高等数学极限与连续性知识点梳理

高等数学极限与连续性知识点梳理在高等数学的学习中，极限与连续性是极为重要的概念，它们是后
续学习微积分等知识的基础。

下面我们来对这部分知识点进行详细的
梳理。

一、极限的概念
极限是描述函数在某个过程中变化趋势的数学概念。

通俗地说，就
是当自变量无限接近某个值时，函数值无限接近的一个确定的数。

比如，考虑函数$f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄，当$x$趋近于 1 时，分母趋近于 0 ，直接代入会导致无意义。

但通过化简$f(x) ＝ x ＋ 1$，
就可以发现当$x$趋近于 1 时，函数值趋近于 2 ，这就是极限的一个简
单例子。

极限的定义有多种形式，常见的有$＼lim_{x ＼to a} f(x) ＝ L$，表
示当$x$无限接近$a$时，＄f(x)＄的极限为$L$。

二、极限的计算方法
1、代入法
对于一些简单的函数，直接将趋近的值代入函数中计算极限。

但要
注意分母不能为 0 。

2、化简法
通过代数运算、约分、有理化等方法将函数化简，然后再求极限。

3、重要极限
（1）＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$
（2）＄＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e$
利用这两个重要极限，可以通过变形和代换来计算很多复杂的极限
问题。

4、洛必达法则
当遇到$＼frac{0}｛0}＄或$＼frac{＼infty}｛＼infty}＄型的极限时，可以使用洛必达法则，即对分子分母分别求导，然后再求极限。

三、极限的性质
1、唯一性
如果函数存在极限，那么这个极限是唯一的。

2、局部有界性
如果函数在某个点的极限存在，那么在这个点的某个邻域内，函数
是有界的。

3、局部保号性
如果函数在某个点的极限大于 0 （或小于 0 ），那么在这个点的某
个邻域内，函数值大于 0 （或小于 0 ）。

四、函数的连续性
函数在某一点连续，意味着当自变量在该点的变化很小时，函数值的变化也很小。

具体来说，函数$f(x)＄在点$x_0$处连续，需要满足三个条件：
1、函数$f(x)＄在点$x_0$处有定义；
2、＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x)＄存在；
3、＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄
如果函数在其定义域内的每一点都连续，就称该函数为连续函数。

五、连续函数的性质
1、连续函数的和、差、积、商（分母不为 0 ）仍为连续函数。

2、连续函数的复合函数也是连续函数。

3、闭区间上的连续函数具有最值定理、介值定理等重要性质。

最值定理：在闭区间上连续的函数一定能取得最大值和最小值。

介值定理：设函数$f(x)＄在闭区间$a, b$上连续，且$f(a) ＼neq f(b)＄，那么对于$f(a)＄和$f(b)＄之间的任意一个数$c$，在区间$（a, b)＄内至少存在一个点$＼xi$，使得$f(＼xi) ＝ c$。

六、函数的间断点
函数不连续的点称为间断点。

间断点可以分为以下几种类型：
1、可去间断点
函数在该点无定义，或者函数在该点有定义但极限存在且不等于该
点的函数值。

2、跳跃间断点
函数在该点的左极限和右极限都存在，但不相等。

3、无穷间断点
函数在该点的极限为无穷大。

4、振荡间断点
函数在该点的极限不存在，且函数值在某个区间内无限振荡。

七、利用连续性求极限
如果函数在某点连续，那么在该点的极限值就等于函数值。

因此，
对于一些连续函数，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限。

八、极限与连续性在实际中的应用
极限与连续性在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。

例如，在物理学中，计算瞬时速度、加速度等都需要用到极限的概念；在工程学中，对材料的强度分析、电路的稳定性研究等也离不开极限
与连续性的知识；在经济学中，边际成本、边际收益的计算也与极限
和连续性密切相关。

总之，高等数学中的极限与连续性是非常重要的知识点，需要我们深入理解和掌握，通过大量的练习来提高运用这些知识解决问题的能力。

只有这样，我们才能为后续的学习和实际应用打下坚实的基础。