人教版高中数学必修五同课异构课件-应用举例探究导学课型

(2)根據已知的邊和對應角，運用哪個定理比較恰當？ 提示：根據測量出的兩個角一個邊，然後根據三角形的內角和 定理很容易通過兩個已知角算出邊AC的對角，再應用正弦定理 算出邊AB.因此運用正弦定理比較恰當.
探究2：結合圖②探究下麵的問題 (1)A，B兩點都在河的對岸，不可到達， 結合圖象，需要測出哪些量，可以求出 A，B兩點間的距離？ 提示：結合圖象，需要測出CD的長，∠BCD的大小，∠BDC的大 小，就可以計算出BC的長，同理可以計算出AC的長，再算出AB 的長.故只需測量出圖中CD的長，角α，β，γ，δ的大小.
在水平面上的山體外取點A，B，並測得四邊形ABCD中，∠ABC=
∠BAD= AB=BC=400米，AD=250米，則應開鑿的隧道CD
的，長為 3
23，米.
2.如圖，隔河看兩目標A，B，但不能到達，在岸邊選取相距
km的C，D兩點，並測得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC
3
=30°，∠ADB=45°(A，B，C，D在同一平面內)，求兩目標A，
【解析】將BD，CE分別延長相交於一點A，在△ABC中，
BC=2.57 cm，B=45°，C=120°，
A=180°-(B+C)
=180°-(45°+120°)=15°.
因為
所以ACB=C AC ， sin A sin B
利用計算B器C算sin得BAC2≈.577s.i0n24c5m. . 同理，AB≈sin8A.60cm.sin 15
1.2 應用舉例 第1課時 解三角形的實際應用舉例
——距離問題
一、測量兩點間的距離問題
探究1：結合圖①探究下麵的問題 (1)A，B兩點之間不可到達，在點A的一側，需要測出哪些量， 可以求A，B兩點的距離？ 提示：測量者在點A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測 出AC的距離，∠BAC的大小，∠ACB的大小三個量.
(2)分析求解過程中主要利用了哪些定理？ 提示：主要應用了正弦定理和余弦定理.
【探究總結】對測量不可到達兩種距離的說明 (1)測量從一個可到達點到一個不可到達點之間的距離問題， 一般可轉化為已知兩個角和一條邊解三角形的問題，從而得到 運用正弦定理去解決的方法. (2)測量兩個不可到達點之間的距離問題，一般是把求距離問 題轉化為應用余弦定理求三角形的邊長的問題，然後把求未知 的另外邊長問題轉化為只有一點不能到達的兩點距離測量問題， 然後運用正弦定理解決.
【變式訓練】如圖，貨輪在海上以40km/h的速度由B向C航行， 航行的方位角∠NBC=140°，A處有燈塔，方位角∠NBA=110°. 在C處觀察燈塔A的方位角∠N′CA=35°，由B到C需要航行半小 時，則C到燈塔A的距離是( )
A.10 6 km
C.10 6 2 km
B.10 2 km
D.10 6 2 km
【探究總結】對方向角、方位角的兩點說明 (1)方向角指的是四正(正北、正南、正東、正西)方向線與目 標方向線所成角；方位角指的是從指北方向順時針轉到目標方 向線的水準角. (2)表示方向的角除方位角外，也可用一些通俗的說法，如方 位角120°也可以說成“南偏東60°”，方位角270°也可稱 “正西方向”，方位角45°也可稱“東北方向”等.
【解析】由三角形內角和定理知∠B=180°-∠C-∠A=180°45°-105°=30°，
在△ABC中，由正弦定理得
AB AC ，
故AB=
sin C sin B
AC sin C 50sin 45 50 2 m.
sin B sin 30
類型二 測量兩個不可到達的點之間的距離
1.如圖，CD是京九鐵路線上的一條穿山隧道，開鑿前，在CD所
二、航行中的距離問題
探究1：根據方向角的含義完成下列填空，明確方向角的表示
方法
(1)如圖所示，圖①的m°角描述為
.
①
(2)如圖②的n°角描述為
.
② 答案：(1)北偏西m° (2)南偏東n°
探究2：根據方位角的定義完成下麵的填空，明確方位角的表 示方法 如圖
圖③的方位角為
；圖④的方位角為
.
答案：130° 200°
【拓展延伸】解三角形應用題的兩種情況 (1)已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦 定理或余弦定理解之. (2)已知量與未知量涉及兩個或多個三角形，這時需要選擇條 件足夠的三角形優先研究，再逐步在其餘的三角形中求出問題 的解.
類型一 測量從一個可到達點到一個不可到達的點之間的距離
1.(2014·四川高考)如圖，從氣球A上
的寬度是
m.
【解題指南】1.先求AC，再由正弦定理求BC即可. 2.利用三角形內角和定理，三角形為等腰三角形，求出一邊再 求河寬.
【自主解答】1.選C.設氣球的高度為AD，交CB延長線於點D，
在Rt△ACD中，AC=120m，
在△ABC中，由正弦定理知，
BC= ·sin∠BAC=
AC =12s0in(A-B1C)(m).
所以需要的時間t= =1(小時)，
即救援船到達D點至30少需要1小時. 30
【延伸探究】題2中若不知救援船的速度，其他條件不變，要
求救援船必須在40分鐘內到達，則救援船的最小速度為多少？
【解析】設救援船的速度為v海裏/小時，由題2解析可求得 CD=30海裏，由 得v≥45.
即救援船的最小3v速0 度64為00 45海裏/小時.
B之間的距離.
【解題指南】1.測量兩個不可到達的點之間的距離，一般是把 求距離問題轉化為應用余弦定理求三角形的邊長問題求解. 2.要求出A，B之間的距離，可以在△ABC(或△ADB)中去找關 係，求出有關量的值，然後解三角形可得.
【自主解答】1.在△ABC中，AB=BC=400米，∠ABC，= 所以
觀測點，現位於A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘
輪船發出求救信號，位於B點南偏西60°且與B點相距20 海
裏的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海裏/小3時，
該救援船到達D點至少需要多長時間？
【解題指南】1.由題意畫出示意圖，然後利用正弦定理即可求 出船與燈塔的距離. 2.(1)已知速度，要求時間，只要求出路程，即CD的長即可. (2)觀察CD所在的三角形，有△ADC和△BDC，確定用△BDC來 求CD. (3)在△BDC中，找出已知量，確定是用正弦定理還是用余弦定 理求解.
所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°，
在△ADB中，由正弦定理得
所以DB=
DB AB ， sin DAB sin ADB
AB sin DAB
sin ADB
5 3 3 sin 45
5 3 3 sin 45
= sin 105 sin 4(5海c裏os )6，0 cos 45sin 60
【規律總結】 1.航行問題的解題技巧 (1)在航行等問題中，通常是把方位角(方向角)與幾何圖形結 合起來，求出幾何圖形的有關角. (2)幾何圖形的應用是解答實際問題的重要輔助手段，一是從 圖形的完整性方面畫出圖形；二是把多邊形向三角形轉化.
2.解斜三角形應用題的一般步驟 (1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖. (2)建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與求解量儘量 集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數學模型. (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得 數學模型的解. (4)檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實 際問題的解.
3
·sin45°=
120
sin105
60 2 sin (60 45)
2.作CD⊥AB，垂足為D. 因為∠ACB=180°-30°-75°=75°=∠ABC， 所以AB=AC=120m， 因為∠CAD=30°， 所以在Rt△CDA中， CD=ACsin30°=120×sin30°=60(m). 答案：60
【自主解答】
1.如圖所示，依題意有AB=15×4=60，∠MAB=30°，
∠AMB=45°，在△AMB中，由正弦定理得
解得BM= (km).
60 BM ， sin 45 sin 30
答案： 30 2
30 2
2.由題意知AB=5(3+3 )海裏，
因為∠DAB=90°-45°=45°，∠DBA=90°-60°=30°，
5 3
3
2
2
5
3
3 1 10 3
2 6
3 1
44
2
又因為∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°，
BC= 海裏，
20 3
所以在△DBC中，由余弦定理得
CD2=BD2+BC2-2BD·BCcos∠DBC
=300+1200-2×
=900，
所以CD=30(海1裏0 )3， 20 3 1 2
【解析】選C.在△ABC中根據題意可得，∠ABC=30°， ∠ACB=75°，∠BAC=75°，BC=20km，
根據正弦定理得， BC AC ，
所以AC=
·sinsi∠n ABBACC= sin·siAnB3C0°.
BC
20
=
s(inkmB)，AC故選C.
sin 75
10( 6 2)
2
2
故兩目標A，B間的距離為 km.
5
5
【規律總結】1.測量不可到達的兩點之間距離的技巧 首先把求不可到達的兩點A，B之間的距離轉化為利用正、余弦 定理求三角形的邊長問題，之後再轉化成一個可到達點到另一 個不可到達點的距離的問題. 2.測量不可到達的兩點之間的距離問題的關鍵 (1)選取的基線既易於測量，又簡單恰當. (2)要根據實際需要選取合適的基線長度，測量工具要有較高 的精確度.
3
△ABC為等邊三角形，∠BAC=，又∠BAD=2，故∠CAD=，
所以在△ACD中，由余弦定理得3 ，CD2=AC32+AD2-
3
2AC·ADcos∠CAD
=4002+2502-2×400×250×co3 s =122500，所以CD=350(米
答案：350
2.在△ACD中，因為∠ADC=30°，∠ACD=120°，
【拓展延伸】解決有關距離問題的思路 解決有關距離問題的方法是建立數學模型，即構造三角形，轉 化為解三角形問題.通常是根據題意，從實際問題中抽象出一 個或幾個三角形，然後通過解這些三角形得到所求的量，從而 得到實際問題的解.解題時應認真審題，結合圖形去選擇定理， 使解題過程簡捷.
【變式訓練】某地出土一塊類似三角形刀狀的古代玉佩(如 圖)，其一角已破損，現測得如下數據：BC=2.57cm，CE= 3.57cm，BD=4.38cm，B=45°，C=120°.為了復原，請計算 原玉佩兩邊的長(結果精確到0.01cm).
測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角
分別為75°，30°，此時氣球的高是
60m，則河流的寬度BC等於( )
A.240( -1)m
B.180(
D.30( +1)m
2
3
3
2.如圖，為了測量河的寬度，在岸邊選定兩點A，B，望對岸岸
邊的標記物C，測得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120m，則河
所以∠CAD=30°.所以AC=CD= km.
3
在△BDC中，∠CBD=180°-45°-75°=60°，
由正弦定理，可得BC=
由余弦定理，可得AB2=As3isnCin26+075BC2-26A2C·2B. C·cos∠BCA，
所以AB2=
所以AB= (3km2 )(. 6 2 )2 2 3 ( 6 2 ) cos 75 5.
故原玉佩兩邊的長分別約為7.02cm、8.60cm.
類型三 航行中的距離問題
1.一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M
在北偏東60°方向，行駛4h後，船到B處，看到這個燈塔在北
偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為
km.
2.如圖，A，B是海面上位於東西方向相距5(3+ 3 )海裏的兩個
【規律總結】測量從一個可到達點到一個不可到達的點之間距 離的技巧 如圖所示，A可到達，B不可到達，欲求AB，可在A的同側選一 點C，測出AC的長及∠BAC與∠ACB的大小，然後用正弦定理求 解.
【變式訓練】如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者 在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB= 45°，∠CAB=105°，求A，B兩點的距離.