《精编》浙江省杭州市萧山区高三数学第二次五校联考 理 新人教A版.doc

2021学年第一学期期中联考试题卷
学科：高三数学〔理〕 总分值：150分 考试时间：120分钟 命题人：郭军明
考生须知：1、本卷共4页；
2、本卷答案必须做在答案卷上，做在试卷上无效；
3、答题前请在答题卷密封线内填好相关栏目。

第I 卷〔选择题共50分〕
一、选择题：本大题共10 小题，每题5分，总分值50分.
1、假设集合A =},1lg |{≤x x B =},42|{Z x x x
∈≤,那么A B 的子集个数为〔 〕
A ．1个
B ．2个
C ．4个
D ．8个
2、p ：关于x 的不等式2
20x ax a +-≥的解集是R ，q ：01<<-a ，那么p 是q 的〔 〕
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件 3、以下函数既是奇函数，又在区间]1,1[-上单调递减的是〔 〕
A. x x f sin )(=
B. |1|)(+-=x x f
C. 1()()(01)2
x x f x a a a a -=
->≠且 D. x x x f +-=22ln )(
4、以下命题中的真命题是〔 〕
A ．x ∃∈R ,使得 sin cos 1.5x x += B. (0,),1x
x e x ∀∈+∞>+
C ．(,0),23x x x ∃∈-∞<
D ．(0,),sin cos x x x π∀∈> 5、设 a = 3log 2, b = ln 2, c = 12
5
-, 那么〔 〕
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．c b a << 6、给出以下命题
① 函数)2
3tan(π
-
=x y 的周期是
3
π ② 角α终边上一点)4,3(a a P -，且0≠a ，那么5
3cos -=α ③ 函数)3
2cos(π
-
=x y 的图像的一个对称中心是)0,12
(π
-
④ )2sin()(+=x x f ω满足0)()2(=++x f x f ，那么2
π
ω=
其中正确的个数有〔 〕
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．在ABC △中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，假设()4,3PA =，
()1,5PQ =，那么BC =〔 〕
A ．()6,21-
B ．()2,7-
C ．()6,21-
D ．()2,7- 8、要得到函数()sin(2)3
f x x π
=+
的导函数'()f x 的图象，只需将()f x 的图象〔 〕
A ．向右平移2π
个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍〔横坐标不变〕 B ．向左平移2π
个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的2倍〔横坐标不变〕
C ．向右平移4π
个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍〔横坐标不变〕
D ．向左平移4π
个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍〔横坐标不变〕
9、设21
()f x x
=，(1)(2)(3)(2012)M f f f f =++++那么以下结论正确的选项是
〔 〕
A ．40232012M <
B ．40232012M =
C ．4023
2012
M > D ．1M < 10、)(x f 定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足'()()0xf x f x -≥，对于任意的正数b a ,，假设b a <，
① )()(a bf b af ≤ ② )()(a bf b af ≥ ③ )()(b bf a af ≤ ④ )()(b bf a af ≥
其中正确的选项是〔 〕
A ．③
B ．① ③
C ．② ④
D ．② ③
第二卷〔非选择题共100分〕
二、填空题〔本大题共7小题，每题4分，总分值28分〕
11、幂函数)(x f 的图象过点，那么)(x f 的解析式是 。

12、计算sin 75sin165sin15sin105______︒︒-︒︒=
13、函数()ln 2f x x x =-+有一个零点所在的区间为 *
(,1)()m m m N +∈，那么m 的值为______
14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意∈n N *
都有3
1
32-=
n n a S ，那么通项n a = 15、在菱形ABCD 中，假设AC ＝4，那么=⋅AC AB ____ ____．
16、{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和,
*n N ∈那么n S 的最大值为_______________
17、函数x y sin 2=的定义域为],[b a ，值域为[2,1]-，那么a b -的值不可能是______〔填序号〕。

①
2
π；② π；③ 32π
；④ 2π
三、解答题：此题共5题，共72分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤
18、〔本小题总分值14分〕
〔1〕设全集为R ，集合{|sin(2),
}642
A t t x x ππ
π
==-≤≤,，假设不等式2
0t at b ++≤的解集是A ，求,a b 的值。

〔2〕集合26
41
{|()1},{|log ()1}2
x x M x N x x m --=≤=+≤，假设M
N =Φ，求实
数m 的取值范围。

19、〔本小题总分值14分〕在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，2,C A =4
3
cos =
A ， 〔1〕求
B
C cos ,cos 的值； 〔2〕2
27
=⋅BC BA ，求边b 的长。

20、〔本小题总分值14分〕函数)0(cos
2cos sin 2)(2
>-+=ωωωωb x b x x a x f 在12
x x =
时取最大值2。

21,x x 是集合}0)(|{=∈=x f R x M 中的任意两个元素，||21x x -的最小值为
.2
π 〔1〕求a 、b 的值； 〔2〕假设)46
5sin(,32)(a a f -=π求的值。

21、〔本小题总分值15分〕正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，n S 是4
1
和2)1(+n a 的等比中项
〔1〕证明数列}{n a 是等差数列； 〔2〕假设n
n
n a b 3=
，求数列}{n b 的前n 项和为n T ； 〔3〕在〔2〕的条件下，是否存在常数λ，使得数列}3
{++n n a T λ
是等比数列，假设存在求出λ，不存在说明理由。

22、〔本小题总分值15分〕设函数x
e
x g x x x p x f 2)(,ln 2)1()(=--
=〔p 是实数，e 是自然对数的底数〕
〔1〕假设函数)(x f 在定义域内不单调，求实数p 的取值范围；
〔2〕假设在],1[e 上至少存在一个0x ，使得)()(00x g x f >，求实数p 的取值范围。

2021学年第一学期期中联考参考答案
高三数学〔理〕
第一卷〔选择题共50分〕
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的
第II 卷〔非选择题共100分〕
二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28
11、__12
()f x x =___；12、___0_____；13、__2_____；14、___1
(2)n ---_____
15、___8_____；16、____110_____；17、__① ③ ④____
三、解答题：此题共5题，共72分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤
18、〔本小题总分值14分〕
〔1〕设全集为R ，集合{|sin(2),
}642
A t t x x ππ
π
==-≤≤,，假设不等式2
0t at b ++≤的解集是A ，求,a b 的值。

〔2〕集合26
41
{|()1},{|log ()1}2
x x M x N x x m --=≤=+≤，假设M
N =Φ，求实
数m 的取值范围。

解：∵ π4≤x ≤π2， ∴ π3 ≤ 2x －π6 ≤ 5π
6. …………2分
∴ sin2x －π6)∈ [12，1]．∴ A ＝{t |1
2
≤t ≤1}． …………4分
∴
1
,12
是方程20x ax b ++=的两根 …………5分 ∴112112a b ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩， 得3212
a b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………7分 〔2〕{|32}M x x x =≥≤-或 …………9分
{|4}N x m x m =-<≤- …………11分 ∵M N =Φ
∴243m m -≥-⎧⎨-<⎩
， …………13分
得12m <≤ …………14分
19、〔本小题总分值14分〕在ABC ∆中，
c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，2,C A =4
3
cos =A ， 〔1〕求B C cos ,cos 的值； 〔2〕2
27
=
⋅BC BA ，求边b 的长。

解：〔1〕2
1
cos cos 22cos 18
C A A ==-=
…………3分 9
cos cos()sin sin cos cos 16
B A
C A C A C =-+=-= …………6分
〔2〕927cos 162
BA BC ac B ac ⋅===，得24ac = …………8分 sin sin 22sin cos C A A A ==，3
2
c a = …………10分
∴ 4,6a c == …………12分
∴ 222
2cos 25b a c ac A =+-=，得5b = …………14分
20、〔本小题总分值14分〕函数2
()2sin cos 2cos
(0)f x a x x b x b ωωωω=⋅+->在12
x
x =
时取最大值2。

21,x x 是集合}0)(|{=∈=x f R x M 中的任意两个元素，||21x x -的最小
值为
.2
π 〔1〕求a 、b 的值；
〔2〕假设)46
5sin(,32)(a a f -=
π求的值。

解：〔1
〕方法一、()sin 2cos2)f x a x b x x ωωωϕ=+=+
有条件知函数的周期为π，所以1ω=， …………2分 即()sin 2cos 2f x a x b x =+
∴1()sin cos 2126622
f a b a πππ⎧=+=+
=⎪= …………6分
得1,a b ==…………8分
方法二、()sin 2cos2)f x a x b x x ωωωϕ=+=+
有条件知函数的周期为π，所以1ω=， …………2分 ∵()f x 12
x
x =时取最大值2， ∴(
)2sin(2)212
12
f π
π
ϕ=⋅
+= …………4分
得3
π
ϕ=
…………6分
∴()2sin(2)sin 223
f x x x x π
=+
=+
得1,a b ==…………8分
〔2〕2()2sin(2)33f π
αα=+
=
，得1
sin(2)33
πα+= …………10分
253sin(4)sin 2(2)cos 2(2)63237
[12sin (2)]39
a ππππααπα⎛
⎫-=-++=-+ ⎪
⎝⎭=--+=-
…………14分
21、〔本小题总分值15分〕正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，n S 是4
1
和2)1(+n a 的等比
中项
〔1〕证明数列}{n a 是等差数列； 〔2〕假设n n
n a b 3
=
，求数列}{n b 的前n 项和为n T ； 〔3〕在〔2〕的条件下，是否存在常数λ，使得数列}3
{++n n a T λ
是等比数列，假设存在求出λ，不存在说明理由。

解：〔1〕24(1)n n S a =+ ① …………2分
2114(1)n n S a --=+ ②
①-② 2211422n n n n n a a a a a --=+--，22
1122n n n n a a a a --+=-， (4)
分
又0n a >得12n n a a --=，∴数列}{n a 是等差数列 (5)
分
〔2〕∵2114(1)S a =+，得11a =， (6)
分
∴21n a n =-，21
3
n n
n b -=
…………7分
2313521
3333n n
n T -=+++
+
2311132321
333
33n n n n n T +--=++++ …………
8分
两式相减得：231121*********()33333333n n n n n n T ++-+=
++++-=-
∴1
13
n n n T +=- (11)
分
〔3〕
1
11133
222223n n n
n n T a n n λλ
λ++-
++==-+++⋅ …………13分
要使得数列}3
{
++n n a T λ
是等比数列，那么只要1λ=-。

…………15分
22、〔本小题总分值15分〕设函数x
e x g x x x p x
f 2)(,ln 2)1()(=--
=〔p 是实数，e 是自然对数的底数〕
〔1〕假设函数)(x f 在定义域内不单调，求实数p 的取值范围；
〔2〕假设在],1[e 上至少存在一个0x ，使得)()(00x g x f >，求实数p 的取值范围。

解：〔1〕2
22)('x
p
x px x f +-=， .…………1分
有条件得，0)('=x f 在),0(+∞上有解 .…………2分
方法一：即x
x x x
p 121
22+
=+=
在),0(+∞上有解，
21
,0≥+
∴>x
x x ，10≤<∴p .…………5分
假设当1=p 时，2)11
(
)('-=x
x f 0≥，不符条件，所以10<<p .…………7分
方法二：即022=+-p x px 在),0(+∞上有解，
所以0442>-=∆p ，得11<<-p (5)
分
设022
=+-p x px 的两根为21,x x ，0121>=x x
∴02
21>=
+p
x x ，得0>p ，所以10<<p .…………7分
方法三：即022
=+-p x px 在),0(+∞上有解，
所以0442>-=∆p ，得11<<-p (5)
分
022=+-p x px 的较大根为024422
>-+p
p
，
得0>p ，所以
10<<p .…………7分
〔2〕方法一：因x
e
x g 2)(=在],1[e 上为减函数，所以e x g 2)(2≤≤ (8)
分
① 当0≤p 时，0ln ,01≥≥-
x x x ，0ln 2)1
()(≤--=∴x x
x p x f )()(x g x f <恒成立，不合题意 (10)
分
② 当1≥p 时，有〔1〕知，)(x f 在],1[e 上为增函数，
20)1(<=f ，故只需min max )()(x g x f > 即2ln 2)1()(>--=e e e p e f ，解得1
42->e e
p (12)
分
③ 当10<<p 时，01≥-
x x ，所以x x
x x x x p x f ln 21
ln 2)1()(--≤--=∴， 有〔1〕知x x x ln 21
--
是在],1[e 的增函数 所以23
2
2313ln 21ln 21<=--<--≤--e e e x x x ，不合题意 (14)
综上，1
42->
e e
p .…………15分
方法二：有题意得：)()(x g x f >在],1[e 上有解 .…………8分
即-
--=-=x x x p x g x f x h ln 2)1()()()(02>x
e
在],1[e 上有解 02,0ln ,01>≥≥-
x
e x x x ，
所
以
必
有
0>p .…………10分
022)1(22)11()('2
222>-++=+-+=x
x e x p x e x x p x h 所
以
)
(x h 在
]
,1[e 上是增函数， .…………12分
只
需
02ln 2)1()()(max >---==x
e
e e e p e h x h .…………14分
解
得
1
42->
e e
p .…………15分 方法三：有题意得：)()(x g x f >在],1[e 上有解 .…………8分
即-
--=-x x x p x g x f ln 2)1()()(02>x
e
在],1[e 上有解 即
x
x x x
e
p 1ln 22-
+>在
]
,1[e 上有
解 .…………9分
记x
x x x e
x h 1ln 22)(-
+=，只需min )(x h p > (10)
分
022)'ln 22(
2<-=+x e x x x e ，所以x x e ln 22+在],1[e 是减函数 x
x 1
-在],1[e 是增函数
所以)(x h 在],1[e 是减函数 (13)
分
1
4)(2
min -=
>e e
x h p (15)。