2n
，
所以a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1
＝2n －1
.叠乘得a n a 1＝2×22×…×2n －1
＝2
n （n －1）
2
，
所以a n ＝2
n （n －1）
2
·1
4
＝2n 2－n －4
2
(n ∈N *)．
五、构造转化法
[典例5] 已知{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝1
2a n ＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫12n ＋1
，求a n .
分析：两边同除以⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12n ＋1
，可转化为b n ＋1＝b n ＋t 的形式，即{b n }
为等差数列．
解：在a n ＋1＝1
2a n ＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12n ＋1
的两边同乘以2n ＋1，得2n ＋1a n ＋1＝2n a n
＋1，令b n ＝2n a n ，
则b n ＋1＝b n ＋1.
于是{b n }是以5
3为首项，以1为公差的等差数列．
则b n ＝53＋(n －1)·1，即2n a n ＝n ＋2
3，
故a n ＝n ＋
23
2n .
归纳拓展
根据已知条件构造一个与{a n }有关的新的数列，通过新数列通项公式的求解求得{a n }的通项公式．新的数列往往是等差数列或是等比数列．例如形如a n ＝pa n －1＋q (p ，q 为常数)的形式，往往变为a n －λ＝p (a n －1－λ)，构成等比数列，求a n －λ通项公式，再求a n .
[变式训练]
5．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n －2，求a n . 解：由a n ＋1＝3a n －2，设a n ＋1＋k ＝3(a n ＋k )，
其中k 是待定系数，即a n ＋1＝3a n ＋2k 与条件进行对比， 得2k ＝－2，所以k ＝－1. 故a n ＋1－1＝3(a n －1)，
所以{a n －1}是2－1＝1为首项，公比为3的等比数列． 所以a n －1＝1×3n －1. 所以a n ＝3n －1＋1(n ∈N *)． 专题2 数列的求和 一、公式法
[典例6] (1)求1＋4＋7＋…＋(3n ＋1)的值；
(2)若数列{x n }满足log a x n ＋1＝1＋log a x n (n ∈N *，a ＞0，且a ≠1)且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，求x 101＋x 102＋…＋x 200的值．
分析：(1)中1，4，7，…，3n ＋1是个等差数列，但容易这样求解：S n ＝n [1＋（3n ＋1）]2＝3n 2
2＋n .这是错误的，错在没搞清此数列
有多少项．(2)可以作个变换log a x n ＋1－log a x n ＝log a x n ＋1
x n ＝1，推导出{x n }
是等比数列再求解．
解：(1)因为数列中3×0＋1＝1， 所以第1项1是n ＝0时得到的．
所以此数列是首项为1，末项为3n ＋1，项数为n ＋1的等差数列．
所以S n ＝（n ＋1）[1＋（3n ＋1）]2＝3n 22＋5n
2＋1.
(2)由log a x n ＋1＝1＋log a x n 得log a x n ＋1－log a x n ＝1，
所以log a x n ＋1
x n ＝1.
所以x n ＋1
x n
＝a .
所以数列{x n }是公比为a 的等比数列． 由等比数列的性质得：
x 101＋x 102＋…＋x 200＝(x 1＋x 2＋…＋x 100)a 100＝100×a 100.
归纳拓展
数列求和常用的公式有：
等差数列：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）
2d .
等比数列：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1
，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.
∑k ＝1
n
k ＝1＋2＋3＋…＋n ＝1
2n (n ＋1)．
∑k ＝1
n
k 2＝12＋22＋32＋…＋n 2＝1
6n (n ＋1)(2n ＋1)．
[变式训练]
6．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若{c n }是1，1，2，…，求{c n }的前10项之和．
解：设{a n }的首项为a ，公比为q ，{b n }首项为b ，公差为d ，b 1
＝0，由c 1＝a 1＋b 1＝1，知a 1＝1.
c 2＝a 2＋b 2＝q ＋
d ＝1， c 3＝a 3＋b 3＝q 2＋2d ＝2，
解得q ＝2，d ＝－1，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)， b n ＝1－n (n ∈N *)．
所以c n ＝2n －1＋(1－n )(n ∈N *)．
所以{c n }前10项和为a 1＋a 2＋…＋a 10＋(b 1＋b 2＋…＋b 10)＝
1－2101－2＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤10×0＋10×92×（－1）＝978. 二、分组求和法
[典例7] 求数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n 为奇数），2n （n 为偶数）
的前2n 项和， 分析：由数列{a n }的通项可知，数列{a n }中的奇数项构成一个等差数列，偶数项构成一个等比数列，故可将所有奇数项分成一组，将所有的偶数项分成一组求和．
解：因为2n 为偶数所以奇数项与偶数项各有n 项，
所以S 2n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(22＋24＋26＋…＋22n )＝n [1＋（2n －1）]2＋4（1－4n ）1－4
＝n 2＋43(4n －1)． 归纳拓展
将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，运用的是化归的数学思想，通项变形是这种方法的关键．
[变式训练]
7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)，求{a n }的前n 项和S n .
解：a n ＝n (n ＋1)＝n ＋n 2(n ∈N *)，
所以S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋22＋32＋…＋n 2
)＝n （n ＋1）2＋n （n ＋1）（2n ＋1）6＝n （n ＋1）（n ＋2）3
. 三、裂项相消法
[典例8] 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1
，n ≥2. 分析：由于通项a n ＝1n 2－1＝1（n ＋1）（n －1）
＝12·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1n －1－1n ＋1(n ≥2)，所以采用裂项相消法． 解：因为1n 2－1＝1（n －1）（n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1－1n ＋1， 所以原式＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－15＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1（n －1）－1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝34－2n ＋12n （n ＋1）. 归纳拓展
裂项相消求和就是将数列的每一项拆成二项或多项．使数列中的项出现有规律的抵消项，从而达到求和的目的．
常见的拆项公式有：
(1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1
； (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1； (3)1n （n ＋1）（n ＋2）＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）； (4)1a ＋b
＝1a －b (a －b )； (5)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)．
[变式训练]
8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1n 2（n ＋1）2
，求{a n }的前n 项和S n .
解：因为2n ＋1n 2（n ＋1）2＝（n ＋1）2－n 2n 2（n ＋1）2
＝1n 2－1（n ＋1）2， 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－142＋…＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1n 2－1（n ＋1）2＝1－1（n ＋1）2＝n （n ＋2）（n ＋1）2
. 四、错位相减法
[典例9] 求数列{n ·22n －1}的前n 项和．
分析：该数列为非等差非等比数列，其通项a n ＝n ·22n －1可看成一个等差数b n ＝n ，与一个等比数列C n ＝22n －1相应项的积，所以本题可用错位相减法求解．
解：S n ＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n ·22n －1，①
从而22·S n ＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n ·22n ＋1.②
①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，
即S n ＝19
[(3n －1)22n ＋1＋2]． 归纳拓展
若数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该新数列前n 项和时，常常采用将{a n b n }的各项乘以公比，并向后错一项与{a n b n }的同项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种求和的方法称为错位相减法．
[变式训练]
9．求和：S n ＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n －2)·2n .
解：因为S n ＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋[3(n －1)－2]·2n －1＋
(3n －2)·2n ，①
2S n ＝1×22＋4×23＋…＋[3(n －1)－2]·2n ＋(3n －2)·2n ＋1，②
所以①－②得－S n
＝1×2＋3×22＋3×23＋…＋3·2n －(3n －2)×2n ＋1
＝3(2＋22＋…＋2n )－(3n －2)·2n ＋1－4
＝3(2n ＋1－2)－(3n －2)·2n ＋1－4
＝3×2n ＋1－6－3n ·2n ＋1＋2n ＋2－4
＝2n ＋2＋3(1－n )·2n ＋1－10.
所以S n ＝3(n －1)·2n ＋1－2n ＋2＋10.
五、倒序相加法求和
[典例10] 已知函数对一切x ∈R ，f (x )＋f (1－x )＝1.求f (0)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －1n ＋f (1)． 解：因为S ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －2n ＋ f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －1n ＋f (1)，① 将①式右边反序得
S ＝f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f (0)，② ①＋②，得2S ＝n ＋1，所以S ＝n ＋12. 归纳拓展
倒序相加法是推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排序(反序)，再把它与原数列相加，这样就得数列{a k ＋a n ＋1－k }(k ＝1，2，…，n )的前n 项和，若该数列为等差(或等比)数列，则{a n }可用倒序相加法求和．
[变式训练]
10．设f (x )＝x 2
1＋x 2
，求和S ＝f (2 014)＋f (2 013)＋f (2 012)＋…＋
f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 014. 解：因为f (x )＝x 2
1＋x 2
， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝11＋x 2
. 所以f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝1. S ＝f (2 014)＋f (2 013)＋…＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 014， 又S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 013＋…＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)， 两式相加得2S ＝2 014＋2 013，所以S ＝
4 0272
. 专题3 数列应用题
一、与等差数列有关的实际应用题 [典例11] 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min 可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多长时间？
分析：由于本题每隔相等的时间关闭一个水龙头，使每个水龙头放水的时间构成等差数列．故可利用等差数列，前n 项和的知识求解．
解：设共有n 个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为x 1，x 2，…，x n ，
由已知可知x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1，
所以数列{x n}成等差数列．
每个水龙头1 min放水
1
24n(这里不妨设水池的容积为1)，
所以1
24n·(x1＋x2＋…＋x n)＝1，即S n＝24n.
所以n（x1＋x n）
2＝24n.所以x1＋x n＝48.
又因为x n＝5x1，所以6x1＝48.所以x1＝8，x n＝40.
故最后关闭的水龙头放水40 min.
归纳拓展
建立数学模型的一般步骤：
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题；
②弄清题目中的主要已知事项；
③明确所求的结论是什么．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，根据题意列出满足题意的数学关系式(如函数关系式或方程或不等式)．建立数列模型时，应明确是否是等差数列模型，是求a n，还是求S n，n是多少．
[变式训练]
11．有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同金额，这是零存，到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取，它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤存期＋12存期×（存期＋1）×利率. (1)试解释这个本利和公式；
(2)若每月初存入100元，月利率为5.1‰，则到第12个月底的本利和是多少？
(3)若每月初存入一笔金额，月利率是5.1‰，希望到第12个月底取得本利和2 000元，那么每月初应存入多少钱？
解：(1)设每期存入金额为A ，每期利率为p ，存的期数为n ，则
各期利率之和为Ap ＋2Ap ＋3Ap ＋…＋nAp ＝12
n (n ＋1)Ap ，连同本金可得本利和nA ＋12n (n ＋1)Ap ＝A ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n ＋12n （n ＋1）p . (2)当A ＝100，p ＝5.1‰，n ＝12时，本利和＝100×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋12×12×13×5.1‰＝1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形，得
A ＝本利和n ＋12n （n ＋1）p ＝2 000
12＋12×12×13×5.1‰≈161.32(元)，
即每月初应存入161.32元．
二、与等差、等比数列有关的综合应用题
[典例12] 某工厂三年的生产计划中，从第二年起，每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划的年产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同，求原计划中每年的产值．
分析：将实际问题转化为数列，弄清哪部分为等差数列或等比数
列，结合等差、等比数列性质求解．
解：由题意得原计划三年中每年的产值组成等差数列，设为a－d，a，a＋d(d＞0)，
则有(a－d)＋a＋(a＋d)＝300，
解得a＝100.
又由题意得(a－d)＋10，a＋10，(a＋d)＋11组成等比数列，
所以(a＋10)2＝[(a－d)＋10][(a＋d)＋11]．
将a＝100代入上式，得1102＝(110－d)(111＋d)，
所以d2＋d－110＝0，解得d＝10，或d＝－11(舍)．
所以原计划三年中每年的产值分别为90万元、100万元、110万元．
归纳拓展
读懂题意，将实际问题转化为等差或等比数列问题，找准首项，公差(公比)，弄清求什么．混合型应用题常有两种解法：一是归纳法，归纳出前n次(项)，寻找规律，再写出前n次(项)的通项(前n项和)，此时要注意下标或指数的规律．二是逆推法，寻找前后两项的逆推关系，再从逆推关系求a n，S n，此时应注意第(n－1)次变到第n次的变化过程．
[变式训练]
12．某地房价从2004年的1 000元/m2增加到十年后2014年的5 000元/m2，问平均每年增长百分之几？[注意：当x∈(0，0.2)时，ln(x＋1)≈x，取lg 2＝0.3，ln 10＝2.3]
解：设年增长率为x，则每年的房价依次排列组成首项为1 000，公比为(1＋x)的等比数列．
由题意可得1 000×(1＋x)10＝5 000，即(1＋x)10＝5.
取自然对数有10ln(1＋x)＝ln 5＝ln 10×lg 5＝2.3×(1－lg 2)＝1.61，
再利用ln(x＋1)≈x，可得x≈ln 5
10≈0.16＝16%.
故每年约增长16%.。