2020-2021学年新教材人教B版必修第一册 函数的奇偶性 学案

3．1.3 函数的奇偶性
第1课时函数的奇偶性(1)
[课程目标] 1.结合具体函数，了解函数的奇偶性的含义；2.会根据奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性；3.会利用奇偶性来研究函数的定义域、值域、解析式、单调性及函数的图像等．
知识点一奇、偶函数的定义
[填一填]
(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数．
(2)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数．
[答一答]
1．从奇(偶)函数的定义来考虑，若对于奇(偶)函数定义域内的任意一个自变量x，它的相反数－x也在定义域内吗？由此得到什么结论？y＝x2，x∈[－1,1)是偶函数吗？
提示：在函数的定义域内，奇(偶)函数的定义域是对称的．y＝x2，x∈[－1,1)不是偶函数，原因是f(－1)≠f(1)．(f(1)不存在)
2．若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)等于什么？
提示：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，
即2f(0)＝0，f(0)＝0.
知识点二奇、偶函数的图像特征
[填一填]
1．如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．2．如果一个函数是偶函数，则它的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
[答一答]
3．观察下列函数的图像，判断函数的奇偶性．
提示：由题图可看出①②的图像均关于y 轴对称，所以这两个函数均为偶函数； ③④的图像关于原点对称，所以这两个函数均为奇函数．
类型一 判断函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2－2x ； (2)f (x )＝x 3＋1
x
；
(3)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (4)f (x )＝2－|x |.
[解] (1)f (x )的定义域为R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ≠f (x )， 且f (－x )≠－f (x )， 所以f (x )为非奇非偶函数．
(2)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．因为f (－x )＝(－x )3＋1
－x ＝－(x 3
＋1
x
)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．
(3)f (x )的定义域为{－1,1}，是两个具体数，关于原点对称．又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0，
∴f (x )＝
x 2－1＋
1－x 2既是奇函数，又是偶函数．
(4)f (x )的定义域为R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )， 所以f (x )是偶函数．
判断函数奇偶性的两种常用方法(1)定义法
①确定函数的定义域；②看定义域是否关于原点对称.(ⅰ)不对称，则函数为非奇非偶函数；
(ⅱ)对称⎩⎪⎨⎪⎧
若f (－x )＝－f (x )，则函数为奇函数；
若f (－x )＝f (x )，则函数为偶函数；
若f (－x )与f (x )无上述关系，
则函数为非奇非偶函数.
(2)图像法画出函数的图像，直接利用图像的对称性判断函数的奇偶性.
[变式训练1] 判断下列各函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2＋1
x ；
(2)f (x )＝(x －2)
2＋x
2－x
； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2 (x <－1)，0 (|x |≤1)，
－x ＋2 (x >1).
解：(1)f (－x )＝x 2－1x ≠f (x )，f (－x )＝x 2－1x ≠－f (x )，所以f (x )＝x 2＋1
x 是非奇非偶函数．
(2)由2＋x
2－x ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．
(3)当x <－1时，f (x )＝x ＋2，－x >1， ∴f (－x )＝－(－x )＋2＝x ＋2＝f (x )； 当x >1时，f (x )＝－x ＋2，－x <－1， f (－x )＝－x ＋2＝f (x )．
当－1≤x ≤1时，f (x )＝0，－1≤－x ≤1， f (－x )＝0＝f (x )．
∴对定义域内的每个x 都有f (－x )＝f (x )， 因此f (x )是偶函数．
类型二奇、偶函数的图像特征
[例2]已知偶函数f(x)的一部分图像如图所示，
(1)请画出f(x)的另一部分图像；
(2)判断f(x)是否有最大值或最小值；
(3)设f(x)＝0的根为x1，x2，求x1＋x2.
[解](1)由题意知，f(x)的图像关于y轴对称，作图如下．
(2)由图像知f(x)有最小值，无最大值．
(3)因为f(x)的图像关于y轴对称，所以x1，x2互为相反数，从而x1＋x2＝0.
已知函数的奇偶性及部分图像，根据对称性可补出另一部分图像.奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反.
[变式训练2]已知函数f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图像如图所示，则f(x)的值域为[－3，－2)∪(2,3]．
解析：根据奇函数的图像性质可以得到函数f (x )在[－2，0)上的图像，如图所示．
由图像可知，函数f (x )的值域为[－3，－2)∪(2,3]． 类型三 利用函数奇偶性求参数
[例3] (1)设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )
x
为奇函数，则a ＝________；
(2)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2＋x ，x >0，
ax 2＋x ，x <0是奇函数，则a ＝________.
[解析] (1)法1(定义法) 由已知得f (－x )＝－f (x )， 即(－x ＋1)(－x ＋a )－x
＝－(x ＋1)(x ＋a )
x .
显然x ≠0，整理得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ，故a ＋1＝0，得a ＝－1. 法2(特值法) 由f (x )为奇函数得f (－1)＝－f (1)， 即(－1＋1)(－1＋a )－1＝－(1＋1)(1＋a )
1，
整理得a ＝－1.
(2)(特值法) 由f (x )为奇函数，得f (－1)＝－f (1)，
即a ×(－1)2＋(－1)＝－(－12＋1)， 整理得a －1＝0，解得a ＝1. [答案] (1)－1 (2)1
由函数的奇偶性求参数应注意两点
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.
(2)利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.
[变式训练3] (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －2,2a ]，则a ＝2
3，
b ＝0；
解析：由f (x )为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a －2＋2a ＝0，解得a ＝2
3.又f (x )
为偶函数，所以其图像关于y 轴对称，即－b
2a
＝0，解得b ＝0.
(2)已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝0.
解析：由f (x )为奇函数得f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0，所以a (－x )2＋2(－x )＋ax 2
＋2x ＝0，即2ax 2＝0，所以a ＝0.
1．下列说法中错误的个数为( C ) ①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数； ②图像关于y 轴对称的函数是偶函数； ③奇函数的图像一定过坐标原点； ④偶函数的图像一定与y 轴相交． A ．4 B ．3 C ．2
D ．1
解析：由奇函数、偶函数的性质，知①②说法正确；对于③，如f (x )＝1
x ，x ∈(－∞，0)∪
(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图像不过原点，所以③说法错误；对于④，如f (x )＝1
x 2，x ∈(－
∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图像不与y 轴相交，所以④说法错误．故选C.
2．下列函数不具备奇偶性的是( C )
A ．y ＝－x
B ．y ＝－1
x
C ．y ＝x －1
x ＋1
D ．y ＝x 2＋2
解析：y ＝－x 与y ＝－1
x 都是奇函数，y ＝x 2＋2是偶函数，y ＝x －1x ＋1的定义域为{x ∈R |x ≠
－1}，不关于原点对称，故y ＝x －1
x ＋1
为非奇非偶函数，故选C.
3．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( A )
A ．f (π)>f (－3)>f (－2)
B ．f (π)>f (－2)>f (－3)
C ．f (π)<f (－3)<f (－2)
D ．f (π)<f (－2)<f (－3)
解析：∵f (x )为R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)．又∵f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴f (2)<f (3)<f (π)，即f (－2)<f (－3)<f (π)，故选A.
4．定义在(－1,1)上的奇函数f (x )＝
x ＋m
x 2＋nx ＋1
，则常数
m ＝0，n ＝0.
解析：因为定义在(－1,1)上的奇函数f (x )＝
x ＋m
x 2＋nx ＋1
满足f (0)＝0，所以m ＝0.
又f (x )＝x ＋m
x 2
＋nx ＋1是奇函数，则x 2＋nx ＋1为偶函数，n ＝0.
综上知，m ＝0，n ＝0.。