广东省深圳市耀华实验学校2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题

绝密★启用前
2017－2018学年第一学期期末考试
高一年级数学(实验班)试题卷
2018.01
本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班
级、姓名、学号和座位号。

2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选
涂其它答案，答案不能答在试卷上。

不按要求填涂的，答案无效。

3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答
题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．
1．已知函数x y -=
2的定义域为M ，集合)}1lg(|{-==x y x N ，则M N
（A ）)2,0[ （B ）)2,0( （C ）[)12， （D ）]2,1( 2．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
（A ）若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ （B ）若l α⊥，l m //，则m α⊥ （C ）若l α//，m α⊂，则l m // （D ）若l α//，m α//，则l m // 3．过点（1，0）且与直线220x y --=平行的直线方程是
（A ）210x y --= (B) 210x y -+= (C)220x y +-= （D ）210x y +-= 4．点()2,1P -为圆()2
2
125x y -+=内弦AB 的中点，则直线AB 的方程为
（A ）10x y +-= （B ）230x y +-= （C ）30x y --= （D ）250x y --=
5．已知函数4log ,0,()3,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩
，则
1()16f ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
=
（A ） 9 （B ）
91 （C ）9- （D ）9
1- 6．直线13,kx y k -+=当k 变化时，所有直线都通过定点
（A ）)0,0( （B ）)1,0( （C ）)1,3( （D ）)1,2(
7．已知R 上的奇函数)(x f 在区间(,0)-∞内单调增加，且0)2(=-f ，则不等式()0f x ≤的解集为
(A) []2,2- （B ） (][],20,2-∞- （C ）(][),22,-∞-+∞ （D ） [][)2,02,-+∞
8．函数()()x
x x f 2
1ln -
+=的零点所在的大致区间是 （A ）（0，1）
（B ）（1，2） （C ）（2，3） （D ）（3，4）
9．函数b
x a
x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是
（A ）0,1<>b a
（B ）0,1>>b a （C ）0,10><<b a
（D ）0,10<<<b a
10．过点)2,4(P 作圆42
2=+y x 的两条切线，切点分别为点A 、B ，O 为坐标原点，则OAB ∆的外接圆方程是
（A ）5)1()2(2
2
=-+-y x （B ）20)2()4(2
2
=-+-y x （C ）5)1()2(2
2
=+++y x （D ）20)2()4(2
2
=+++y x
11．如图，是一个空间几何体的三视图，其主(正)视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左(侧)视图是一个两直角边分别为3和1的直角三角形，则此几何体的体积为 （A ）
3
3
（B ）1 （C ）
32
（D ）2
主(正)视图
左(侧)视图
俯视图
x
y
O
1
-
12．已知函数22()2,()log ,()log 2x
f x x
g x x x
h x x =+=+=-的零点依次为,,a b c ，则
（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）c a b << （D ）b a c <<
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．直线30ax y ++=的倾斜角为120°，则a 的值是____________.
14．已知过()a A ,1-、()8,a B 两点的直线与直线012=+-y x 平行，则a =_______. 15．从圆2
2
(1)(1)1x y -+-=外一点(2,3)P 向这个圆引切线，则切线长为____________. 16．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽
_______次.（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．
17．（本小题满分10分）
已知圆C 经过点(2,1)A -和直线10x y +-=相切，且圆心在直线2y x =-上. （Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线22y x =- 与圆C 交于A 、B 两点，求弦AB 的长.
18. （本小题满分12分）
如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中， 11,2AB BC BB ===，连结C A 1 、BD . （Ⅰ）求证：1A C ⊥BD ； （Ⅱ）求三棱锥BCD A -1的体积．
19.（本题满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点. （Ⅰ）求证：1AC BC ⊥； （Ⅱ）求证：1AC ∥平面1CDB .
20．（本题满分12分）
在ABC ∆中，BC 边上的高所在直线的方程为012=+-y x ，A ∠的平分线所在直线的方程为
A 1
B 1
C 1
B
A
C
D
第19题图
0=y ，若B 点的坐标为（1,2）.
（Ⅰ）求直线AC 的方程； （Ⅱ）求A 、C 两点间的距离.
21.（本题满分12分）
设1
21()log 1
ax
f x x -=-为奇函数，a 为实常数．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）证明()f x 在区间(1,)+∞内单调递增；
（Ⅲ）若对于区间[]34，上的每一个x 的值，不等式1
()()2
x
f x m >+恒成立，求实数m 的取值
范围．
22．(本小题满分12分)
在直角坐标系中，设矩形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为(0,0)O ，(1,)P t ，(12,2)Q t t -+，
(2,2)
-，其中(0,)
t∈+∞.
R t
S t.
（Ⅰ）求矩形OPQR在第一象限部分的面积()
S t的单调区间，并加以证明.
（Ⅱ）确定函数()
2017—2018学年第一学期期末考试
高一年级数学(实验班)试题
参考答案
一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D
B
A
C
B
C
B
B
D
A
A
A
二、填空题：本大题每小题5分；满分20分．
13．3. 14．2. 15．2．16．8． 三、解答题： 17．（本小题满分10分）
已知圆C 经过点(2,1)A -和直线10x y +-=相切，且圆心在直线2y x =-上. （Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线22y x =- 与圆C 交于A 、B 两点，求弦AB 的长.
解：（1）因为圆心在直线2y x =-上，设圆心为(,2)C a a -，则圆C 的方程为
222()(2)(0)x a y a r r -++=>
又圆C 与10x y +-=相切，
所以r =
2
12
1
2a a a +=
--
因为圆C 过点(2,1)A -，所以
2
2
2
(1)(2)(12)2
a a a +-+-+=，
解得1a =，
所以圆C 的方程为2
2
(1)(2)2x y -++=.………………………………5分 （Ⅱ）设AB 的中点为D ，圆心为C ，连CD 、AD ，
│CD │=
2,5
25
2
22==
-+AC
由平面几何知识知│AB │=2||AD =.5
30
222
2=
-CD
AC 即弦AB 的长为
230
5
.………………………………10分 18．（本小题满分12分）
如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中， 11,2AB BC BB ===，连结C A 1 、BD . （Ⅰ）求证：1A C ⊥BD ； （Ⅱ）求三棱锥BCD A -1的体积． （Ⅰ）证明：连AC ．∵AB BC =， ∴BD AC ⊥．
∵1A A ⊥底面ABCD ， ∴1BD A A ⊥．
∵⊂A A 1平面⊂AC AC A ,1平面AC A 1,A AC A A = 1，
∴1BD A AC ⊥平面．
∴1BD A C ⊥． …………………8分 （Ⅱ）解：⊥A A 1 平面BCD ，
∴1311AA S V BCD BCD A ∙=
∆-2112131⨯⨯⨯⨯=3
1
=. ………………………………12分 19.（本题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点.
（Ⅰ）求证：1AC BC ⊥； （Ⅱ）求证：1AC ∥平面1CDB .
证明：（Ⅰ）∵90,ACB ∠=︒∴AC CB ⊥ 又在直三棱柱111ABC A B C -中，有1AC BB ⊥ ， ∴AC ⊥平面11BB C C ． ………………………………6分 （Ⅱ）设1BC 与1B C 交于点P ，连结DP ，
A 1
B 1
C 1 B
A
C
D
第19题图
易知P 是1BC 的中点，又D 是AB 的中点， ∴1AC ∥DP.
∵DP ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，
∴1AC ∥平面1CDB ．………………………………12分 19.（本题满分12分）
在ABC ∆中，BC 边上的高所在直线的方程为012=+-y x ，A ∠的平分线所在直线的方程为0=y ，若B 点的坐标为（1,2）.（Ⅰ）求直线AC 的方程；
（Ⅱ）求A 、C 两点间的距离. 解：（Ⅰ）由⎩⎨
⎧==+-0
12y y x ∴A （－1，0） ………………………………2分
又K AB =
1)
1(10
2=---，
∵x 轴为∠A 的平分线，故K AC =－1， ………………………………4分 ∴直线AC 的方程为y =－(x +1)，
即直线AC 的方程为10x y ++=. ………………………………6分 （Ⅱ）∵BC 边上的高的方程为：x －2y +1=0
∴K BC =－2
∴BC ：y －2=－2（x －1）即：2x +y －4=0 ，………………………………8分
由⎩⎨
⎧=++=-+0
10
42y x y x 解得C （5，－6）， ………………………………10分
∴||AC =
[]26)06()1(52
2=--+--. ………………………………12分
21.（本题满分12分）
设1
21()log 1
ax
f x x -=-为奇函数，a 为实常数．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）证明()f x 在区间(1,)+∞内单调递增；
（Ⅲ）若对于区间[]34，上的每一个x 的值，不等式1
()()2
x
f x m >+恒成立，求实数m 的取值
范围．
解：（Ⅰ）∵ 函数()f x 是奇函数，
∴()()f x f x -=-，
∴1
11222111
log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----．
∴ 11
11ax x x ax
+-=---， ∴ (1)(1)(1)(1)ax ax x x +-=-+-，
∴ 222
11a x x -=-， ∴ 1a =±，
经检验，1a =-．………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1
2
1()log 1x f x x +=-12
2
log (1)(1)1x x =+>-， 记2
()11u x x =+
-，由函数单调性的定义可证明()u x 在(1,)+∞上为减函数， ∴ 121
()log 1
x f x x +=-在(1,)+∞上为增函数．……………………………8分
（Ⅲ）设1211()log 12x
x g x x +⎛⎫
=- ⎪-⎝⎭
，
则函数()g x 在[]34，上为增函数．
∴()g x m >对[]34x ∈，恒成立，
∴9
(3)8
m g <=-
．………………………………12分 22．(本小题满分12分)
在直角坐标系中，设矩形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为(0,0)O ，(1,)P t ，(12,2)Q t t -+，
(2,2)R t -，其中(0,)t ∈+∞.
（Ⅰ）求矩形OPQR 在第一象限部分的面积()S t ； （Ⅱ）确定函数()S t 的单调区间，并加以证明.
解：（Ⅰ）当1－2t ＞0即0＜t ＜
2
1
时，如图1，点Q 在第一象限时，此时S （t ）为四边形OPQK 的面积，直线QR 的方程为y －2=t （x +2t ）.令x =0，得y =2t 2＋2，点K 的坐标为（0，2t 2＋2）.
t t t S S S OKR OPQR OPQK 2)22(2
1
)1(2222⋅+-+=-=
)1(232t t t -+-=，
当－2t +1≤0，即t ≥
2
1
时，如图2，点Q 在y 轴上或第二象限，S （t ）为△OP Ｌ的面积，直线PQ 的方程为y －t =－t
1（x －1），令x =0得y =t +t
1，点L
的坐标为（0，t +t 1），S △OPL ＝1)1(21⋅+t
t
图1
图2
)1(21t
t += 所以S （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-21 )1(2
1210 )1(232t t t t t t t ………………………………6分 （Ⅱ）当0＜t ＜21时，对于任何0＜t 1＜t 2＜2
1，有S （t 1）－S （t 2）＝2（t 2－t 1）［1－（t 1＋t 2）＋（t 12＋t 1t 2＋t 22）］＞0，即S （t 1）＞
S （t 2），所以S （t ）在区间（0，2
1）内是减函数. 当t ≥21时，对于任何21≤t 1≤t 2，有S （t 1）－S （t 2）＝21（t 1－t 2）（1－2
11t t ）， 所以若21≤t 1≤t 2≤1时，S （t 1）＞S （t 2）；若1≤t 1≤t 2时，S （t 1）＜S （t 2），所以S （t ）在区间［2
1，1］上是减函数，在区间［1，＋∞)内是增函数，由2［1
21＋（21）2－(21)3］＝45＝S （21）以及上面的证明过程可得，对于任何0＜t 1＜21≤t 2＜1，S （t 2）＜4
5≤S （t 1）， 于是S （t ）的单调区间分别为（0，1］及［1，＋∞)，且S （t ）在（0，1]内是减函数，在［1，＋∞)内是增函数. ………………………………12分。