2021_2022学年新教材高中数学第5章函数概念与性质5.3第2课时函数的最大值最小值课件苏教版必

思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 f(x)＝－x2≤1 总成立，故 f(x)的最大值为 1.( ) (2)若函数 f(x)在定义域内存在无数个 x 使得 f(x)≤M 成立，则 f(x) 的最大值为 M.( ) (3)函数 f(x)＝x 的最大值为＋∞.( ) (4)函数 f(x)在[a，b]上的最值一定是 f(a)(或 f(b))．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
则 f(x1)－f(x2)＝x1x－1 1－x2x－2 1＝x1－x12－xx21－ 1， 因为 1<x1<x2. 所以 x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)．
故函数 f(x)＝x－x 1在(1，＋∞)上为单调递减函数．
(2)由上述(1)可知，函数 f(x)＝x－x 1在[3,4]上为单调递减函数， 所以在 x＝3 时，函数 f(x)＝x－x 1取得最大值32； 在 x＝4 时，函数 f(x)＝x－x 1取得最小值43.
因为－1<x1<x2⇒x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)<f(x2)， 所以 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)由(1)知 f(x)在[2,4]上单调递增， 所以 f(x)的最小值为 f(2)＝2×2＋2＋1 1＝35， 最大值 f(4)＝2×4＋4＋1 1＝95.
(变条件)求函数 f(x)＝x－x 1在[－4，－3]上的最值． [解] 任取 x1，x2∈[－4，－3]且 x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1x－1 1－x2x－2 1＝x1－x12－xx21－ 1. ∵x1，x2∈[－4，－3]， ∴x1－1<0，x2－1<0.
又 x1<x2，
∴x2－x1>0，
类型 2 利用单调性求函数的最值 【例 2】 已知函数 f(x)＝x－x 1. (1)用函数单调性定义证明 f(x)＝x－x 1在(1，＋∞)上是单调减函数； (2)求函数 f(x)＝x－x 1在区间[3,4]上的最大值与最小值．
[解] (1)证明：设 x1，x2 为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且 1<x1<x2，
合作探究·释疑难
类型1 利用图象求函数的最值 类型2 利用单调性求函数的最值 类型3 二次函数的最值
类型 1 利用图象求函数的最值
x2，－1≤x≤1，
【例 1】 已知函数 f(x)＝1x，x>1.
求 f(x)的最大值、最
小值．
[解] 作出函数 f(x)的图象(如图)．
由图象可知，当 x＝±1 时，f(x)取最大值为 f(1)＝f(－1)＝1. 当 x＝0 时，f(x)取最小值为 f(0)＝0， 故 f(x)的最大值为 1，最小值为 0.
[跟进训练] 2．已知函数 f(x)＝2xx＋＋11. (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结 论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
[解] (1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝2xx11＋＋11－2xx22＋＋11＝x1＋x11－xx22＋1，
C [∵函数 y＝－x＋1 在区间21，2上是减函数，
∴f(x)max＝f 21＝－21＋1＝21.]
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x2＋a，x<0 3．(多选题)已知函数 f(x)＝x＋4x，x>0 有最小值，则实数 a 的
值可能为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
BCD [由题意知，当 x>0 时，函数 f(x)＝x＋4x≥2 x·4x＝4，当且
[跟进训练] 3．若 f(x)＝x2－2ax＋2，当 x∈[2,4]时，f(x)≤a 恒成立，求实数 a 的取值范围． [解] 在[2,4]内，f(x)≤a 恒成立， 即 a≥x2－2ax＋2 在[2,4]内恒成立， 即 a≥f(x)max，x∈[2,4]． 又 f(x)max＝61－8－4a8，a，a>a≤3. 3，
(2)函数的最小值
一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的 x∈A，都有____f(_x_)≥__f_(x_0_)____，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为 ___y_m_in_＝__f(_x_0)_____．
函数的最值与值域是一回事吗？ [提示] 不是．最值与值域是不同的，值域是一个集合，而最值只 是这个集合中的一个元素．
当 a>4 时，f(x)在[2,4]上是减函数， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a. 当 2≤a≤4 时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
6－4a，a<2，
∴f(x)min＝2－a2，2≤a≤4， 18－8a，a>4.
1．在本例条件下，求 f(x)的最大值． [解] ∵函数图象的对称轴是 x＝a， ∴当 a≤3 时，f(x)max＝f(4)＝18－8a， 当 a>3 时，f(x)max＝f(2)＝6－4a. ∴f(x)max＝16－8－48aa，，aa>≤3. 3，
谢谢观看！
谢谢观看 THANK YOU!
()
C．5,1
D．以上都不对
B [因为 y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且 x∈[－2,3]，
所以当 x＝1 时，ymin＝1， 当 x＝－2 时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选 B.]
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2．函数 y＝－x＋1 在区间12，2上的最大值是(
)
A．0
B．－12
C．12
D．－1
(1)当 a≤3 时，a≥18－8a，解得 a≥2，此时有 2≤a≤3.
(2)当 a>3 时，a≥6－4a，解得 a≥65，此时有 a>3. 综上有实数 a 的取值范围是[2，＋∞)．
当堂达标·夯基础
1．函数 y＝x2－2x＋2 在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是
A．10,5
B．10,1
图象法求函数最值的一般步骤
[跟进训练] 1．已知函数 y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值 情况，并写出值域． [解] y＝－|x－1|＋2＝3x＋－1x， ，xx≥ <11，， 图象如图所示， 由图象知，函数 y＝－|x－1|＋2 的最大值为 2，没有最小值， 所以其值域为(－∞，2]．
仅当 x＝2 时取等号；当 x<0 时，f(x)＝x2＋a> a，因此要使 f(x)有最小
值，则必须有 a≥4, 即实数 a 的最小值为 4.]
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4．函数 y＝x2－2x－1 在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是 ________．
0 [∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2， ∴函数的对称轴为 x＝1，∴函数在区间[0,1]上为减函数，在区间 [1,3]上为增函数． ∴当 x＝1 时，函数取最小值－2，当 x＝3 时，函数取最大值 2， ∴最大值与最小值的和为 0.]
在下图中，我们从图象上看出 14 时的气温为全天的最高气温，它 表示在 0～24 时之间，气温于 14 时达到最大值；从图象上看出，图象 在这一点的位置最高．
从图中可以看出：对于任意的 x∈[0,24]，都有 f(x)与 f(14)具有怎 样的关系？
知识点 函数的最大值与最小值 (1)函数的最大值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的 x∈A，都有___f(_x_)≤__f_(_x0_)_____，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为 __y_m_ax_＝__f(_x_0_) ____．
2．在本例条件下，若 f(x)的最小值为 2，求 a 的值． 6－4a，a<2，
[解] 由本例解析知 f(x)min＝2－a2，2≤a≤4， 18－8a，a>4.
当 a<2 时，6－4a＝2，a＝1；
当 2≤a≤4 时，2－a2＝2，a＝0(舍去)；
当 a>4 时，18－8a＝2，a＝2(舍去)． ∴a 的值为 1.
求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集 R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值； 二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性 确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间内， 在区间左侧，在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时， 需要进行分类讨论．
第5章 函数概念与性质
函数的单调性 第2课时 函数的最大值、最小值
学习任务

核心素养
1．理解函数的最大(小)值的定义 1．借助函数最值的求法，培养直
及其几何意义．(重点)
观想象和数学运算素养．
2．会求一些简单函数的最大值或 2．利用函数的最值解决实际问题，
最小值．(重点、难点)
培养数学建模素养.
情境导学·探新知
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回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．怎样理解函数的最值？ [提示] ①存在． ②在给定区间上所有函数值中最大(小)． ③在函数图象上有最高或最低点．
2．求函数的最值有哪些常用方法？ [提示] 图象法、单调性法，对于二次函数还可用配方法． 3．本节内容渗透了哪些数学思想？ [提示] 数形结合思想，分类讨论思想．
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－x，－1≤x≤0，
5 ． 已 知 函 数 f(x) ＝ x2，0<x≤1， x，1<x≤2，
则 f(x) 的 最 大 值 为
________，单调减区间为________．
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2 [－1,0] [f(x)的图象如图：
则 f(x)的最大值为 f(2)＝2. 单调减区间为[－1,0]．]
类型 3 二次函数的最值 【例 3】 求二次函数 f(x)＝x2－2ax＋2 在[2,4]上的最小值．
二次函数 f(x)的对称轴在区间[2,4]可能存在几种位置关系？ [提示] 对称轴在[2,4]的左侧即 a<2，在区间[2,4]内即 2≤a≤4， 在区间[2,4]的右侧即 a>4.
[解] ∵函数图象的对称轴是 x＝a，∴当 a<2 时，f(x)在[2,4]上是 增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
∴f(x1)－f(x2)>0， ∴f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在[－4，－3]上单调递减， ∴f(x)max＝f(－4)＝54， f(x)min＝f(－3)＝43， ∴f(x)在[－4，－3]上最大值为54，最小值为34.
1．当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值． 2．函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值 为 f(a)，最小值为 f(b)； (2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值 为 f(b)，最小值为 f(a)； (3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定 有最大(小)值．