高中数学-直线方程
高中数学必修知识点总结：第三章直线与方程
高中数学必修知识点总结：第三章直线与方程1. 直线的一般方程直线的一般方程可以表示为：Ax + By + C = 0。
其中A、B、C是常数，A和B 不同时为0。
这个方程可以通过直线上任意两点的坐标来确定。
2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为：y = kx + b。
其中k是直线的斜率，b是y轴截距。
通过斜截式方程，我们可以方便地确定直线的斜率和截距。
3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)。
其中(x1, y1)是直线上的一个已知点，k是直线的斜率。
根据点斜式方程，我们可以通过已知点和斜率来确定直线的方程。
4. 直线的两点式方程直线的两点式方程可以表示为：(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个已知点。
通过两点式方程，我们可以直接利用已知点的坐标来确定直线的方程。
5. 直线的斜率公式和截距公式直线的斜率可以通过斜率公式来计算：k = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
直线的截距可以通过截距公式来计算：b = y1 - kx1。
通过斜率公式和截距公式，我们可以方便地计算直线的斜率和截距。
6. 直线的平行和垂直关系如果直线1的斜率等于直线2的斜率，则直线1和直线2平行。
如果直线1的斜率与直线2的斜率的乘积为-1，则直线1和直线2垂直。
7. 直线与坐标轴的交点直线与x轴的交点可以通过将y设为0得到，直线与y轴的交点可以通过将x 设为0得到。
8. 直线的倾斜角直线的倾斜角可以通过斜率来计算：θ = arctan(k)，其中k是直线的斜率。
9. 直线的距离公式直线Ax + By + C = 0到点(x0, y0)的距离可以通过公式计算：d = |Ax0 + By0 +C|/√(A²+B²)。
10. 直线与线段的位置关系直线与线段的位置关系可以分为以下三种情况：•直线与线段相交•直线与线段不相交•直线与线段重合通过计算直线与线段的交点，可以确定它们的位置关系。
高二数学直线及方程知识点
高二数学直线及方程知识点直线及方程是高中数学中重要的知识点之一，对于理解几何形状和解决实际问题都具有重要的作用。
本文将介绍高二数学中的直线及方程知识点，包括直线方程的表示形式、直线的性质与判定以及直线与曲线的关系等内容。
希望通过本文的阅读，能够帮助同学们更好地理解和掌握直线及方程的知识。
1. 直线方程的表示形式直线方程的表示形式通常有一般式、截距式和斜截式等。
一般式的直线方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数且A和B不同时为0。
截距式的直线方程形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示x轴和y轴上的截距。
斜截式的直线方程形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
2. 直线的性质与判定直线具有很多重要的性质，包括平行、垂直、相交等。
两条直线平行的判定条件是它们的斜率相等，两条直线垂直的判定条件是它们的斜率的乘积为-1。
两条直线相交时，它们的交点可以通过联立两条直线的方程求解得到。
此外，对于一条直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，其斜率可以通过Δy/Δx来计算。
3. 直线与曲线的关系直线与曲线之间有时会有特殊的关系，比如切线和法线。
曲线在某一点的切线是曲线在该点处与切线相切，切线的斜率等于曲线在该点的导数。
曲线在某一点的法线是与切线垂直的直线，其斜率等于切线的斜率的相反数。
通过分析曲线的性质及其方程，我们可以画出曲线在不同点处的切线和法线。
4. 直线与线段的关系直线和线段也有一些特殊的关系，比如线段的中垂线和角平分线。
线段的中垂线是线段的中点与线段所在直线的垂线，中垂线会将线段平分成两个相等的部分。
线段的角平分线是线段的两边所在直线的夹角的平分线，角平分线将角分成两个相等的角。
总结：本文介绍了高二数学中的直线及方程知识点，包括直线方程的表示形式、直线的性质与判定以及直线与曲线、线段的关系等内容。
通过对这些知识点的理解和掌握，可以帮助同学们更好地应对数学学习中的问题和挑战，为解决实际问题提供有力的数学工具。
高中数学-直线的方程的几种形式
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学点一 直线的点斜式方程 求倾斜角为直线y= - 3 x+1的倾斜角的一半且分别满 足下列条件的直线方程: (1)经过点(-4,1); (2)在y轴上的截距为-10.
【分析】通过已知直线的斜率求出所求直线的斜率， 再分别由直线的点斜式方程和斜截式方程求解.
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【解析】直线y= - 3x+1的斜率为 3,可知此直线的 倾斜角为120°,由题意知所求直线的倾斜角为60°,故 所求直线的斜率k= 3 . (1)由于直线过(-4,1),由直线的点斜式方程得 y-1= 3(x+4)，即 3x-y+1+4 3=0. (2)由于直线在y轴上的截距为-10,所以由直线的斜截 式方程得y= 3x-10,即 3 x-y-10=0.
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4.利用待定系数法求直线方程时,要能根据题中所给
已知条件选用最恰当的形式,并能根据问题的需要灵
活准确地进行互化.在研究无特殊限制的直线情况时,
常将直线化为一般形式,而当研究直线的斜率与倾斜
角时,又以直线的斜截式最为方便,也常将直线方程
的一般式化为斜截式:当B≠0时,直线方程为
y=- A x- C , 其中- A为直线的斜率,- C为直线在y
m2 -2m-3 (2)当斜率为-1时,有 - m2 -2m-3 1 ,但要注意
2m 2 m-1 2m2+m-1≠0.
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【解析】(1)由题意可得
m2-2m-3≠0 ① 2m-6 3 ②
m 2 -2m -3
由②解得m=3或m= 5 .
3
分别代入①检验可知m= 5 .
3
(2)由题意可得
2m2+m-1≠0 ③
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三角形的三个顶点分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), 如图2-4-1所示,求这个三角形三边所在直线的方程.
高中数学-直线的方程
直线的方程1.直线的点斜式方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程和截距式方程4.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.5.直线的一般式方程6.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系直线的点斜式方程知识点1 求直线的点斜式方程【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A (－4，3)，斜率k ＝2； (2)经过点B (－1，4)，倾斜角为45°； (3)过点C (－1，2)，且与x 轴平行； (4)过点D (2，1)和E (3，－4)．【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2，5)，斜率是4； (2)经过点B (2，3)，倾斜角是135°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．知识点2 直线的斜截式方程【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是-5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－8；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为8.【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)直线倾斜角是45°，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.知识点3 点斜式、斜截式方程的综合应用(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？【变式训练3-1】求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．【变式训练3-2】（赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5?课堂练习1．过点()3,2，斜率是23的直线方程是（ ） A ．243y x =+ B ．223y x =+ C ．230x y -=D ．320x y -=2．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B 直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为13．直线y ＝3(x －3)的斜率与在y 轴上的截距分别是( )A ．3，3B ．3，－3C ．3，3D ．－3，－3 4．直线y ＝kx ＋b 经过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <05．过点()2,0且与直线25y x =+垂直的直线l 的方程是（ ）A ．24y x =-B ．24y x =-+C ．112y x =- D ．112y x =-+ 6．已知直线l 过点()2,0，且与直线21y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．24y x =-+D ．24y x =--7．直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是________．8．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________．9．与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________．10．斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．11．写出下列直线的斜截式方程：(1)直线的倾斜角为45°且在y 轴上的截距是1； (2)直线过点A (3，1)且在y 轴上的截距是－1.12．(1)求经过点(1，1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的点斜式方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5平行的直线的斜截式方程．直线的两点式方程知识点1 直线的两点式方程【例1-1】已知三角形的顶点是A (1，3)，B (－2，－1)，C (1，－2)，求这个三角形三边所在直线的方程．【变式训练1-1】（开江县校级开学考）过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为 ( ) A ．2x －y －1＝0 B ．x －2y ＋3＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0知识点2 直线的截距式方程【例2-1】（诸暨市校级期中）求过点A (3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程．【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？知识点3 直线的综合应用【例3-1】（沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【变式训练3-1】（天心区校级期末）求过点A(4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．课堂练习1．（锡山区校级期中）过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为()A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1C．y＝x＋2 D．y＝－x－22．（红桥区期中）经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是()A.x4＋y3＝1 B.x3＋y4＝1C.x4－y3＝1 D.x3－y4＝13．（江宁区校级月考）过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条4．（临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为()A．5x＋3y－25＝0 B．5x－3y－25＝0C．3x－5y－25＝0 D．5x－3y＋25＝05．（朝阳区校级月考）已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是() A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或16．（庐江县校级期末）点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，则()A．m＝－3，n＝10 B．m＝3，n＝10C．m＝－3，n＝5 D．m＝3，n＝57．（海淀区校级期末）已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为________．8．（红岗区校级期末）过点P(3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________．9．（兴庆区校级期末）求经过点A(－2，3)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．10．（城关区校级期末）求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．能力提升1．（鼓楼区校级期末）两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()2.（秦州区校级期末）直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞3．（金湖县校级期中）垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．4．（启东市校级月考）已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 5．（杨浦区校级期末）在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．直线的一般式方程知识点1 直线的一般式方程与其他形式的转化【例1-1】（水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A.3B ．－5C.95D ．－33【变式训练1-1】（包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A (5，3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点； (4)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.知识点2 直线的一般式方程的应用【例2-1】（上虞区期末）(1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． (2)已知方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1表示直线．当m ＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m ＝____________时，直线在x 轴上的截距为1.【例2-2】（柳南区校级期末）已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)过点(－1，3)，且与l 垂直．【变式训练2-1】（佛山校级月考）已知直线l 经过点P (2，1)，且与直线2x －y ＋2＝0平行，那么直线l 的方程是( ) A ．2x －y －3＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．2x －y －4＝0D ．x －2y －4＝0【变式训练2-2】（西湖区校级月考）设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________．课堂练习1．（芜湖校级月考）已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限2．（南岸区校级期末）过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．（辽源期末）若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A ．－1B ．1C.12D ．－124．（宜兴县校级期中）直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )5．（城关区校级期末）直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，则m 的值为( ) A ．－2B ．2C ．－3D ．36．（金凤区校级期末）若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于________． 7．（越秀区校级期末）已知过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0互相垂直，则m ＝________． 8．（凯里市校级期末）已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2，3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．9．（和平区校级期中）若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．(1)求实数m需满足的条件；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．10．（如东县期中）(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？能力提升1．（昌江区校级期末）若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3能构成三角形，则a满足的条件是________．2．（河南校级月考）已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．3．（镜湖区校级期中）已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)．(1)求AB的中垂线方程；(2)求过点P(2，－1)且与直线AB平行的直线l的方程；(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程．11/ 11。
高中数学选修一第1章-直线方程-知识点
1高中数学选修一第1章-直线方程-知识点1、倾斜角：直线在x 轴上方的部分，与x 轴正半轴的夹角，范围是[0,π)。
倾斜角θ= 0 时，表示与x 轴平行或重合的直线；θ= 90°时，表示与x 轴垂直的直线。
2、直线的斜率K= tan θ ，当θ=0时，斜率k= 0 ；当θ∈(0，π/2)时，斜率k ＞0，且k 随θ的增大而增大 (从 0+逐渐增大到 +∞)；当θ=π/2时，斜率不存在；当θ∈（π/2，π），斜率k ＜0，且k 随θ的增大而 增大 (从 -∞ 逐渐增大到 0- )。
特殊地，k=1时，θ=45°，k=-1时，θ=135°，k=3时，θ=60°，k=3-时，θ=120°，k=33时，θ=30°，k=33-时，θ=150°。
若已知直线上不同的两点A(x 1,y 1)、A(x 2,y 2)，则斜率k= 2121x x y y -- 。
3、熟记常见的直线方程注意：①截距是坐标值，可正，可负，也可以是0，与距离有区别。
②待定系数 求直线方程时，若选用 点斜式/斜截式 时，需要补充 斜率 不存在的情况；若选用 两点式 ，需要补充θ＝ 0 和＝ π/2 的情况；若选用 截距式 ，需要补充θ＝ 0 和＝π/2 以及直线 过原点 的情况。
③已知一般式ax+by+c=0，则斜率为 ba - ，法向量为 ),b a n （=，方向向量为 )-a b d ，（= 或 )-a b ，（ 。
4、直线系方程：①已知直线ax+by+c=0，平行直线可设ax+by+m=0 ；垂直直线可设5、找含参数直线方程的必过点。
例:直线2x-my-4+3m=0,必过定点(2,3)。
方法是：将方程中含参数m的项合并，不含参数的项合并，令它们分别等于0 即可求得。
6、关于直线与一次函数：一次函数的图像是直线，但直线不一定表示一次函数。
当斜率k=0时，直线方程表示为y=c ，是常值函数；当斜率不存在时，直线方程表示为x=m ，此时不是函数，当k存在且≠0时，此时表示一次函数。
高中数学直线方程
高中数学直线方程一、引言直线是高中数学中重要的几何概念之一，直线方程是研究直线性质的基础。
在几何中，直线是由无数个点连成的，我们可以用方程来描述直线的性质和特点。
本文将介绍直线的方程及其应用。
二、直线的一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数且A、B不同时为0。
这个方程是直线上所有点的坐标(x, y)的解集。
其中A和B表示直线的斜率，C表示直线与坐标轴的截距。
三、直线的斜截式方程斜截式方程形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
斜截式方程便于我们直观地理解直线的斜率和截距。
四、直线的点斜式方程点斜式方程形式为y - y₁= k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上一点的坐标，k为直线的斜率。
点斜式方程可以通过已知直线上一点和斜率来方便地确定直线的方程。
五、直线的截距式方程截距式方程形式为x/a + y/b = 1，其中a、b为直线与坐标轴的截距。
截距式方程可以直观地表示直线与x轴和y轴的截距。
六、直线方程的应用1. 直线的位置关系：通过直线方程可以判断两条直线的位置关系，如相交、平行、重合等。
2. 直线的斜率：直线的斜率决定了直线的倾斜程度，可以用来表示直线的陡峭程度或者平缓程度。
3. 直线的截距：直线的截距可以反映直线与坐标轴的交点位置。
4. 直线的交点：通过解直线方程组可以求得两条直线的交点坐标。
5. 直线的垂直与平行：通过直线的斜率可以判断两条直线是否垂直或平行。
七、直线方程的解法与注意事项1. 求解直线方程需要注意A和B不能同时为0，否则方程无意义。
2. 求解直线方程时，可以根据已知条件选择合适的方程形式，如点斜式方程适用于已知直线上一点和斜率的情况。
3. 求解直线方程时，可以通过直线的截距和斜率来确定方程。
4. 解直线方程时，可以利用直线的斜率来判断直线的特性，如斜率为0表示直线水平，无斜率表示直线垂直于x轴等。
高中数学必修二--直线的方程
0,
π 4
；
当-1≤k＜0时，倾斜角的范围是
3 4
π,
π
.
题型二 直线的斜率 【例2】 已知直线l过点P（-1，2），且与以 A（-2，-3），B（3，0）为端点的线段相交， 求直线l的斜率的取值范围. 思维启迪 分别求出PA、PB的斜率，直线l处 于直线PA、PB之间，根据斜率的几何意义利 用数形结合即可求.
小值4，
4分
此时直线l的方程为
x 4
y 2
1,即x
2y
4
0.
6分
(2)由2 1 1,得ab a 2b 0, ab
变形得(a 2)(b 1) 2, PA PB (2 a)2 (1 0)2 (2 0)2 (1 b)2 [(2 a)2 1][(1 b)2 4] 2(a 2) 4(b 1).
=-
2 3
cos
,
又∵
∈
π 6
,
π 2
，∴0＜cos
2 3
cos
＜0
≤3 2
,∴ 3 ≤ 3
即- 3 ≤tan ＜0,注意到0≤ ＜ π ,
3
∴5π ≤ ＜π .
6
答案 B
探究提高 （1）求一个角的范围，是先求这个角 某一个函数值的范围，再确定角的范围. （2）在已知两个变量之间的关系式要求其中一 个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得 到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余 弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的
B两点的坐标，表示出△ABO的面积，然后利用
相关的数学知识求最值.
解 方法一 设直线的方程为
x y 1(a 2,b 1), ab
由已知可得2 1 1.
1分
高中数学直线方程知识点
高中数学直线方程知识点在高中数学中，直线方程是一个重要的知识点，它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还为解决其他学科和实际生活中的问题提供了有力的工具。
接下来，让我们一起深入了解直线方程的相关内容。
一、直线的倾斜角与斜率1、倾斜角直线与 x 轴正方向所成的角叫做直线的倾斜角。
倾斜角的范围是0, π)。
当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0；当直线垂直于 x 轴时，倾斜角为π/2。
2、斜率直线的斜率是指倾斜角不是 90°的直线，其倾斜角的正切值。
记为k ＝tanα（α 为倾斜角）。
（1）过两点 P₁(x₁, y₁)，P₂(x₂, y₂)（x₁≠x₂）的直线的斜率 k ＝（y₂ y₁)／（x₂ x₁)。
（2）斜率的性质：当直线平行于 x 轴时，斜率 k ＝ 0；当直线垂直于 x 轴时，斜率不存在；斜率越大，直线越陡峭；斜率为正，直线上升；斜率为负，直线下降。
二、直线方程的几种形式1、点斜式若直线过点 P(x₀, y₀)，且斜率为 k，则直线方程为 y y₀＝ k(xx₀)。
2、斜截式若直线斜率为 k，在 y 轴上的截距为 b，则直线方程为 y ＝ kx ＋ b。
3、两点式若直线过两点 P₁(x₁, y₁)，P₂(x₂, y₂)（x₁≠x₂，y₁≠y₂），则直线方程为（y y₁)／（y₂ y₁) ＝（x x₁)／（x₂ x₁) 。
4、截距式若直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a、b（a≠0，b≠0），则直线方程为 x/a ＋ y/b ＝ 1 。
5、一般式Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（A、B 不同时为 0）。
三、直线方程的应用1、求直线的方程已知直线上一点和直线的斜率，或者已知直线上两点，都可以求出直线的方程。
2、判断直线的位置关系（1）两条直线平行：若两条直线斜率都存在，且斜率相等，则两条直线平行；若两条直线的一般式方程分别为 A₁x ＋ B₁y ＋ C₁＝ 0 和 A₂x ＋ B₂y ＋ C₂＝ 0，当 A₁B₂ A₂B₁＝ 0 且 A₁C₂ A₂C₁≠ 0 时，两条直线平行。
高考数学中的直线方程
高考数学中的直线方程高考数学中的知识点众多，而直线方程是其中比较常见且基础的知识点之一。
直线方程是指在平面直角坐标系中，描述一条直线的方程式。
了解直线方程是高中数学的基础，也是在高考数学中取得好成绩的必备知识点。
下面将从什么是直线方程、直线方程的种类、怎样求直线方程三个方面对直线方程进行详细的介绍。
一、什么是直线方程在平面直角坐标系中，一条直线上任意两点的坐标（x1, y1）和（x2, y2）之间总是存在一定的关系，我们可以通过确定这种关系来描述这条直线的方程式。
通常我们使用一元一次方程式来描述一条直线，即y=ax+b的形式。
其中，a和b是常数，而x和y则是未知数。
在这种形式下，a决定了这条直线的斜率，而b则决定了这条直线和y轴的交点。
二、直线方程的种类在高考数学中，我们需要掌握三种直线方程的形式：斜截式、点斜式和一般式。
下面我们分别进行详细介绍。
1.斜截式斜截式指的是y=ax+b的形式，其中a是这条直线的斜率，而b则是这条直线和y轴的交点。
在斜截式中，a的值决定了这条直线的斜率，也就是这条直线的倾斜程度。
当a的值为正数时，这条直线呈现上升的趋势；当a的值为负数时，则呈现下降的趋势。
而当a的值为0时，则表示这条直线为水平线。
在计算斜率时，通常我们需要注意两点之间的水平距离是否为0，如果是，则斜率不存在。
2.点斜式点斜式指的是y-y1=k(x-x1)的形式，其中k是这条直线的斜率，而（x1，y1）是这条直线上的一个点的坐标。
在点斜式中，我们需要发现这条直线的斜率，以及找到该直线上的一个点，然后通过点斜式计算出直线方程。
在计算时，我们可以使用任意一个点，因此对于一条直线，可以使用多个不同的点来计算直线方程。
3.一般式一般式指的是Ax+By+C=0的形式，在一般式中，A、B和C都是常数，而x和y为未知数。
在使用一般式来求解直线方程时，我们通常需要将其转化为斜截式或者点斜式。
具体的转化方式可以通过数学公式和推导来实现，在高考数学中，我们需要掌握这些转化方式，以便快速的解决具体的问题。
高中数学极坐标系与参数方程---直线参数方程
1 t sin
t cosα代入x α
y
3
0中，
1 t cosα t sinα 3 0 t 4
cosα sin α
| PN || t ||
4
|
cosα sin α
4
| PM | | PN | | 2(cosα sin α) | | cosα sin α |
8
t1 t2 2 2 sin α
tP
t1 t2 2
2 sin α
P在l上
P(
x,
y)满足x y
2
sin 2
α
cos α 2 sin
2
α
x
y
2 sin 2α 2 2 2
22
cos
, 2α
(α为参数，α
（π，3π）) 44
在平面直角坐标系
xOy中，曲线
C1过点P(a,1),
其参数方程为
bt a2 b2
在直角坐标系
xOy中，曲线 C的参数方程为
x
y
2 cosθ ,
4sin θ
(θ为参数）.直线l的参数方程为
x
y
1 t cos 2 t sin
α ,
α
(t为参数）.
(1)求C和l的直角坐标方程 .
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为 （1,2），求l的斜率.
消参
(1)C
t1 t2 2 2 t1t2 2 8a
a
1 36
0,
符合题意
t1 2t2
t1 t2 t1t2
2 2 2 8a
a
9
0,
t1 2t2
4
符合题意
在平面直角坐标系
高中直线方程的五种形式
高中直线方程的五种形式直线方程是高中数学中的重要内容之一，掌握不同形式的直线方程将有助于我们更好地理解和应用直线的性质。
在高中数学中，直线方程通常有五种形式：一般式、点斜式、斜截式、截距式和两点式。
这些形式各有特点，下面将一一介绍这五种形式的直线方程。
一、一般式直线的一般式方程为：Ax + By + C = 0。
其中，A、B和C分别代表直线方程的系数，是常数。
在一般式中，直线的方程可以表达为一条线性方程，且A、B和C的取值可以为正数、负数或零。
一般式的优点在于它可以表示任意一条直线，且方程的系数可以通过数学运算来得到。
然而，一般式的缺点在于不容易直接从方程中获得直线的斜率和截距等信息。
二、点斜式点斜式方程是一种比较常用的直线表达形式，它的方程形式为：y - y₁ = m(x -x₁)。
其中，(x₁, y₁)是直线上的一个已知点坐标，m是直线的斜率。
点斜式方程的优点在于通过已知点和斜率可以很容易地确定直线方程。
斜率可以通过两个点之间的纵向变化和横向变化的比值来计算。
然而，点斜式方程的缺点在于当直线垂直于x轴时，斜率不存在。
三、斜截式斜截式方程是一种常用的直线表达形式，也是最常见的一种形式。
它的方程形式为：y = mx + b。
其中，m是直线的斜率，b是直线与y轴相交的截距。
斜截式方程的优点在于它可以直接获得直线的斜率和截距信息，方程简洁明了。
斜截式的缺点在于当直线与x轴平行时，斜率不存在，此时斜截式方程无法表示直线方程。
四、截距式截距式方程是一种常用的直线表达形式，也是最方便使用的一种形式。
它的方程形式为：x/a + y/b =1。
其中，a和b分别是直线与x轴和y轴相交的截距。
截距式方程的优点在于它可以直接获得直线与坐标轴的截距，方程形式简洁。
然而，截距式方程的缺点在于当直线平行于坐标轴时，截距不存在。
五、两点式两点式方程是一种确定直线方程的常用形式，它的方程形式为：(y - y₁)/(y₂ -y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)。
直线系方程
直线系方程直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用。
直线系方程的定义：具有某种共同性质的所有直线的集合。
直线系方程的几种类型：一、平行直线系方程二、 与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（其中C C '≠， C '为待定系数）.二、垂直直线系方程与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=. 其中C '为待定系数。
三、过定点直线系方程过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）.三、过两直线交点的直线系方程为了讨论的方便，我们只讨论最一般的情况，如下所述：过直线1l ：1110A x B y C ++=（11,A B ，1C 均不为0）与直线2l ：2220A x B y C ++=（22,A B ，2C 均不为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.但是此直线系方程却不包括直线2l ：2220A x B y C ++=，为什么呢？ 假设直线系方程111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=包括直线2l ：2220A x B y C ++=，则有,221221221C C C B B B A A A λλλ+=+=+ 故,212121C C B B A A == 则直线1l 与直线2l 重合，这与直线1l 与直线2l 交于一点矛盾，故假设不成立，故直线系方程却不包括直线2l ：2220A x B y C ++=.但是此种方法只能证明直线系方程111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=不包括直线2l ，但在一般情况下怎么证明直线系方程111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=包括除直线2l 之外的所有其他直线呢？为了说明的方便，我们只看最一般的情况，如下： 将直线系方程整理成一般式方程0)()(212121=+++++C C y B B x A A λλλ, 当,0021212121B B A A A A B B ==+=+，则且λλ此时直线1l 与直线2l 平行，矛盾，故此种情况不存在.当002121≠+=+A A B B λλ且,则此直线系方程表示的是一条垂直与x 轴斜率不存在的直线，故此直线不会直线2l .若021≠+B B λ,则此直线系方程的斜率为2121B B A A λλ++-，令 2121)(B B A A f λλλ++-=， ,)()(21212122222121λλλλ+--+-=++-=B B B B A A B A B A B B A A f 故2121)(B B A A f λλλ++-=的值域为},)(|)({22B A f f -≠λλ故直线系方程的斜率不会等于直线2l 的斜率，故直线系方程0)()(212121=+++++C C y B B x A A λλλ包括除直线2l 之外的所有其他直线.。
高中数学必修：直线方程的两点式和一般式
两点式求解实际问题举例
01
02
03
实际问题一
已知两点坐标，求直线方 程。
实际问题二
为$frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$。
02
一般式方程
直线方程的一般形式为$Ax + By + C = 0$，其中$A$和$B$不同时为
零。
03
斜率截距式与一般式的关系
斜率截距式$y = kx + b$可转化为一般式$kx - y + b = 0$。
计算斜率
利用两点坐标计算直线斜率$k = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
构造两点式方程
根据点斜式方程$y - y_1 = k(x x_1)$，将斜率$k$和点$P_1$坐标
代入，得到两点式方程$frac{y y_1}{y_2 - y_1} = frac{x x_1}{x_2 - x_1}$。
解题技巧分享
利用两点式求直线方程
01
当已知直线上两点时，可直接套用两点式方程求解。
一般式方程的求解
02
通过已知条件列出方程组，求解未知数$A$、$B$和$C$。
利用斜率截距式求一般式
03
当直线方程以斜率截距式给出时，可将其转化为一般式进行后
续计算。
拓展延伸：其他类型直线方程
点斜式方程
已知直线上一点$P(x_0, y_0)$和斜率$k$，直线方程可表示为$y - y_0 = k(x x_0)$。
高中数学精品课件：直线的一般方程
例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
4 3Biblioteka ，注意对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系 数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一 般按含x项，含y项、常数项顺序排列.
直线的一般式方程:
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值 时，方程表示的直线为：
例5.已知直线L过点（-1，2），把它向右移2 个单位，向下移3个单位后恰为原来的直线， 求直线L的方程。
例6、已知△ABC中，B(1,2)，BC边上的高线 AD方程为x-2y+1=0 ,角A平分线为y=0,求 AC,BC边所在直线方程。
三、小结:与作业： 1）书P100
A组--8 .10 B组--2、5；
2）《AB本》 相关内容
a0 b0
问题1： 在平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个 关于x,y的二元一次方程表示吗？
问题2： 每一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线吗？
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
2、直线方程的一般形式：
点斜式、斜截式、两点式、截距式四种直 线方程均可化成Ax+By+C=0 (其中A、B、C是 常数，A、B不全为0)的形式，这种形式叫做直 线方程的一般式；
3.2.3 直线的一般式方程
一、复习： 1. 直线方程的各种形式：
直线名 称
已知条件
直线方程
使用范围
点斜式 点P，k y y1 k(x x1)
k存在
斜截式 k,b y kx b
两点式 截距式
两点坐标 a,b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
高中数学中的直线方程
高中数学中的直线方程直线方程是高中数学中的重要内容之一，它是用来描述二维平面上的直线的数学表达式。
直线方程的研究对于解决实际问题和发展数学基础知识都具有重要的意义。
本文将从一元线性方程、斜率截距方程以及点斜式方程等方面，介绍高中数学中的直线方程。
一、一元线性方程一元线性方程是用来描述具有直线形状的函数关系的方程，表达形式为y = ax + b。
其中，a表示直线的斜率，b表示直线与y轴的截距。
在解析几何中，斜率是一个十分重要的概念。
它表示直线上两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值，用数学表达式表示为a = Δy/Δx。
斜率的正负决定了直线的倾斜方向，大于1或小于-1的斜率表示直线陡峭，而处于0和1之间或-1和0之间的斜率表示直线较为平缓。
截距表示直线与坐标轴的交点位置，y轴截距表示直线与y轴的交点的纵坐标值。
根据直线方程y = ax + b，可以通过截距推断直线与y 轴的交点，即(0, b)。
二、斜率截距方程斜率截距方程是描述直线方程的常见形式。
其中，斜率a和截距b 都是直线的特征参数，根据直线上一个点的坐标(x₁, y₁)和斜率a，可以利用斜率截距方程y = ax + b得到直线的方程。
斜率截距方程的形式为y = kx + d，其中k表示斜率，d表示截距。
通过给定直线上的一个点以及其斜率，可以很方便地求得该直线的方程。
斜率截距方程形式简单清晰，常用于直线的分析和计算中。
三、点斜式方程除了使用斜率截距方程外，点斜式方程也是描述直线方程的一种常见形式。
点斜式方程利用直线上的一个点和该直线的斜率来表示直线的方程，形式为(y-y₁) = k(x-x₁)。
在点斜式方程中，(x₁, y₁)表示直线上的一个点，k表示直线的斜率。
通过给定直线上的一个点以及其斜率，可以轻松推导得到直线的方程。
点斜式方程的形式灵活多变，适用于各种直线的描述和计算。
与斜率截距方程相比，点斜式方程更便于根据给定条件确定直线的方程。
四、直线方程的应用直线方程在实际问题中有广泛的应用。
高中数学直线方程
专题复习： 直 线一、考点分析：直线作为高考的必考点，要求学生理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的公式，熟练掌握直线方程的点斜式，掌 握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线的一般式.能够根据条件求出直线的方程.二、知识讲解：1.有向线段一条有向线段的长度，连同表示它的方向的正负号，叫做有向线段的数量.有向线段 AB的数量用AB 表示.若有向线段AB 在数轴上的坐标为A(x 1)，B(x 2)，则它的数量 AB=x 2-x 1它的长度 ｜AB ｜=｜x 2-x 1｜平面上两点间的距离 设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是坐标平面上的任意两点，则 它们的距离｜P 1P 2｜=212212)y -(y )x -(x +当P 1P 2⊥Ox 轴时，｜P 1P 2｜=｜y 2-y 1｜；当P 1P 2⊥Oy 轴时，｜P 1P 2｜ =｜x 2-x 1｜；点P(x,y)到原点O 的距离，｜OP ｜=22y x +. 2.直线的方程直线方程的几种形式名称 已知条件 方程 说明 斜截式 斜率k 纵截距b y=kx+bx 不包括y 轴和平行于y 轴的直线 点斜式点P 1(x 1,y 1) 斜率k y-y 1=k(x-x 1)不包括y 轴和平行于y 轴的直线 两点式点P 1(x 1,y 1) 和P 2(x 2,y 2) 211y y y y --=211x x x x -- 不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线截距式 横截距a 纵坐标b a x +by =1 不包括坐标轴，平行于坐标轴和原点的直线 一般式—Ax+By+C=0A 、B 不同时为03.两条直线的位置关系 当直线不平行于坐标轴时：直 线 方 程 位 置关 系点与直线的位置关系点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上的充要条件是Ax 0+By 0+C=0.点到直线的距离公式点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离是d=2200BA CBy Ax +++据此可推出：两平行线间的距离公式两平行直线Ax+By+C 1=0和Ax+By+C 2=0间的距离为d=2221BA C C +-例题：例1 在△ABC 中，A(4，1)，B(7，5)，C(-4，7)，求∠BAC 平分线的长.例2 一直线过点P(-3，4)且在两坐标轴上的截距相等，求此直线方程例3 如果A ·C ＜0且B ·C ＜0，那么直线Ax+By+C=0不 通过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限例4 和直线3x-4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是( )A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C.-3x+4y-5=0D.-3x+4y+5=0例5 直线bx+ay=ab(a ＜0，b ＜0＝的倾斜角是( )A.arctg(-a b )B.arctg(-b a )C.π-arctg a bD.π-arctg ba三、课堂练习：1.数轴上有一有向线段，起点A 的坐标为-m ，终点B 的坐标为n ，那么此有向线段的数量 可表示为( )A.AB =n-mB.AB=n+mC.│AB │=n+mD.AB=n-m2.已知点M(3，4)，N(12，7)，P 在直线MN 上，且MNPM =31，则点P 的坐标是( ) A.(6，5) B.(9，6)C.(0，3)D.(0，3)或(6，5) 3.直线x+3y-1=0的倾斜角是( )A.6π B.-3π C.32π D.65π4.方程│x-1│+y=1确定的曲线与x 轴围成的图形的面积是( )A.21B.1C.2D.45.过点(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )A.x+y=5B.3x-2y=0C.x+y=5或3x-2y=0D.4x-y=5 6.过点(1，2)倾斜角α的正弦值是54的直线的方程是( ) A.4x-3y+2=0 B.4x+3y-6=0C.3x-4y+6=0D.y=±34(x-1)+2 7.如果直线Ax+By+C=0的倾斜角是一锐角，且在y 轴上的截距大于零，则( )A.AB ＞0，AC ＞0B.AB ＞0，AC ＜0C.AB ＜0，AC ＞0D.AB ＜0，AC ＜08.下列各点中，不与P(4，3)、Q(-1，6)两点共线的点是( )A.(5，6)B.(2，-3)C.(3t ，t+3)(这里t ∈Z)D.(t+3，3t)(这里t ∈Z) 9.两条不重合的直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的充要条件是( )A.m=1，n=1B.m=-1，n=-1C.m=1,n ≠-1,或m=-1,n ≠1D.m ≠±1，n ≠±1 10.点(a ，b)关于直线x+y=1对称的点的坐标是( )A.(1-a ，1-b)B.(1-b ，1-a)C.(-a ，-b)D.(-b ，-a) 11.已知0≤θ≤2π，且点(1，cos θ) 到直线xsin θ+ycos θ=1的距离等于41，则θ等于( )A.6π B.4π C. 3πD.125π12.已知直线l 1∶x-2y-6=0，l 2∶3x-y+4=0下列说法中错误的是( )A.l 1与l 2的夹角是45°B.l 1到l 2的角是45°C.l 2到l 1的夹角是45°D.l 2到l 1的角是135 ° 13.l 1∶x+3y-7=0，l 2∶kx-y-2=0与x 轴、y 轴正方向所围成的四边形有外接圆，则k 为( )A.-3B.3C.-6D.614.已知P(-2，-2)，Q(0，-1)，取一点R(2，m)使│PR │+│RQ │最小，则m 为( )A.21B.0C.-1D.-3415.两条平行直线2x-7y+8=0和2x-7y-8=0间的距离是 . 16.直线x+5=0与直线x+2y-5=0的夹角是 .17.直线y=-x+b 和5x+3y-31=0的交点在第一象限，那么b 的范围是 .18.已知点P 是直线l 上一点，将直线l 绕点P 沿逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°＝，所得直 线的方程是x-y-2=0，若将它继续为转90°-α，所得直线的方程2x+y-1=0，则直线l 的方程为 .四、课后练习：1.正方形中心为G(-1，0)，一边所在直线的斜率为3，且此正方形的面积为14.4，求这正方 形各边所在直线的方程.2.已知在△ABC 的边上运动的点D 、E 、F 在t=0时分别从A 、B 、C 出发，各以一定的速度向B 、 C 、A 前进，在t=1时分别达到B 、C 、A ，试证明在运动过程中，△DEF 的重心是一个定点.3.一条光线从点M(5，3)射出，被直线l ∶x+y=1反射，入射光线到直线l 的角为β，已知tg β=2，求入射光线与反射光线所在直线的方程.4.过点P(2，1)作直线l 交x ，y 轴的正向于A ，B 的点，求(1)当△AOB 的面积最小值时，直线l 的方程. (2)│PA │·│PB │为最小时，直线l 的方程. 5.当θ≠2n 时，求证：方程x 2(tg 2θ+cos 2θ)-2xytg θ+y 2sin 2θ=0表示过原点的两直线，且其斜率之差 的绝对值为2.。
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则直线 l 的方程是________
七．到角和夹角公式：
1． l1 到 l2 的角是指直线 l1 绕着交点按逆时针方向转到和直线 l2 重合所转的角 ， 0, 且
tan = k2 k1 1 k1k2
不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立
体 几 何 中 提 到 的 两 条 直 线 都 是 指 不 重 合 的 两 条 直 线 ；（ 3 ） 直 线 l1 : A1x B1 y C1 0 与 直 线 l2 : A2 x B2 y C2 0 垂直 A1A2 B1B2 0 。
A． 3 2
B． 3 或0 2
C．- 2 3
D． - 2 或0 3
7．已知点 A(1, 3) ， B(2, 1) ，若直线 l ： y k(x 2) 1 与线段 AB 没有交点，则 k 的
取值范围是（
1 A． k > 2
）
1 B． k < 2
1 C． k > 2 或 k <-2
1 D．-2< k < 2
,
(0, ]且 tan
2
=︱ k2 k1 1 k1k2
︱( k1k2
1)。
例：如果实数
x,
y
满足
xx
y y
2 4
0 0
，则 z | x 2 y 4 | 的最大值_________
2x y 5 0
【线性规划问题课后练习】
x＋2y≤8， 1、若变量 x，y 满足约束条件 0≤x≤4， 则 z＝2x＋y 的最大值等于( )
（1）经过点（2，1）且方向向量为 v =(－1, 3 )的直线的点斜式方程是___________ （2）直线 (m 2)x (2m 1) y (3m 4) 0 ，不管 m 怎样变化恒过点______
（3）若曲线 y a | x | 与 y x a(a 0) 有两个公共点，则 a 的取值范围是_______
C． y x 4
D． y x
-2-
3．若点 (k, 0) 与 (b, 0) 的中点为 (1,0) ，则直线 y kx b 必定经过点
A． (1, 2) B． (1, 2) C． (1, 2) D． (1, 2)
4．过点 P(1,3) 且平行于直线 x 2y 3 0 的直线方程为（ ）
④满足线性约束条件的解（ x, y ）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；
⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解； 3．求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目
标函数；③确定 目标函数的 最优位置，从而 获得最优解 。（ 2） l1 与 l2 的夹角是指不大 于 直角的角
-1-
4．与直线 l : Ax By C 0平行的直线可表示为 Ax By C1 0 ；
5．与直线 l : Ax By C 0垂直的直线可表示为 Bx Ay C1 0 .
提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 五．点到直线的距离及两平行直线间的距离：
方程．
-3-
八．简单的线性规划：
1．二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成 y kx b 或 y kx b
的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；②无等号时用虚线
表示不包含直线 l ，有等号时用实线表示包含直线 l ；③设点 P(x1, y1) ，Q(x2 , y2 ) ，若 Ax1 By1 C
（1）点 P(x0 , y0 ) 到直线 Ax By C 0 的距离 d
Ax0 By0 C A2 B2
；
（2）两平行线 l1 : Ax By C1 0,l2 : Ax By C2 0 间的距离为 d
C1 C2 。 A2 B2
六．直线 l1 : A1x B1 y C1 0 与直线 l2 : A2 x B2 y C2 0 的位置关系： 1．平行 A1B2 A2B1 0 （斜率）且 B1C2 B2C1 0 （在 y 轴上截距）； 2．相交 A1B2 A2B1 0 ； 3．重合 A1B2 A2B1 0 且 B1C2 B2C1 0 。 提醒：（1） A1 B1 C1 、 A1 B1 、 A1 B1 C1 仅是两直线平行、相交、重合的充分 A2 B2 C2 A2 B2 A2 B2 C2
（2）已知直线 l 的方程为 3x 4 y 12 0 ，则与 l 平行，且过点（—1，3）的直线方程是______
（3）两条直线 ax y 4 0 与 x y 2 0 相交于第一象限，则实数 a 的取值范围是____
（4）设 a, b, c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长，则直线 sin A x ay c 0 与
与 Ax2 By2 C 同号，则 P，Q 在直线 l 的同侧，异号则在直线 l 的异侧。
2．线性规划问题中的有关概念：
①满足关于 x, y 的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。
②关于变量 x, y 的解析式叫目标函数，关于变量 x, y 一次式的目标函数叫线性目标函数；
③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；
如（1）设直线 l1 : x my 6 0 和 l2 : (m 2)x 3y 2m 0 ，当 m ＝_______时 l1 ∥ l2 ； 当 m ＝________时 l1 l2 ；当 m _________时 l1 与 l2 相交；当 m ＝_________时 l1 与 l2 重合
A．5
B．4
C． 5
D.2
y≤1， 6、 若 x，y 满足 x－y－1≤0，则 z＝ 3x＋y 的最小值为________．
x＋y－1≥0，
y≤x， 7、 若变量 x，y 满足约束条件 x＋y≤4，则 z＝2x＋y 的最大值为________．
y≥1， 2x＋y－2≥0， 8、已知 x，y 满足约束条件 x－2y＋4≥0，则目标函数 z＝3x＋4y 的最大值为________． 3x－y－3≤0，
（2）当 m 变化时，求点 Q3, 4 到直线的距离的最大值；
（3）若直线分别与 x 轴、 y 轴的负半轴交于 A, B 两点，求 AOB 面积的最小值及此时的
直线方程．
11．（本小题满分 13 分）已知点 A2,0 ，点 B2,0 ，直线 l : 3 x 1 y 4 0
（其中 R ）． （1）求直线 l 所经过的定点 P 的坐标； （2）若直线 l 与线段 AB 有公共点，求 的取值范围； （3）若分别过 A, B 且斜率为 3 的两条平行直线截直线 l 所得线段的长为 4 3 ，求直线 l 的
过原点。 四．设直线方程的一些常用技巧：
1．知直线纵截距 b ，常设其方程为 y kx b ；
2．知直线横截距 x0 ，常设其方程为 x my x0 (它不适用于斜率为 0 的直线)； 3．知直线过点 (x0 , y0 ) ，当斜率 k 存在时，常设其方程为 y k (x x0 ) y0 ，当斜率 k 不存在时， 则其方程为 x x0 ；
bx sin B y sin C 0 的位置关系是____
（ 5 ） 已知 点 P1(x1, y1) 是 直线 l : f (x, y) 0 上 一 点， P2 (x2 , y2 ) 是 直线 l 外 一 点， 则 方 程 f (x, y) f (x1, y1) f (x2 , y2 ) ＝0 所表示的直线与 l 的关系是____
B．3
C．4
D.5
x＋y－1≥0， 4、设 x，y 满足约束条件 x－y－1≤0， 则 z＝x＋2y 的最大值为( )
x－3y＋3≥0，
A．8
B．7
C．2
D.1
5、已知 x，y 满足约束条件x2－x－y－ y－1≤ 3≥00，， 当目标函数 z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约
-4-
束条件下取到最小值 2 5时，a2＋b2 的最小值为( )
（2）过点 P(
3,1), Q(0, m)
的直线的倾斜角的范围
[
,
2
],那么m
值的范围是______
33
二．直线的斜率：
1．定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k ，即 k ＝tan ( ≠
90°)；倾斜角为 90°的直线没有斜率；（
2．斜率公式：经过两点 P1(x1, y1) 、 P2 (x2 , y2 ) 的直线的斜率为 k
提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；
(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等 直线的斜率为-1 或直线过原点；直线 两截距互为相反数 直线的斜率为 1 或直线过原点；直线两截距绝对值相等 直线的斜率为 1或直线
y1 x1
y2 x2
x1 x2
；
3．直线的方向向量 a (1, k ) ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？
4．应用：证明三点共线： kAB kBC 。如
(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件
（2）实数 x, y 满足 3x 2y 5 0 (1 x 3)，则 y 的最大值、最小值分别为______ x
8．已知直线 l1 : x 2ay 1 0与l2 : (2a 1)x ay 1 0 平行，则 a 的值是（ ）
A．0 或 1
B．1 或 1 4
C．0 或 1 4
D． 1 4
10．（本题满分 12 分）已知直线方程为 (2 m)x (2m 1) y 3m 4 0 ，其中 m R