事件的关系和运算 课件 高中数学新人教A版必修第二册

G＝C1＋C3＋C5.
反思
感悟
事件间运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，
分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可
能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
跟踪训练2
抛掷相同硬币3次，设事件A＝{至少有一次正面向上}，事件B＝{一次正
参加一次这个活动.记事件A:“获得不多于30元菜品或饮品”.
(1)求事件A包含的基本事件;
(2)写出事件A的对立事件,以及一个事件A的互斥事件.
定义
符号
一般地，如果事件A与事件B不能同时
互斥事件
发生，也就是说A∩B是一个不可能事
件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B
A∩B＝∅
互斥(或互不相容)
一般地，如果事件A和事件B在任何一
对立事件
次试验中有且仅有一个发生，即A∪B
A∪B＝Ω
＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件
A∩B＝∅
B互为对立，事件A的对立事件记为 A
故B与D不是互斥事件.
(4)B与C；
解
事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、
乙两种报”.
事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”.
即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.
(5)C与E.
解
由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与
(或和事件) 中，或者在事件B中，我们称这个事件为 (或A＋B)
事件A与事件B的并事件(或和事件)
一般地，事件A与事件B同时发生，这样
交事件
的一个事件中的样本点既在事件A中，也
(或积事件) 在事件B中，我们称这样的一个事件为事
件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
图示
基本概念3 互斥事件和对立事件
解 (A∪B) C
(6)A，B，C中恰好有两个发生.
解 AB C ∪A B C∪ A BC
延伸探究
本例条件不变，试用A，B，C表示以下事件.
(1)三个事件都不发生；
解
A B C
(2)三个事件至少有两个发生.
解 ABC∪AB C ∪A B C∪ A BC(或 AB∪BC∪AC)
反思
感悟
清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.
的同学是一男一女”的对立事件是:“选择的同学是2个男生,或者是2个女生”.
1 2 3 4 5
5.某连锁火锅城开业之际,为吸引更多的消费者,开展抽奖活动,前20位顾客可参
加如下活动:摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等),顾客可以免费
获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品,最高120元,每人只能
包含关系 定发生，称事件B包含事件A(或事件
B⊇A(或A⊆B)
A包含于事件B)
如果事件B包含事件A，事件A也包含
相等关系 事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A
与事件B相等
A＝B
图示
基本概念2 交事件与并事件
定义
符号
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，
并事件
这样的一个事件中的样本点或者在事件A
A∪B
图示
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若A，B表示随机事件，则A∩B与A∪B也表示事件.( √ )
2.若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.( × )
3.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.( √ )
4.若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个发生.( × )
并给出以下结论:
①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.
其中正确结论的序号有(
)
A.①② B.③④ C.①③ D.②③
【答案】A
【解析】事件A∪B表示的事件:至少有1件次品,即事件C,所以①正确;事件D∪B表
示的事件:至少有2件次品或至多有1件次品,包括了所有情况,所以②正确;事件
第十章
10.1
10.1.2
随机事件与概率
事件的关系和运算
学习目标
XUE XI MU BIAO
1. 了解随机事件的包含、互斥、对立的含义，会判断两个随机事件是否互
斥、对立。
2. 了解随机事件的并事件、交事件的含义，能进行随机事件的并、交运算。
.
基本概念1 事件的关系
定义
符号
一般地，若事件A发生，则事件B一
面向上，两次反面向上}，事件C＝{两次正面向上，一次反面向上}，事件D＝{至少
一次反面向上}，事件E＝{3次都正面向上}.
(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；
解
B⊆A，C⊆A，E⊆A，且A＝B＋C＋E.
(2)试求事件A与事件D的交事件，事件B与事件C的并事件，并判断二者的关系.
解
A∩D＝{有正面向上，也有反面向上}，B∪C＝{1次正面向上或2次正面向上}，
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.
解
因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，
A∩D＝B∪C.
三、随机事件的表示及含义
例3 设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
(1)三个事件都发生；
解
ABC
(2)三个事件至少有一个发生；
解
A∪B∪C
(3)A发生，B，C不发生；
解 AB C
(4)A，B都发生，C不发生；
解 AB C
(5)A，B至少有一个发生，C不发生；
一、互斥事件和对立事件的判断
例1
某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至
少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种
报也不订”.判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件.
(1)A与C；
解 由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，
1 2 3 4 5
3.某人忘了电话号码的最后一个数字,因而他随意拨号,假设拨过的号码不再重复,
若用Ai=“第i次拨号接通电话”,i=1,2,3.则事件第3次拨号才接通电话可表示
为
,拨号不超过3次而接通电话可表示为
.
【答案】1 2 A3 A1∪1 A2∪1 2 A3
1 2 3 4 5
4.现要从2男2女这4名同学中选择2名去参加活动,每名同学被选到的概率是相等
的,则事件“选择的同学是一男一女”的对立事件是
.
【答案】“选择的同学是2个男生,或者是2个女生”
【解析】现要从2男2女这4名同学中选择2名一女”、“选择的同学是2个男生”、“选择的同学是2个女生”.
由于对立事件首先是互斥事件,再就是两个事件的和事件是必然事件,故事件“选择
即事件A与事件C有可能同时发生，
故A与C不是互斥事件.
(2)B与E；
解
事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，
故事件B与E是互斥事件.
由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.
(3)B与D；
解 事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，
即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，
√
解析 根据互斥事件与对立事件的定义判断.
A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；
B中两事件是对立事件；
C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；
D中两事件是互斥而不对立事件.
(2)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
解
因为事件C1 ，C2 ，C3 ，C4 发生，则事件D3 必发生，所以C1⊆D3 ，C2⊆D3 ，C3⊆D3 ，
C4⊆D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件
F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这
两个事件就不是对立事件.
跟踪训练1 (1)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，
互斥而不对立的是
A.至少有一个红球与都是红球
B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球
D.恰有一个红球与恰有两个红球
2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现
6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的
点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现
的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(4,4)，(4,5)，(5,2)，(5,4)}，
C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，
(5,5)}.
A∩B＝{(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，(5,2)，(5,4)}，
A ∩ C ＝{(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)}，
A∩B=⌀,③不正确;事件A∩D表示的事件:恰有1件次品,即事件A,所以④不正确.
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2.任意抛两枚一元硬币,记事件A=“恰好一枚正面朝上”;B=“恰好两枚正面朝上”;C=“恰
好两枚正面朝下”;D=“至少一枚正面朝上”;E=“至多一枚正面朝上”,则下列事件为对立
事件的是(
)
A.A与B B.C与D
B ∩C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.
1.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品,从这批产品中任意抽取5件.
现给出以下四个事件:
事件A:恰有1件次品;
事件B:至少有2件次品;
事件C:至少有1件次品;
事件D:至多有1件次品.
北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是
√
A.互斥但非对立事件
B.对立事件
C.非互斥事件
D.以上都不对
解析
由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥
事件，但不是对立事件.
二、事件的运算
例2
在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现
C.B与C D.C与E
【答案】B
【解析】在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥但不对立事件,故A错误;
在B中,C与D不能同时发生,也不能同时不发生,是对立事件,故B正确;在C中,B与C不能
同时发生,但能同时不发生,是互斥但不对立事件,故C错误;在D中,C与E能同时发生,不
是互斥事件,故D错误.
符号
事件的运算
集合的运算
A
随机事件
子集
A
A的对立事件
A的补集
AB
事件A与B的交事件
集合A与B的交集
A∪B
事件A与B的并事件
集合A与B的并集
跟踪训练3
5个相同的小球，分别标上数字1,2,3,4,5，依次有放回的抽取两个小球.
记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的
数字至少有一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合
事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.
反思
感悟
判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若
不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不
是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事
件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生.这两个条
(5,3)，(5,4)，(5,5)}，
A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，
(5,3)，(5,4)，(5,5)}，
B＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，
的形式表示 A，B，C，A∩B， A ∩ C ， B ∩C.
解
总的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，
(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，