弹性力学 平面问题基本理论-2

P
P/A
注意： （1）用圣维南原理必须满足静力等效条件，若不 满足，则计算结果不能用于不同的情况。 （2）在静力等效的前提下，若位移条件不满足， 也可以用圣维南原理。
h>>b
F F/2 F/2 F/b F F/2 F/2
h
b
圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是 一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个 面力就只会使近处的产生显著的应力，而远处的应力可 不计。
圣维南原理的说明 1. 圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次 要边界或局部边界）； 2. 静力等效 ─ 指两者主矢量相同，对同一点主矩也
相同；
3. 近处 ─ 指面力变换范围的一、二倍的局部区域； 4. 远处 ─ 指“近处”之外。
例： a b c P P P
P/2 P/2
P/2
d e
P/A
§2-5 物理方程（应力、应变之间的关系）
物理方程的两种形式：
1 x (σ x (σ y σ z )), E 1 y (σ y (σ z σ x )), E 1 z (σ z (σ x σ y )), E
yz zx xy
1 yz , G 1 zx , G 1 xy , G
物理方程的说明：
⑴ 适用条件─理想弹性体；
⑵ 是总结实验规律得出的； ⑶ 是线性的代数方程； ⑷线应变只与正应力有关；切应变只与切 应力有关。
平面应力问题的物理方程
x y xy
1 (σ x σ y ) E 1 (σ y σ x ) E 2 1 ) ( xy E
平面应力问题与平面应变问题两者的物理方 程虽然不同，但平衡微分方程和几何方程是相同 平面应变问题： 平面应力问题： 的。 2
x y xy
1 (σ x σ y ) E 1 (σ y σ x ) E 2 1 ) ( xy E
x y xy
1- (σ x σy) E 1-
三、混合边界条件
1 部分边界具有已知的位移，另部分边界具有 已知的面力； 2 同一部分边界既有位移边界条件，又有应力 边界条件。
σy
yx
q
o
h/2 h/2
yx xy
x
σx
l y
σy
q1
q b b q
a o
a
q x
yx xy
q
σx
y
σy
o
a
x
y
写出图示结构AB、BC 、DE的应力边界条件: （水的重度为r） x B C D
思考：为什么在大边界（主要边界）上，不能应用 圣维南原理？
1 - 2 (σ y σx) E 1- 2 1 ) ( xy E
平面应力 物理方程
E E , 2 1 1
E(1 2 ) E , 2 1 (1 )
平面应变 物理方程
求解平面问题的基本方程： 平衡微分方程（2个） 几何方程 （3个） 物理方程 （3个） 再考虑边界条件，即可求出所有未知量。
平面应力问题的物理方程的另一种形式：
x
E ( x y ) 2 1
E y ( y x ) 2 1
xy
1 xy G
平面应变问题的物理方程
x y xy
1 - 2 (σ x σy) E 1- 1 - 2 (σ y σx ) E 1- 2 1 ) ( xy E
u （u dy） u u y b dy y
xy
u v y x
平面问题中的几何方程：
x
y
xy
u x
v y
u v y x
⑴ 适用于区域内任何点; ⑵ 应用小变形假定，略 去了高阶小量,故为线性 的几何方程；
⑶ 适用条件：a.连续性； b.小变形。
§2-6 边界条件
边界条件 ─ 表示在边界上位移与约束、 求解弹性力学问题＝平衡微分方程 + 几何协调方程 + 物理方程 + 或应力与面力之间的关系。 边界条件
一、位移边界条件 弹性体在边界上的位移是已知的：
(u )s u(s), (v)s v(s),（在 su上)
位移边界条件的说明：
⑴ 它是函数方程，要求在 su 上每一点 ，
位移与对应的约束位移相等。
如：四边固定的板或两端简支的板
a b x b a
x
y
y
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条件，或位移 保持连续性的条件。
二、应力边界条件
x xy
B py
P
y yx
px s
A
应力边界条件的说明： ⑴ 它是边界上微分体的静力平衡条件； ⑵ 它是函数方程，要求在边界上每一点s上均满 足，这是精确的条件； ⑶ 式（a）在弹性体中每一点均成立，而式（b） 只能在边界s上成立；
⑷ 几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必 然结果。 (5)形变与位移的关系：位移确定时，应变完全确 定；应变确定时，位移却不能完全确定。
设应变分量已知：x=y＝xy=0
u x 0 x
u=f1（y）
v=f2（x）
df1 ( y ) df2 ( x) 0 dy dx
y
xy
b
a
x
y
正面上，两者的 正负号相同；负 面上，两者的正 负号相反。
q x
y
应力边界条件的两种表达式： （1）在边界点取出微分体，考虑其平衡条件。 （2）在同一边界上，应力分量=面力分量（数值相等、 方向一致）。
对特殊边界面： （1）先写面力，然后判断正负面，正面应力与面力相 同，负面应力与面力相反。 （2）画出该面上的应力（正向），然后与荷载比较， 方向相反时加负号。
平面应力问题：
x , y , xy 0 z yz zx 0

平面应变问题：
x , y , xy 0 z yz zx 0

x , y , xy 0 z 0
x , y , xy 0 z 0
局部边界上圣维南原理的应用：P22,23
（1）列出精确的应力边界条件 （2）圣维南原理的应用-积分的应力边界条件
P23，公式（b）中（2）应力主矢量、主矩的正方 向的正负号的确定： 应力的主矢量的正方向，即应力的正方向， 应力的主矩的正方向，即（正应力） × （正的矩臂）的方向。
比较：
• 方程个数 方程性质 精确性 适用边界 精确的应力边界条件 2 函数方程（难满足） 精确 大、小边界 积分的应力边界条件 3 代数方程（易满足） 近似 小边界
a
n a
A y
E
§2-7 圣维南原理及应用
弹力问题是微分方程的边值问题。应力分量、形 变分量、位移分量满足基本方程及其边界条件。主要 的在于难于满足边界条件。 另外，在工程计算中经常碰到这样的情况：在 物体的部分边界上，只知道物体所受面力的合力， 面力的分布方式并不明确。 在上述情况下，可利用圣维南原理(SaintVenant’s Principle)来写出近似的边界条件： 圣维南原理：如果把物体一小部分边界上的面力 变换成分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分 布将有显著的变化，但远处所受的影响可以忽略。
u dx u u u x dx x
y：PB的线应变
y
v v dy v y v dy y
xy或yx ：PA与PB夹角的改变量：a+b
v v dx v v x a dx x
§2-4 几何方程
刚体位移
几何方程─表示任一点的微分线段 上形变与位移之间的关系。
o
x
u u dx x
PA=dx，PB=dy
u
v
a y
v v y y
u u dy y
v v dx x
b
讨论PA，PB的线 应变和切应变
应用的基本假定：连续性；小变形。
x：PA的线应变
x
v 0 y
u v 0 y x
df1 ( y ) df 2 ( x) dy dx
u=f1（y）=u0- y v=f2（x）=v0+ x
变形为0时的位移
刚体位移
o
x
j x
r
y
P r a x y
y
合位移的方向垂直于OP，即沿切线方向，所以表 示弹性体绕z轴的刚体转动。