广东高考文科数学07-14试题分类汇编-函数

函数
(2007年高考广东卷第3小题)若函数3
()()f x x x =∈R ，则函数()y f x =-在其定义域上是（ B ） A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数
D ．单调递增的奇函数
(2007年高考广东卷第5小题)客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1上时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是（ C ）
(2007年高考广东卷第21小题)已知a 是实数，函数2
()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[11]-，上有零点，求a 的取值范围．
21解: 若0a =，则()23f x x =-，令3
()0[1,1]2
f x x =⇒=
∉-，不符合题意， 故0a ≠ 当()f x 在 [-1，1]上有一个零点时，此时48(3)01
112a a a ∆=++=⎧⎪
⎨-≤-≤⎪⎩
或(1)(1)0f f •-≤ 解得a =
或15a ≤≤ s s s
s A ． B ． C ．
D ．
当()f x 在[-1，1]上有两个零点时，则48(3)0111
2(1)(1)0
a a a f f •∆=++>⎧⎪⎪-≤-≤⎨⎪->⎪⎩
解得112215a a a a a a ⎧<>⎪⎪⎪
≤-≥⎨⎪
<>⎪⎪⎩
或或
即352
a a -<
> 综上，实数a
的取值范围为3(,
[1,)2
--∞+∞ （别解：2
2
2230(21)32ax x a x a x +--=⇔-=-，题意转化为[1,1]x ∈-求2
3221
x
a x -=
-的值域，令32[1,5]t x =-∈得2
76a t t
=
+-转化为勾函数问题） (2008年高考广东卷第8小题)命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则
log 20a <”的逆否命题是（ ）
A. 若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数
B. 若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数
C. 若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数
D. 若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数
(2009年高考广东卷第4小题)若函数()y f x =是函数1x
y a a a =≠（>0，且）的反函数，且(2)1f =，则
()f x = A ．x 2log B ．
x 21 C ．x 2
1log D ．22
-x 【答案】A 【解析】函数1x
y a a a =≠（>0，且）的反函数是()log a f x x =,又(2)1f =,即log 21a =,
所以,2a =,故2()log f x x =,选A.
(2010年高考广东卷第2小题)函数()lg(1)f x x =-的定义域是 B A ．(2，+∞) B ．(1,+∞) C ．[1，+∞) D ．[2，+∞)
(2010年高考广东卷第3小题)若函数()33x
x
f x -=+与()33x
x
g x -=-的定义域均为R ，则D A ．()f x 与()g x 均为偶函数 B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 C ．()f x 与()g x 均为奇函数 D ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数
(2010年高考广东卷第20小题)已知函数()f x 对任意实数x 均有()(2)f x kf x =+，其中常数k 为负数，且()f x 在区间[]0,2上有表达式()(2)f x x x =-. （1）求(1)f -，(2.5)f 的值；
（2）写出()f x 在[]3,3-上的表达式，并讨论函数()f x 在[]3,3-上的单调性； （3）求出()f x 在[]3,3-上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值. 20．解：（1）∵)2()(+=x kf x f ，且)(x f 在区间[0,2]时)2()(-=x x x f
∴k k kf kf f -=-⋅⋅==+-=-)21(1)1()21()1(
由)2()(+=x kf x f 得)(1
)2(x f k
x f =
+ ∴k
k f k f f 43
)25.0(5.01)5.0(1)25.0()5.2(-=-⋅⋅==+=
（2）若]2,0[∈x ，则]4,2[2∈+x ]4)2][(2)2[(1
)2(1)(1)2(-+-+=-==+x x k
x x k x f k x f
∴当]4,2[∈x 时，)4)(2(k
1
)(--=x x x f
若)0,2[-∈x ，则)2,0[2∈+x ∴)2(]2)2)[(2()2(+=-++=+x x x x x f ∴)2()2()(+=+=x kx x kf x f
若)2,4[--∈x ，则)0,2[2-∈+x ∴)4)(2(]2)2)[(2()2(++=+++=+x x k x x k x f ∴)4)(2()2()(2
++=+=x x k x kf x f ∵)2,4[)2,3[],4,2[]3,2(--⊂--⊂
∴当]3,3[-∈x 时，⎪⎪⎩⎪
⎪
⎨⎧∈--∈--∈+--∈++=]3,2(),4)(2(1
]
2,0[),2()0,2[),2()2,3[),4)(2()(2x x x k
x x x x x kx x x x k x f
∵0<k ,∴当)2,3[--∈x 时，)4)(2()(2
++=x x k x f ，由二次函数的图象可知，)(x f 为增函数；
当)0,2[-∈x 时，)2()(+=x kx x f ，由二次函数的图象可知， 当)1,2[--∈x 时，)(x f 为增函数， 当)0,1[-∈x 时，)(x f 为减函数；
当]2,0[∈x 时，)2()(-=x x x f ，由二次函数的图象可知，当)1,0[∈x 时，)(x f 为减函数； 当]2,1[∈x 时，)(x f 为增函数； 当]3,2(∈x 时，)4)(2(1
)(--=
x x k
x f ，由二次函数的图象可知，)(x f 为增函数。

（3）由（2）可知，当]3,3[-∈x 时，最大值和最小值必在3-=x 或3,1,1-处取得。

（可画图分析）
∵2
)3(k f -=-，k f -=-)1(，1)1(-=f ，k
f 1
)3(-= ∴当01<<-k 时，1)1(,1
)3(min max -==-
==f y k
f y ; 当1-=k 时，;1)1()3(,1)3()1(min max -==-===-=f f y f f y
当1-<k 时，2
min max )3(,)1(k f y k f y -=-=-=-=.
(2011年高考广东卷第4小题)函数1
()lg(1)1f x x x
=
++-的定义域是C A ．(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)
(1,)-+∞ D. (,)-∞+∞
(2011年高考广东卷第10小题)设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数
()()()():f g x f g x •和对任意,()()(());()()()(),x R f g x f g x f g x f x g x ∈=•=则下列等式恒
成立的是B A ．(())()(()())()f g h x f h g h x •=•• B ．(())()(()())()f g h x f h g h x •=• C ．(())()(()())()f
g h x f h g h x = D ．(())()(()())()f g h x f h g h x ••=•••
(2011年高考广东卷第12小题)设函数3
()cos 1.()11,()f x x x f a f a =+=-=若则 -9 . (2012年高考广东卷第4小题)下列函数为偶函数的是(D)
A ．sin y x =
B ．3
y x = C ．x
y e = D ．y =
(2012年高考广东卷第11小题)函数x
x y 1
+=
的定义域为________________________． ),0()0,1[+∞⋃-
(2013年高考广东卷第2小题)函数
()lg 11x y x +=
-的定义域是（ C ） A. ()1,-+∞ B. [)
1,-+∞ C.
()()1,11,-+∞ D. [)()1,11,-+∞
(2013年高考广东卷第21小题) (本题满分14分) 设函数f （x ）=3
2
x kx x -+（k ∈R ）. (1) 当k=1时，求函数f （x ）的单调区间；
(2) 当k <0时，求函数f （x ）在[k,-k]上的最小值m 和最大值M.
21.解：（Ⅰ）当1k =时，()32f x x x x =-+， ()2321f x x x '=-+.
∵ ()2
24310∆=--⨯⨯<，∴
()0
f x '>在R 上恒成立，
∴
()
f x 在R 上单调递增.
（Ⅱ）
()2321
f x x kx '=-+，2
412k ∆=-.
① 当0∆≤
，即0k <时，()0f x '≥在R
上恒成立，
∴
()
f x 在[],k k -上单调递增，()m f k k ==，()32M f k k k =-=--.
②当0∆>，
即k <令()0f x '=，
可得1x =
，2x =，且12k x x k <<<-（可
通过作差比较或利用图象）.于是()
f x 在
()1,k x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x k -上单调递
增，所以()(){}
2min ,m f k f x =，
()(){}
1max ,M f k f x =-.
因为()()()()322
22222210
f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>，所以
()m f k k
==.
因
为
()()()()()()2
3232111111210
f x f k x kx x k k x k x k k ⎡⎤--=-+---=+-++<⎣⎦
，
所
以
()32M f k k k
=-=--.
综上所述，当0k <时，函数()f x 在[],k k -上的最小值()m f k k ==，最大值()32M f k k k =-=--.
(2014年高考广东卷第5小题)下列函数为奇函数的是（ A ） A.x
x
2
12- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.x
x 22+
(2014年高考广东卷第21小题).(本小题满分14分) 已知函数3
21()1()3
f x x x ax a R =
+++∈ （1） 求函数()f x 的单调区间；
（2） 当0a <时，试讨论是否存在011(0,)
(,1)22x ∈，使得01()()2
f x f = 21.解：（1）由()32
113
f x x x ax =+++，求导得()'22f x x x a =++，令()'0f x =
即220x x a ++=，44a ∆=-， ① 当0∆≤，即1a ≥时，()'
0f
x ≥恒成立，()f x 在R 上单调递增；
② 当0∆>，即1a <时，方程220x x a ++=的两根分别为：
11x =-21x =-
当(()()'
,1,0,x f
x f x ∈-∞->单调递增；
当(11x ∈---+，()'0f x <，()f x 单调递减；
当()
()()'1,0,x f x f x ∈-+∞>单调递增。

（3） 当0a <时，由（1），令111x =-=，解得3a =-.
①当3a <-时，11<-，由（1）的讨论可知()f x 在()0,1上单调递减，此时不存在
0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
②当30a -<<时，11>-，()f x 在(0,1-+递减，在()
1-+递增，
()112512224f f a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，依题意，要()f x 存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()()2f x f =，只需
()11
251022
24f f a ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，解得2512a >-，于是有25012a -<<即为所求。