学案导学与随堂笔记苏教数学选修22全套备课精选单元测试：第3章 数系的扩充与复数的引入 章末检测A

第3章 数系的扩充与复数的引入(A)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．在复平面内，点A 对应的复数为3＋7i ，向量OB →表示的复数为－2＋3i ，则向量BA →
对应的复数为________．
2．复数3－i 1－i
＝________. 3．在复平面内，复数z ＝i(1＋2i)对应的点位于第____象限．
4．设z 1＝2－i ，z 2＝1＋3i ，则复数z ＝i z 1＋z 25
的虚部为________． 5．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则实数x ，y 分别为______．
6．复数z ＝1－2i ，则z·z ＋z ＝________.
7．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i (x ∈R )．若z 1z 2∈R ，则x ＝________.
8．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为________．
9．已知在复平面内，向量AB →，BC →，AD →对应的复数分别为－2＋i,3－i,1＋5i ，则CD →对应
的复数是______．
10．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(其中i 为虚数单位)，则|z |＝________.
11．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．
12．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i 所对应的点在第三象限，则实数k 的取值范围是
________________．
13．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C .若OC
→＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是________．
14．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2
为实数，则实数m ＝________. 二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)计算：
(1)(2＋2i )4(1－3i )5；(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫21－i 2 012.
16.(14分)实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在：
(1)x 轴上方；
(2)直线x ＋y ＋5＝0上．
17．(14分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i
，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．
18.(16分)已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值．
19．(16分)已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
20.(16分)在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.
(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；
(2)判断△ABC 的形状；
(3)求△ABC 的面积．
答案
1．5＋4i
2．2＋i
3．二
4．1
5．1,2
解析 ∵(x ＋i)(1－i)＝(x ＋1)＋(1－x )i ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝y 1－x ＝0，∴x ＝1，y ＝2. 6．6－2i
解析 z ·z ＋z ＝5＋(1－2i )＝6－2i.
7．－2
解析 ∵z 1z 2＝(x －2)＋(x ＋2)i ∈R ，
∴x ＋2＝0，∴x ＝－2.
8.34
解析 ∵z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，
则z 1z 2＝(1＋2i)
＝m ＋2m i ＋(m －1)i ＋2(m －1)i 2
＝(m －2m ＋2)＋(2m ＋m －1)i
＝(2－m )＋(3m －1)i.
∴2－m ＝3m －1，得m ＝34
. 9．5i
10．2
解析 ∵|z (2－3i)|＝|6＋4i|，
∴|z |＝|6＋4i||2－3i|
＝2. 11．－20
解析 ∵z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，
∴(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，
∴复数(z 1－z 2)i 的实部为－20.
12．(－6，－2)∪(2，6)
解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
－6＋k 2<0
k 2－4>0，∴4<k 2<6. ∴－6<k <－2或2<k < 6.
13．5
解析 OC →＝xOA →＋yOB →得3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)＝(－x ＋y )＋(2x －y )i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝3，2x －y ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝4，
故x ＋y ＝5. 14．－32
解析 z 1z 2＝m ＋2i 3－4i ＝(m ＋2i )(3＋4i )25
＝3m －8＋(6＋4m )i 25是实数，
∴6＋4m ＝0，即m ＝－32
. 15．解 (1)(2＋2i )4(1－3i )5＝24(1＋i )4
(－2－23i )2(1－3i )
＝24(2i )216(1＋3i )
＝－1＋3i. (2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫21－i 2 012 ＝(－23＋i )i (1＋23i )i ＋21 006(－2i )1 006
＝(－23＋i )i i －23＋1i 1 006＝i －1. 16．解 (1)若z 对应的点在x 轴上方，
则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.
(2)复数z 对应的点为
(m 2＋5m ＋6，m 2－2m －15)，
∵z 对应的点在直线x ＋y ＋5＝0上，
∴(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，
整理得2m 2＋3m －4＝0，解得m ＝－3±414
. 17．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i
＝(3－i )(2－i )5
＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i.所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝1，－(a ＋2)＝1，
解得a ＝－3，b ＝4. 即实数a ，b 的值分别是－3,4.
18．解 设ω＝z －3＋4i ，∴z ＝ω＋3－4i ，
∴z ＋1－i ＝ω＋4－5i.
又|z ＋1－i|＝1，∴|ω＋4－5i|＝1.
可知ω对应的点的轨迹是以(－4，5)为圆心，半径为1的圆， 如图所示，∴|ω|max ＝41＋1，
|ω|min ＝41－1.
19．解 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，
∵z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.
∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)
＝15(2x ＋2)＋15
(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.
根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧
12＋4a －a 2>08(a －2)>0， 解得2<a <6.
∴实数a 的取值范围是(2,6)．
20．解 (1)AB →对应的复数为
z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i.
BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i) ＝－3＋i.
AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1 ＝－2＋2i.
(2)|AB →|＝|1＋i|＝2，
|BC →|＝|－3＋i|＝10，
|AC →|＝|－2＋2i|＝8.
∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，
∴∠A 为直角，△ABC 为直角三角形．
(3)S △ABC ＝12|AB →||AC →|＝12×2×8＝2.。